تحديد التزايد والتناقص - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: تحديد التزايد والتناقص --- تحديد التزايد والتناقص --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 استعمل التمثيل البياني لكل من الدالتين الآتيتين لتقدير الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة، أو متناقصة، أو ثابتة مقربة إلى أقرب 0.5 وحدة، ثم عزز إجابتك عدديًا. a) f(x) = -2x³ --- SECTION: التحليل بيانيًا: --- التحليل بيانيًا: يبين التمثيل البياني أن قيم (f(x تتناقص كلما ازدادت قيم x؛ لذا فإن الدالة متناقصة في الفترة (∞-، ∞). --- SECTION: التعزيز عدديًا: --- التعزيز عدديًا: كون جدولاً يتضمن قيمًا للمتغير x في الفترة. يوضح الجدول أنه عندما تتزايد قيم x، تتناقص قيم (f(x؛ وهذا يعزز ما توصلنا إليه من التمثيل البياني. b) g(x) = x³ - 3x --- SECTION: التحليل بيانيًا: --- التحليل بيانيًا: يبين التمثيل البياني أن g متزايدة في الفترة (1-، ∞-)، ومتناقصة في الفترة (1، 1-)، ومتزايدة في الفترة (∞، 1). --- SECTION: التعزيز عدديًا: --- التعزيز عدديًا: كون جدولاً يتضمن قيمًا للمتغير x في كل فترة من الفترات الثلاث السابقة. توضح الجداول السابقة أنه عندما تزداد x إلى 1-، فإن (g(x تزداد، وعندما تزداد x من 1- إلى 1، فإن (g(x تتناقص، أما عندما تزداد x ابتداءً من 1، فإن (g(x تزداد. وهذا يعزز ما توصلنا إليه من التمثيل البياني. --- SECTION: تنبيه! --- فترات: لا يمكن وصف دالة بأنها متناقصة أو متزايدة عند نقطة؛ لذا يستعمل القوسين ( ) عند تحديد الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الدوال المتزايدة، المتناقصة، الثابتة: إذا كانت الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة لكل قيم x في مجالها تسمى دالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة على الترتيب. فالدالة في المثال 1a متناقصة، بينما الدالة في المثال 1b لا يمكن تصنيفها على أنها متزايدة أو متناقصة؛ لأنها متزايدة على فترة ومتناقصة على أخرى. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 1A --- 1A --- SECTION: 1B --- 1B بينما يستعمل التمثيل البياني لإيجاد الفترات التي تكون فيها الدالة متزايدة أو متناقصة أو ثابتة ويمكن تعزيز ذلك عدديًا، إلا أننا نحتاج إلى حساب التفاضل لإثبات صحة هذه الخصائص. وزارة التعليم الدرس 4-1 القيم القصوى ومتوسط معدل التغير 39 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: f(x) = -2x³ Description: A Cartesian coordinate graph showing the function f(x) = -2x³. The graph passes through the origin (0,0) and decreases from top-left to bottom-right, indicating a decreasing function over its entire domain. The curve is symmetric with respect to the origin. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a cubic function that is continuously decreasing. As x increases, f(x) decreases. For example, at x=0, f(x)=0. At x=1, f(x)=-2. At x=-1, f(x)=2. Key Values: (0,0), (1,-2), (-1,2) Context: Illustrates a function that is decreasing over its entire domain (-∞, ∞). (Note: Some details are estimated) **TABLE**: جدول قيم الدالة f(x) = -2x³ Description: A table showing x values and corresponding f(x) values for the function f(x) = -2x³. Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -8 | 1024 Row 2: -6 | 432 Row 3: -4 | 128 Row 4: -2 | 16 Row 5: 0 | 0 Row 6: 2 | -16 Row 7: 4 | -128 Row 8: 6 | -432 Row 9: 8 | -1024 Calculation needed: Values are calculated by substituting x into f(x) = -2x³. Context: Provides numerical evidence to support the graphical analysis of the function f(x) = -2x³ being a decreasing function. **GRAPH**: g(x) = x³ - 3x Description: A Cartesian coordinate graph showing the function g(x) = x³ - 3x. The graph has local maximum and minimum points. It increases from left, decreases, then increases again. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a cubic function that increases from (-∞, -1), decreases from (-1, 1), and increases again from (1, ∞). Local maximum at x=-1, y=2. Local minimum at x=1, y=-2. Passes through (0,0). Key Values: (-1,2), (1,-2), (0,0) Context: Illustrates a function that is increasing and decreasing over different intervals. (Note: Some details are estimated) **TABLE**: جدول قيم الدالة g(x) = x³ - 3x للفترة (-∞, -1) Description: A table showing x values and corresponding g(x) values for the function g(x) = x³ - 3x in the interval (-∞, -1). Table Structure: Headers: x | g(x) Rows: Row 1: -11 | -1298 Row 2: -9 | -702 Row 3: -7 | -322 Row 4: -5 | -110 Row 5: -3 | -18 Row 6: -1 | 2 Calculation needed: Values are calculated by substituting x into g(x) = x³ - 3x. Context: Provides numerical evidence for the increasing behavior of g(x) in the interval (-∞, -1). **TABLE**: جدول قيم الدالة g(x) = x³ - 3x للفترة (-1, 1) Description: A table showing x values and corresponding g(x) values for the function g(x) = x³ - 3x in the interval (-1, 1). Table Structure: Headers: x | g(x) Rows: Row 1: -1 | 2 Row 2: -0.5 | 1.375 Row 3: 0 | 0 Row 4: 0.5 | -1.375 Row 5: 1 | -2 Calculation needed: Values are calculated by substituting x into g(x) = x³ - 3x. Context: Provides numerical evidence for the decreasing behavior of g(x) in the interval (-1, 1). **TABLE**: جدول قيم الدالة g(x) = x³ - 3x للفترة (1, ∞) Description: A table showing x values and corresponding g(x) values for the function g(x) = x³ - 3x in the interval (1, ∞). Table Structure: Headers: x | g(x) Rows: Row 1: 1 | -2 Row 2: 3 | 18 Row 3: 5 | 110 Row 4: 7 | 322 Row 5: 9 | 702 Row 6: 11 | 1298 Calculation needed: Values are calculated by substituting x into g(x) = x³ - 3x. Context: Provides numerical evidence for the increasing behavior of g(x) in the interval (1, ∞). **GRAPH**: f(x) = 2x² - 8x + 5 Description: A Cartesian coordinate graph showing the parabola f(x) = 2x² - 8x + 5. The parabola opens upwards with its vertex at (2, -3). X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a quadratic function. It decreases from (-∞, 2) and increases from (2, ∞). The vertex is at (2, -3). The y-intercept is (0, 5). Key Values: (2,-3), (0,5) Context: A practice problem to identify intervals of increase and decrease for a quadratic function. (Note: Some details are estimated) **GRAPH**: h(x) = { 3x + 11, x < -3; 2, x >= -3 } Description: A Cartesian coordinate graph showing a piecewise function. For x < -3, it's a linear function h(x) = 3x + 11. For x >= -3, it's a constant function h(x) = 2. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a linear segment increasing up to x=-3 (approaching y=2 from below), and then a horizontal line at y=2 for x >= -3. There is a discontinuity or a sharp corner at x=-3, where the function value is 2. Key Values: (-3,2) Context: A practice problem to identify intervals of increase, decrease, and constant behavior for a piecewise function. (Note: Some details are estimated)