استعمل منحنى الدالة (f) في كل مما يأتي لتمثيل الدالتين - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص الأسئلة والحلول

28. استعمل منحنى الدالة f(x) = 2/x لتمثيل الدالتين f(x) = |x|, h(x) = [x] بيانيًا:

* يجب استخدام منحنى الدالة المعطاة f(x) = 2/x كنقطة بداية لرسم منحنى الدالة f(x) = |x| (دالة القيمة المطلقة) ومنحنى الدالة h(x) = [x] (دالة أكبر عدد صحيح). هذا يتطلب فهم شكل كل دالة من هذه الدوال الرئيسة (الأم) وتطبيق التحويلات الهندسية المناسبة على f(x) = 2/x للحصول على الشكل المطلوب. البيانات المتوفرة لا تكفي لتحديد التحويلات الدقيقة.

29. استعمل منحنى الدالة f(x) = x⁴ - 4x² لتمثيل الدالتين f(x) = |x|, h(x) = [x] بيانيًا:

* يجب استخدام منحنى الدالة المعطاة f(x) = x⁴ - 4x² كنقطة بداية لرسم منحنى الدالة f(x) = |x| (دالة القيمة المطلقة) ومنحنى الدالة h(x) = [x] (دالة أكبر عدد صحيح). هذا يتطلب فهم شكل كل دالة من هذه الدوال الرئيسة (الأم) وتطبيق التحويلات الهندسية المناسبة على f(x) = x⁴ - 4x² للحصول على الشكل المطلوب. البيانات المتوفرة لا تكفي لتحديد التحويلات الدقيقة.

30. استعمل منحنى الدالة f(x) = 1/(x-3) + 5 لتمثيل الدالتين f(x) = |x|, h(x) = [x] بيانيًا:

* يجب استخدام منحنى الدالة المعطاة f(x) = 1/(x-3) + 5 كنقطة بداية لرسم منحنى الدالة f(x) = |x| (دالة القيمة المطلقة) ومنحنى الدالة h(x) = [x] (دالة أكبر عدد صحيح). هذا يتطلب فهم شكل كل دالة من هذه الدوال الرئيسة (الأم) وتطبيق التحويلات الهندسية المناسبة على f(x) = 1/(x-3) + 5 للحصول على الشكل المطلوب. البيانات المتوفرة لا تكفي لتحديد التحويلات الدقيقة.

31. استعمل منحنى الدالة f(x) = √(x+2) - 6 لتمثيل الدالتين f(x) = |x|, h(x) = [x] بيانيًا:

* يجب استخدام منحنى الدالة المعطاة f(x) = √(x+2) - 6 كنقطة بداية لرسم منحنى الدالة f(x) = |x| (دالة القيمة المطلقة) ومنحنى الدالة h(x) = [x] (دالة أكبر عدد صحيح). هذا يتطلب فهم شكل كل دالة من هذه الدوال الرئيسة (الأم) وتطبيق التحويلات الهندسية المناسبة على f(x) = √(x+2) - 6 للحصول على الشكل المطلوب. البيانات المتوفرة لا تكفي لتحديد التحويلات الدقيقة.

32. اكتب الدالة الناتجة عن إجراء التحويلات الهندسية المعطاة على الدالة الرئيسة (الأم) f(x) = 1/x : انسحاب 5 وحدات إلى أعلى، و 7 وحدات إلى اليسار، وتوسع رأسي معامله 2

* الدالة الناتجة g(x) هي: g(x) = 2 \cdot \frac{1}{x+7} + 5

حيث:

* الانسحاب 7 وحدات إلى اليسار: استبدل x بـ (x+7).

* التوسع الرأسي بعامل 2: اضرب الدالة في 2.

* الانسحاب 5 وحدات إلى أعلى: أضف 5 إلى الدالة.

33. اكتب الدالة الناتجة عن إجراء التحويلات الهندسية المعطاة على الدالة الرئيسة (الأم) f(x) = |x| : انعكاس في المحور x و انسحاب 4 وحدات إلى أسفل، وتوسع رأسي معامله 3

* الدالة الناتجة g(x) هي: g(x) = -3|x| - 4

حيث:

* الانعكاس في المحور x: اضرب الدالة في -1.

* التوسع الرأسي بعامل 3: اضرب الدالة في 3 (لتصبح -3|x|).

* الانسحاب 4 وحدات إلى أسفل: اطرح 4 من الدالة.

34. فيزياء: إذا كانت المسافة التي يقطعها جسم تعطى بالدالة g(t) = x₀ + v₀t + (1/2)at² حيث x₀ المسافة الابتدائية، و v₀ السرعة الابتدائية و a تسارع الجسم. صف التحويلات الهندسية التي تمت على الدالة الرئيسة (الأم) f(t) = t² للحصول على g(t) عندما: x₀ = 0, v₀ = 2, a = 2

* بالتعويض: g(t) = 0 + 2t + \frac{1}{2}(2)t² = 2t + t²

* يمكن كتابتها بدلالة f(t) = t²: g(t) = f(t) + 2t

* التحويلات: تم إجراء انسحاب رأسي غير خطي (إضافة 2t) إلى الدالة الرئيسة f(t) = t². لا يمكن وصفها بتحويل هندسي بسيط واحد (انسحاب أو توسع) لأن الحد 2t ليس ثابتًا.

35. صف التحويلات الهندسية التي تمت على الدالة الرئيسة (الأم) f(t) = t² للحصول على g(t) عندما: x₀ = 10, v₀ = 0, a = 2

* بالتعويض: g(t) = 10 + 0 \cdot t + \frac{1}{2}(2)t² = 10 + t²

* يمكن كتابتها بدلالة f(t) = t²: g(t) = f(t) + 10

* التحويلات: انسحاب رأسي بمقدار 10 وحدات إلى أعلى.

36. صف التحويلات الهندسية التي تمت على الدالة الرئيسة (الأم) f(t) = t² للحصول على g(t) عندما: x₀ = 1, v₀ = 8, a = 4

* بالتعويض: g(t) = 1 + 8t + \frac{1}{2}(4)t² = 1 + 8t + 2t²

* يمكن كتابتها بدلالة f(t) = t²: g(t) = 2f(t) + 8t + 1

* التحويلات: تم إجراء توسع رأسي معامله 2، ثم انسحاب رأسي غير خطي (إضافة 8t)، ثم انسحاب رأسي بمقدار وحدة واحدة إلى أعلى.

37. صف التحويلات الهندسية التي تمت على الدالة الرئيسة (الأم) f(t) = t² للحصول على g(t) عندما: x₀ = 3, v₀ = 5, a = 3

* بالتعويض: g(t) = 3 + 5t + \frac{1}{2}(3)t² = 3 + 5t + 1.5t²

* يمكن كتابتها بدلالة f(t) = t²: g(t) = 1.5f(t) + 5t + 3

* التحويلات: تم إجراء توسع رأسي معامله 1.5، ثم انسحاب رأسي غير خطي (إضافة 5t)، ثم انسحاب رأسي بمقدار 3 وحدات إلى أعلى.

38. اكتب معادلة الدالة g(x) إذا علمت أن منحناها ناتج عن عدة تحويلات هندسية لمنحنى الدالة f(x)، وأحد هذه التحويلات هو تضييق رأسي معامله 0.5.

* من الرسم البياني، نلاحظ أن منحنى g(x) هو تضييق رأسي (ضغط) لمنحنى f(x). بالنظر إلى النقاط:

* على f(x): عندما x=4، y=8.

* على g(x): عندما x=4، y=4.

* عامل التضييق = 4/8 = 0.5.

* بما أن كلا المنحنيين يبدآن من الأصل (0,0) ولا يوجد انسحاب أفقي أو رأسي واضح، فإن العلاقة هي: g(x) = 0.5 \cdot f(x)

* من الرسم، يبدو أن f(x) = 2|x|، وبالتالي: g(x) = 0.5 \cdot 2|x| = |x|

39. تسوق: توقعت إدارة أحد المجمعات التجارية الجديدة أن يعطى عدد المتسوقين بالآلاف بالدالة f(x) = √7x خلال أول ستين يومًا من الافتتاح، حيث x رقم اليوم بعد الافتتاح، 1 = x يرتبط بيوم الافتتاح. اكتب دالة g(x) بدلالة f(x) لكل حالة:

* a) زاد عدد الحضور 12% على المتوقع.

* زيادة بنسبة 12% تعني الضرب في (1 + 0.12) = 1.12.

* g(x) = 1.12 \cdot f(x)

* b) تأخر موعد الافتتاح 30 يومًا بسبب تأخر أعمال البناء.

* التأخر يعني أن اليوم الفعلي للافتتاح يصبح بعد 30 يومًا من التاريخ الأصلي. إذا كان x هو رقم اليوم من الافتتاح الفعلي، فإن اليوم المقابل في التوقع الأصلي هو (x+30).

* g(x) = f(x+30)

* c) نقص عدد المتسوقين 450 عن المتوقع.

* النقص بمقدار 450 متسوقًا. بما أن الدالة f(x) تعطي العدد بالآلاف، فإن 450 = 0.45 ألف.

* g(x) = f(x) - 0.45

40. اكتب دالة تمثل المنحنى المرسوم.

* من الرسم البياني، نلاحظ أن المنحنى يمثل دالة تناسب عكسي. بالنظر إلى النقاط:

* (2, 8): عندما x=2، y=8.

* (4, 4): عندما x=4، y=4.

* في الدالة التناسب العكسي: y = \frac{k}{x}

* باستخدام النقطة (2,8): 8 = \frac{k}{2} \Rightarrow k = 16

* باستخدام النقطة (4,4): 4 = \frac{k}{4} \Rightarrow k = 16

* الدالة هي: y = \frac{16}{x}

41. استعمل منحنى الدالة f(x) لتمثيل منحنى g(x) لكل مما يأتي: g(x) = 0.25f(x) + 4

* التحويلات على f(x):

1. تضييق رأسي (ضغط) بعامل 0.25: تضرب كل قيمة y في 0.25.

2. انسحاب رأسي بمقدار 4 وحدات إلى أعلى: تضيف 4 إلى كل قيمة y بعد التضييق.

* يجب تطبيق هذه التحويلات على النقاط الرئيسية لـ f(x) لرسم g(x).

42. استعمل منحنى الدالة f(x) لتمثيل منحنى g(x) لكل مما يأتي: g(x) = 3f(x) - 6

* التحويلات على f(x):

1. توسع رأسي بعامل 3: تضرب كل قيمة y في 3.

2. انسحاب رأسي بمقدار 6 وحدات إلى أسفل: تطرح 6 من كل قيمة y بعد التوسع.

* يجب تطبيق هذه التحويلات على النقاط الرئيسية لـ f(x) لرسم g(x).

43. استعمل منحنى الدالة f(x) لتمثيل منحنى g(x) لكل مما يأتي: g(x) = f(x - 5) + 3

* التحويلات على f(x):

1. انسحاب أفقي بمقدار 5 وحدات إلى اليمين: تستبدل كل x بـ (x-5).

2. انسحاب رأسي بمقدار 3 وحدات إلى أعلى: تضيف 3 إلى كل قيمة y بعد الانسحاب الأفقي.

* يجب تطبيق هذه التحويلات على النقاط الرئيسية لـ f(x) لرسم g(x).

44. استعمل منحنى الدالة f(x) لتمثيل منحنى g(x) لكل مما يأتي: g(x) = -2f(x) + 1

* التحويلات على f(x):

1. انعكاس في المحور x: تضرب كل قيمة y في -1.

2. توسع رأسي بعامل 2: تضرب كل قيمة y في 2 (لتصبح -2f(x)).

3. انسحاب رأسي بمقدار وحدة واحدة إلى أعلى: تضيف 1 إلى كل قيمة y بعد الانعكاس والتوسع.

* يجب تطبيق هذه التحويلات على النقاط الرئيسية لـ f(x) لرسم g(x).

45. استعمل f(x) = 4 - 8/√x لتمثيل كل دالة مما يأتي: g(x) = 2f(x) + 5

* الدالة الناتجة: g(x) = 2(4 - \frac{8}{\sqrt{x}}) + 5 = 8 - \frac{16}{\sqrt{x}} + 5 = 13 - \frac{16}{\sqrt{x}}

46. استعمل f(x) = 4 - 8/√x لتمثيل كل دالة مما يأتي: g(x) = -3f(x) + 6

* الدالة الناتجة: g(x) = -3(4 - \frac{8}{\sqrt{x}}) + 6 = -12 + \frac{24}{\sqrt{x}} + 6 = -6 + \frac{24}{\sqrt{x}}

47. استعمل f(x) = 4 - 8/√x لتمثيل كل دالة مما يأتي: g(x) = f(4x) - 5

* الدالة الناتجة: g(x) = f(4x) - 5 = (4 - \frac{8}{\sqrt{4x}}) - 5 = 4 - \frac{8}{2\sqrt{x}} - 5 = -1 - \frac{4}{\sqrt{x}}

48. استعمل f(x) = 4 - 8/√x لتمثيل كل دالة مما يأتي: g(x) = f(2x + 1) + 8

* الدالة الناتجة: g(x) = f(2x+1) + 8 = (4 - \frac{8}{\sqrt{2x+1}}) + 8 = 12 - \frac{8}{\sqrt{2x+1}}

49. تمثيلات متعددة: اعتمادًا على الدوال f(x) = x² + 2x + 7, g(x) = 4x + 3, h(x) = x² + 6x + 10:

* a) جدوليا: اختر ثلاث قيم لـ a، وأكمل الجدول الآتي:

* يجب اختيار ثلاث قيم عشوائية لـ a (مثل a = 0, 1, 2) وحساب:

* f(a) = a² + 2a + 7

* g(a) = 4a + 3

* f(a) + g(a)

* h(a) = a² + 6a + 10

* b) لفظيا: ما العلاقة بين f(x) و g(x) و h(x)؟

* من خلال الملاحظة الجبرية: f(x) + g(x) = (x² + 2x + 7) + (4x + 3) = x² + 6x + 10 = h(x)

* العلاقة: h(x) = f(x) + g(x)

* c) جبريا: أثبت صحة العلاقة التي حصلت عليها في الفرع b جبريا.

*

49. تمثيلات متعددة: اعتمادًا على الدوال f(x) = x² + 2x + 7, g(x) = 4x + 3, h(x) = x² + 6x + 10:

* c) جبريا: أثبت صحة العلاقة التي حصلت عليها في الفرع b جبريا.

* الإثبات:

f(x) + g(x) = (x² + 2x + 7) + (4x + 3)

= x² + (2x + 4x) + (7 + 3)

= x² + 6x + 10

= h(x)

* إذن، العلاقة h(x) = f(x) + g(x) صحيحة جبريًا.

استعمل منحنى الدالة (f) في كل مما يأتي لتمثيل الدالتين (f(x) = |x|, h(x) = [x]) بيانيًا: (مثال ٧)

f(x) = 2/x

f(x) = x⁴ - 4x²

f(x) = 1/(x-3) + 5

f(x) = √(x+2) - 6

اكتب الدالة الناتجة عن إجراء التحويلات الهندسية المعطاة على الدالة الرئيسة (الأم) في كل من السؤالين الآتيين:

f(x) = 1/x : انسحاب 5 وحدات إلى أعلى، و 7 وحدات إلى اليسار، وتوسع رأسي معامله 2

f(x) = |x| : انعكاس في المحور x و انسحاب 4 وحدات إلى أسفل، وتوسع رأسي معامله 3

فيزياء: إذا كانت المسافة التي يقطعها جسم تعطى بالدالة g(t) = x₀ + v₀t + (1/2)at² حيث x₀ المسافة الابتدائية، و v₀ السرعة الابتدائية و a تسارع الجسم. صف التحويلات الهندسية التي تمت على الدالة الرئيسة (الأم) f(t) = t² للحصول على g(t) في كل مما يأتي:

x₀ = 0, v₀ = 2, a = 2

x₀ = 10, v₀ = 0, a = 2

x₀ = 1, v₀ = 8, a = 4

x₀ = 3, v₀ = 5, a = 3

اكتب معادلة الدالة (g(x إذا علمت أن منحناها ناتج عن عدة تحويلات هندسية لمنحنى الدالة (f(x، وأحد هذه التحويلات هو تضييق رأسي معامله 0.5.

تسوق: توقعت إدارة أحد المجمعات التجارية الجديدة أن يعطى عدد المتسوقين بالآلاف بالدالة f(x) = √7x خلال أول ستين يومًا من الافتتاح، حيث x رقم اليوم بعد الافتتاح، 1 = x يرتبط بيوم الافتتاح. اكتب دالة (g(x بدلالة (f(x لكل حالة من الحالات الآتية:

a) زاد عدد الحضور 12% على المتوقع.

b) تأخر موعد الافتتاح 30 يومًا بسبب تأخر أعمال البناء.

c) نقص عدد المتسوقين 450 عن المتوقع.

الفصل 1 تحليل الدوال 56

اكتب دالة تمثل المنحنى المرسوم:

استعمل منحنى الدالة (f(x لتمثيل منحنى (g(x لكل مما يأتي:

g(x) = 0.25f(x) + 4

g(x) = 3f(x) - 6

g(x) = f(x - 5) + 3

g(x) = -2f(x) + 1

استعمل 4 - 8/√x = (f(x لتمثيل كل دالة مما يأتي:

g(x) = 2f(x) + 5

g(x) = -3f(x) + 6

g(x) = f(4x) - 5

g(x) = f(2x + 1) + 8

تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة بعض العمليات على الدوال معتمدًا على الدوال الآتية:

f(x) = x² + 2x + 7 g(x) = 4x + 3 h(x) = x² + 6x + 10

a) جدوليا: اختر ثلاث قيم لـ a، وأكمل الجدول الآتي:

b) لفظيا: ما العلاقة بين (f(x و (g(x و (h(x؟

c) جبريا: أثبت صحة العلاقة التي حصلت عليها في الفرع b جبريا.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: استعمل منحنى الدالة (f) في كل مما يأتي لتمثيل الدالتين --- استعمل منحنى الدالة (f) في كل مما يأتي لتمثيل الدالتين (f(x) = |x|, h(x) = [x]) بيانيًا: (مثال ٧) --- SECTION: 28 --- f(x) = 2/x --- SECTION: 29 --- f(x) = x⁴ - 4x² --- SECTION: 30 --- f(x) = 1/(x-3) + 5 --- SECTION: 31 --- f(x) = √(x+2) - 6 --- SECTION: اكتب الدالة الناتجة عن إجراء التحويلات الهندسية المعطاة --- اكتب الدالة الناتجة عن إجراء التحويلات الهندسية المعطاة على الدالة الرئيسة (الأم) في كل من السؤالين الآتيين: --- SECTION: 32 --- f(x) = 1/x : انسحاب 5 وحدات إلى أعلى، و 7 وحدات إلى اليسار، وتوسع رأسي معامله 2 --- SECTION: 33 --- f(x) = |x| : انعكاس في المحور x و انسحاب 4 وحدات إلى أسفل، وتوسع رأسي معامله 3 --- SECTION: فيزياء --- فيزياء: إذا كانت المسافة التي يقطعها جسم تعطى بالدالة g(t) = x₀ + v₀t + (1/2)at² حيث x₀ المسافة الابتدائية، و v₀ السرعة الابتدائية و a تسارع الجسم. صف التحويلات الهندسية التي تمت على الدالة الرئيسة (الأم) f(t) = t² للحصول على g(t) في كل مما يأتي: --- SECTION: 34 --- x₀ = 0, v₀ = 2, a = 2 --- SECTION: 35 --- x₀ = 10, v₀ = 0, a = 2 --- SECTION: 36 --- x₀ = 1, v₀ = 8, a = 4 --- SECTION: 37 --- x₀ = 3, v₀ = 5, a = 3 --- SECTION: 38 --- اكتب معادلة الدالة (g(x إذا علمت أن منحناها ناتج عن عدة تحويلات هندسية لمنحنى الدالة (f(x، وأحد هذه التحويلات هو تضييق رأسي معامله 0.5. --- SECTION: تسوق --- تسوق: توقعت إدارة أحد المجمعات التجارية الجديدة أن يعطى عدد المتسوقين بالآلاف بالدالة f(x) = √7x خلال أول ستين يومًا من الافتتاح، حيث x رقم اليوم بعد الافتتاح، 1 = x يرتبط بيوم الافتتاح. اكتب دالة (g(x بدلالة (f(x لكل حالة من الحالات الآتية: --- SECTION: 39a --- a) زاد عدد الحضور 12% على المتوقع. --- SECTION: 39b --- b) تأخر موعد الافتتاح 30 يومًا بسبب تأخر أعمال البناء. --- SECTION: 39c --- c) نقص عدد المتسوقين 450 عن المتوقع. الفصل 1 تحليل الدوال 56 --- SECTION: 40 --- اكتب دالة تمثل المنحنى المرسوم: --- SECTION: استعمل منحنى الدالة (f(x لتمثيل منحنى (g(x --- استعمل منحنى الدالة (f(x لتمثيل منحنى (g(x لكل مما يأتي: --- SECTION: 41 --- g(x) = 0.25f(x) + 4 --- SECTION: 42 --- g(x) = 3f(x) - 6 --- SECTION: 43 --- g(x) = f(x - 5) + 3 --- SECTION: 44 --- g(x) = -2f(x) + 1 --- SECTION: استعمل f(x) = 8/√x - 4 لتمثيل كل دالة مما يأتي: --- استعمل 4 - 8/√x = (f(x لتمثيل كل دالة مما يأتي: --- SECTION: 45 --- g(x) = 2f(x) + 5 --- SECTION: 46 --- g(x) = -3f(x) + 6 --- SECTION: 47 --- g(x) = f(4x) - 5 --- SECTION: 48 --- g(x) = f(2x + 1) + 8 --- SECTION: 49 --- تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة بعض العمليات على الدوال معتمدًا على الدوال الآتية: f(x) = x² + 2x + 7 g(x) = 4x + 3 h(x) = x² + 6x + 10 --- SECTION: 49a --- a) جدوليا: اختر ثلاث قيم لـ a، وأكمل الجدول الآتي: --- SECTION: 49b --- b) لفظيا: ما العلاقة بين (f(x و (g(x و (h(x؟ --- SECTION: 49c --- c) جبريا: أثبت صحة العلاقة التي حصلت عليها في الفرع b جبريا. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows two absolute value functions. f(x) is a V-shaped curve with its vertex at (0,0) and opening upwards, passing through (4,8). g(x) is a narrower V-shaped curve, also opening upwards, with its vertex at (0,0), passing through (4,4). g(x) is a vertical compression of f(x) by a factor of 0.5. **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a curve with two branches. The left branch is in the second quadrant, passing through (-4, -4) and (-2, -8). The right branch is in the fourth quadrant, passing through (2, 8) and (4, 4). Both branches approach the x-axis (y=0) as x approaches ±∞ and approach the y-axis (x=0) as x approaches 0. **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a piecewise linear function f(x). It starts with an open circle at (-8, 8), goes down to a closed circle at (-4, 0), then continues to a closed circle at (0, -4), then goes up to a closed circle at (4, 0), and ends with an open circle at (8, 4). **TABLE**: Untitled Description: A table with five columns and three empty rows, intended for calculating function values for chosen 'a' values.