العمليات على الدوال وتركيب دالتين - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: أوجد الدوال المركبة ومجالها --- أوجد (g + f)(x), (f - g)(x), (f • g)(x), (f/g)(x) في كل مما يأتي، ثم أوجد مجال كل دالة من الدوال الناتجة. --- SECTION: 1A --- f(x) = x - 4, g(x) = √9 - x² --- SECTION: 1B --- f(x) = x² - 6x - 8, g(x) = √x --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة --- SECTION: العمليات على الدوال وتركيب دالتين --- العمليات على الدوال وتركيب دالتين يختلف تركيب الدوال عن العمليات عليها، حيث يتم دمج الدالتين معًا، وليس مجرد إجراء عمليات مثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة. --- SECTION: تركيب الدوال --- تركيب الدوال: تنتج الدالة (3 - x) = y من دمج الدالة الخطية 3 - x = y والدالة التربيعية x² = y. لاحظ أن هذا الدمج لم ينتج عن جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة. ويسمى هذا الدمج تركيب الدالتين، وملخصه إيجاد قيمة دالة الدالة أخرى. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي --- SECTION: تركيب دالتين --- تركيب دالتين --- SECTION: تعريف تركيب الدالتين --- يعرف تركيب الدالتين f و g على النحو الآتي: [f o g](x) = f[g(x)] --- SECTION: مجال الدالة المركبة --- ويتكون مجال الدالة f o g من جميع قيم x في مجال الدالة g على أن تكون (x)g في مجال f. --- SECTION: قراءة تركيب الدوال --- تقرأ الدالة f o g على النحو تركيب g أو f بعد g، حيث تُطبّق الدالة g أولاً ثم الدالة f. --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 --- SECTION: تركيب دالتين --- تركيب دالتين --- SECTION: Problem Statement --- إذا كانت 1 + x² = (x)f و 4 - x = (x)g، فأوجد كلاً مما يأتي: --- SECTION: (a) [f o g](x) --- [f o g](x) (a = f[g(x)] (تعريف f o g) = f(x - 4) (g(x) = x - 4) = (x - 4)² + 1 (عوض (4 - x) بدلاً من x في (f) = x² - 8x + 16 + 1 (بسط) = x² - 8x + 17 (بسط) --- SECTION: (b) [g o f](x) --- [g o f](x) (b = g[f(x)] (تعريف g o f) = g(x² + 1) (f(x) = x² + 1) = (x² + 1) - 4 (عوض (1 + x²) بدلاً من x في (g) = x² - 3 (بسط) --- SECTION: (c) [f o g](2) --- [f o g](2) (c أوجد قيمة الدالة (x)f o g التي حصلت عليها في الفرع a عندما 2 = x. [f o g](2) = (2)² - 8(2) + 17 = 5 (عوض 2 مكان x في 17 + x² - 8x) --- SECTION: تنبيه! --- تنبيه! --- SECTION: ترتيب الدوال عند التركيب --- ترتيب الدوال عند التركيب في معظم الأحيان g o f ≠ f o g دالتان مختلفتان. بمعنى آخر إن تركيب الدوال ليس إبدالياً. ففي المثال 2 [f o g](x) = x² - 8x + 17 و [g o f](x) = x² - 3 وهما دالتان مختلفتان. والتمثيل البياني أدناه يبين ذلك. --- SECTION: Page Number --- 59 --- SECTION: Lesson Title --- الدرس 6-1 العمليات على الدوال وتركيب دالتين --- SECTION: Ministry of Education Logo --- وزارة التعليم --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: تركيب دالتين Description: A diagram illustrating the composition of two functions, f and g. It shows an input 'x' mapping to 'g(x)' via function 'g' (مجال g), and then 'g(x)' mapping to 'f[g(x)]' via function 'f' (مجال f). The overall composition is represented as 'f o g' from 'x' to 'f[g(x)]'. The formula [f o g](x) = f[g(x)] is also shown below the diagram. X-axis: EMPTY Y-axis: EMPTY Data: EMPTY Key Values: x, g(x), f[g(x)], مجال g, مجال f, f o g, g, f, [f o g](x) = f[g(x)] Context: Visually explains how function composition works by showing the sequential application of functions. **GRAPH**: تمثيل بياني للدوال المركبة Description: A graph showing two parabolic functions, one representing f(x)=x²-3 and the other f(x)=x²-8x+17. The graph illustrates that the two composite functions from Example 2 are different, supporting the non-commutative property of function composition. X-axis: x Y-axis: y Data: Two parabolas are plotted. The blue curve, labeled 'f(x)=x²-3', is a standard parabola shifted down by 3 units, with its vertex at (0, -3). The red curve, labeled 'f(x)=x²-8x+17', is a parabola shifted and translated, with its vertex at (4, 1). The graph clearly shows that these are distinct functions. Key Values: Vertex of f(x)=x²-3 at (0, -3), Vertex of f(x)=x²-8x+17 at (4, 1) Context: Illustrates the non-commutative property of function composition by showing the distinct graphs of [f o g](x) and [g o f](x).