العلاقات والدوال العكسية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

إن الدالة العكسية f⁻¹ تلغي عمل الدالة f والعكس صحيح؛ لذا فإنه يمكننا تعريف الدوال العكسية باستعمال عملية التركيب بينهما. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي --- SECTION: تركيب الدالة ودالتها العكسية --- تكون كل من الدالتين f و f⁻¹ دالة عكسية للأخرى، إذا وفقط إذا تحقق الشرطان الآتيان: • x = [f⁻¹(f(x))] لجميع قيم x في مجال (f). • x = [f(f⁻¹(x))] لجميع قيم x في مجال (f⁻¹). لاحظ أن تركيب f ∘ f⁻¹ هو الدالة المحايدة. وتُستعمل هذه الحقيقة للتحقق من أن كلاً من الدالتين دالة عكسية للأخرى. --- SECTION: مثال 3 --- إثبات أن كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى أثبت جبريًا أن كلاً من الدالتين f(x) = (6 / (x - 4)) و g(x) = (6 / x) + 4 دالة عكسية للأخرى. أثبت أن x = [f(g(x))] و x = [g(f(x))]. f[g(x)] = f((6/x) + 4) = 6 / (((6/x) + 4) - 4) = 6 / (6/x) = x g[f(x)] = g(6 / (x - 4)) = (6 / (6 / (x - 4))) + 4 = (x - 4) + 4 = x بما أن x = [f(g(x))] = [g(f(x))]، فإن كلاً من الدالتين f(x), g(x) تكون دالة عكسية للأخرى. ويؤكد التمثيل البياني المجاور هذه الإجابة حيث ينتج كل دالة من الأخرى بالانعكاس حول المستقيم x = y. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك أثبت جبريًا أن كلاً من الدالتين g, f تمثل دالة عكسية للأخرى في كل مما يأتي: (3A) f(x) = 18 - 3x, g(x) = 6 - (x/3) (3B) f(x) = x² + 10, x ≥ 0, g(x) = √x - 10 من الصعب إيجاد الدالة العكسية جبريًا لمعظم الدوال المتباينة، إلا أنه يمكننا تمثيل منحنى الدالة العكسية بانعكاس الدالة الأصلية حول المستقيم x = y. --- SECTION: إيجاد الدالة العكسية بيانيًا --- إيجاد الدالة العكسية بيانيًا --- SECTION: مثال 4 --- استعمل التمثيل البياني للدالة (f(x في الشكل 1.7.3 لتمثيل (f⁻¹(x. مثل بيانيًا المستقيم x = y. وعين بعض النقاط على منحنى (f(x. أوجد صور هذه النقاط بالانعكاس حول المستقيم x = y. ثم صل بينها بمنحنى كصورة من مرآة لمنحنى الدالة (f(x حول المستقيم x = y. (الشكل 1.7.4) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- الدالة العكسية والقيم القصوى يكون للدالة المتصلة دالة عكسية، إذا وفقط إذا لم يكن لها قيم عظمى أو صغرى محلية. فإذا كان للدالة قيم عظمى أو صغرى محلية، فإن الدالة تفشل باختبار الخط الأفقي، ومن ثم لا تكون دالة متباينة. الشكل 1.7.3 الشكل 1.7.4 وزارة التعليم الدرس 7-1 العلاقات والدوال العكسية 69 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Calculator Graph Description: A graph generated by a calculator showing two functions, f(x) = 6/(x-4) and g(x) = 6/x + 4, along with the line y=x. The functions are reflections of each other across the line y=x, visually confirming they are inverse functions. The graph shows vertical and horizontal asymptotes for f(x) at x=4 and y=0 respectively, and for g(x) at x=0 and y=4 respectively. The intersection point of the two functions and y=x is visible. X-axis: x Y-axis: y Data: Two hyperbolic functions are plotted. One (f(x)) has a vertical asymptote at x=4 and a horizontal asymptote at y=0. The other (g(x)) has a vertical asymptote at x=0 and a horizontal asymptote at y=4. Both functions are symmetric with respect to the line y=x, which is also plotted. The graph visually confirms that f(x) and g(x) are inverse functions. Context: This graph visually confirms the algebraic proof that f(x) and g(x) are inverse functions by demonstrating their symmetry across the line y=x. (Note: Some details are estimated) **FIGURE**: الشكل 1.7.3 Description: A Cartesian coordinate system showing the graph of a function y=f(x). The function is a smooth, monotonically increasing curve, starting from the bottom-left, passing through the origin (0,0), and extending to the top-right. The axes are labeled x and y, and the origin is marked 'O'. This figure provides the initial function for Example 4. X-axis: x Y-axis: y Context: This figure provides the initial function f(x) for Example 4, which is used to graphically derive its inverse. **FIGURE**: الشكل 1.7.4 Description: A Cartesian coordinate system showing the graph of a function y=f(x) and its inverse y=f⁻¹(x), along with the line y=x. The graph of f(x) is the same as in Figure 1.7.3. The graph of f⁻¹(x) is a reflection of f(x) across the line y=x. Several points are marked on f(x) and their reflected counterparts on f⁻¹(x) are shown, connected by dashed lines perpendicular to y=x, illustrating the reflection process. The axes are labeled x and y. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows the original function f(x) and its inverse f⁻¹(x) plotted on the same coordinate plane. The line y=x is also shown, acting as the line of reflection. The inverse function f⁻¹(x) is clearly a mirror image of f(x) across the line y=x, with corresponding points reflected. Context: This figure demonstrates the graphical method of finding an inverse function by reflecting the original function across the line y=x, as described in Example 4.