العلاقات والدوال العكسية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: 1-7 --- 1-7 --- SECTION: فيما سبق --- فيما سبق: درست إيجاد تركيب دالتين. (الدرس ٦-١) --- SECTION: والآن --- والآن: أستعمل اختبار الخط الأفقي على منحنى الدالة لتحديد إن كان لهذه الدالة دالة عكسية أم لا. أجد الدالة العكسية جبريًا وبيانيًا. --- SECTION: المفردات --- المفردات: العلاقة العكسية inverse relation الدالة العكسية inverse function الدالة المتباينة one-to-one function العلاقات والدوال العكسية Inverse Relations and Functions --- SECTION: رابط الدرس الرقمي --- رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: لماذا؟ --- لماذا؟ يربط الجدول A عدد تذاكر دخول مدينة ألعاب بسعرها، في حين يربط الجدول B السعر بعدد التذاكر. لاحظ أن تبديل صفي الجدول A يعطي الجدول B. --- SECTION: الدالة العكسية --- الدالة العكسية: العلاقة في الجدول A تمثل علاقة عكسية للعلاقة في الجدول B. يقال: إن كلاً من العلاقتين B, A علاقة عكسية للأخرى إذا وفقط إذا تحقق الشرط التالي: إذا كان الزوج المرتب (a, b) ينتمي إلى إحدى العلاقتين؛ فإن الزوج المرتب (b, a) ينتمي إلى العلاقة الأخرى. وإذا مثلت العلاقة بمعادلة، فيمكن إيجاد علاقتها العكسية بتبديل المتغير المستقل بالمتغير التابع، فمثلاً --- SECTION: العلاقة العكسية --- العلاقة العكسية y = x² - 4 أو y² = x + 4 لاحظ أن كل علاقة من هاتين العلاقتين المتعاكستين هي انعكاس للأخرى حول المستقيم x = y. هذه العلاقة صحيحة بين كل منحنيات العلاقات ومنحنيات علاقاتها العكسية. يتضح من تعريف العلاقة العكسية أنه لكل علاقة يوجد علاقة عكسية، إلا أن اهتمامنا ينصب على الدوال التي تمثل علاقاتها العكسية دوال. فإذا كانت العلاقة العكسية لدالة f تمثل دالة سميت الدالة العكسية لـ f، ويرمز لها بالرمز f⁻¹. لاحظ في التمثيل البياني أعلاه أن العلاقة الأصلية دالة؛ لأنها تحقق اختبار الخط الرأسي، إلا أن علاقتها العكسية لا تحقق هذا الاختبار فهي ليست دالة. وبشكل عام، ليس من الضروري أن تكون العلاقة العكسية دالة. يقودنا تمثيل العلاقة وعلاقتها العكسية إلى اختبار آخر لتحديد وجود دالة عكسية. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي اختبار الخط الأفقي التعبير اللفظي: يوجد للدالة f دالة عكسية f⁻¹ إذا وفقط إذا كان كل خط أفقي يتقاطع مع منحنى الدالة عند نقطة واحدة على الأكثر. مثال: بما أنه لا يوجد خط أفقي يقطع منحنى الدالة f بأكثر من نقطة، فإن الدالة العكسية f⁻¹ موجودة. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- قراءة الرياضيات رمز الدالة العكسية: يجب ألا يحدث لبس بين رمز الدالة العكسية (f⁻¹) ومقلوب الدالة 1 f(x) الفصل 1 تحليل الدوال 66 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: An image showing an amusement park ride with multiple seats, possibly a carousel or a similar spinning ride, set outdoors with trees and buildings in the background. Context: Used as a visual context for the 'لماذا؟' section, relating to ticket prices and quantities. **TABLE**: الجدول A Description: Table A shows the number of tickets and their corresponding prices in Riyals. Table Structure: Headers: عدد التذاكر | السعر بالريال Rows: Row 1: 1 | 5 Row 2: 2 | 10 Row 3: 3 | 15 Row 4: 4 | 20 Row 5: 5 | 25 Data: The table shows a direct relationship where as the number of tickets increases, the price in Riyals also increases proportionally. Context: Illustrates a direct relation, which is then inverted in Table B to demonstrate inverse relations. **TABLE**: الجدول B Description: Table B shows the price in Riyals and the corresponding number of tickets. Table Structure: Headers: السعر بالريال | عدد التذاكر Rows: Row 1: 5 | 1 Row 2: 10 | 2 Row 3: 15 | 3 Row 4: 20 | 4 Row 5: 25 | 5 Data: The table shows an inverse relationship to Table A, where the values for 'عدد التذاكر' and 'السعر بالريال' are swapped. Context: Illustrates the inverse relation of Table A, demonstrating how swapping independent and dependent variables creates an inverse. **TABLE**: جدول قيم x و y للعلاقات y = x² - 4 و y² = x + 4 Description: Two columns of x and y values. The left column represents points for the relation y = x² - 4, and the right column represents points for its inverse y² = x + 4, showing the swapped coordinates. Table Structure: Headers: x | y | x | y Rows: Row 1: -3 | 5 | 5 | -3 Row 2: -2 | 0 | 0 | -2 Row 3: -1 | -3 | -3 | -1 Row 4: 0 | -4 | -4 | 0 Row 5: 1 | -3 | -3 | 1 Row 6: 2 | 0 | 0 | 2 Row 7: 3 | 5 | 5 | 3 Data: The x and y values in the second column are the inverse of the x and y values in the first column, demonstrating the concept of inverse relations by swapping coordinates. Context: Provides numerical data points to visualize and understand the inverse relationship between y = x² - 4 and y² = x + 4, which are then plotted in the adjacent graph. **GRAPH**: تمثيل بياني للعلاقات العكسية Description: A Cartesian coordinate graph showing three lines: a parabola opening upwards (y = x² - 4), a parabola opening to the right (y² = x + 4), and a diagonal line (y = x). The two parabolas are reflections of each other across the line y = x. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph illustrates that the relation y = x² - 4 (a function) has an inverse relation y² = x + 4 (not a function, as it fails the vertical line test). The line y = x acts as the line of reflection between the two inverse relations. Context: Visually demonstrates the concept of inverse relations and how they are reflected across the line y = x. It also implicitly shows that an inverse relation is not always a function. **GRAPH**: اختبار الخط الأفقي Description: A Cartesian coordinate graph showing a curve labeled y = f(x) and a horizontal line intersecting the curve at only one point. This illustrates the Horizontal Line Test. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a function y = f(x) that passes the horizontal line test, meaning any horizontal line intersects the graph at most once. This indicates that the inverse of f(x) is also a function. Context: Illustrates the 'Horizontal Line Test' which is used to determine if the inverse of a function is also a function (i.e., if the original function is one-to-one).