إيجاد الدالة العكسية جبريًا - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: قراءة الرياضيات --- الدوال القابلة للعكس: يقال للدالة التي تكون دالتها العكسية موجودة: دالة قابلة للعكس. --- SECTION: الفصل 1 تحليل الدوال --- 68 --- SECTION: مثال 2 إيجاد الدالة العكسية جبريًا --- في كل مما يأتي أوجد الدالة العكسية f⁻¹ إن أمكن، وحدد مجالها والقيود عليه، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا فاكتب غير موجودة. --- SECTION: a --- f(x) = (x-1)/(x+2) يوضح التمثيل البياني المجاور أن منحنى الدالة يحقق اختبار الخط الأفقي؛ لذا فإن f دالة متباينة، وعليه فإن لها دالة عكسية. مجال الدالة f هو (∞, 1) U (1, 2-) U (2-, ∞)، ومداها هو (∞, 1) U (1, 2-) U (2-, ∞). أي أن مجال ومدى f يساويان مدى ومجال f⁻¹ على الترتيب. لذا لا حاجة لفرض قيود على مجال f⁻¹. الدالة الأصلية f(x) = (x-1)/(x+2) عوض y بدلاً من f(x) y = (x-1)/(x+2) بدل بين y و x x = (y-1)/(y+2) اضرب الطرفين في (2 + y)، ثم طبق خاصية التوزيع xy + 2x = y - 1 ضع الحدود التي تحوي y في طرف واحد xy - y = -2x - 1 خاصية التوزيع y(x - 1) = -2x - 1 حل بالنسبة لـ y y = (-2x - 1)/(x - 1) عوض f⁻¹(x) بدلاً من y، لاحظ أن 1 ≠ x f⁻¹(x) = (-2x - 1)/(x - 1) يظهر من التمثيل البياني أن مجال f⁻¹ هو (∞, 1) U (1, ∞)، ومداها هو (∞, 2-) U (2-, ∞). أي أن مجال ومدى f يساويان مدى ومجال f⁻¹ على الترتيب. لذا لا حاجة لفرض قيود على مجال f⁻¹. --- SECTION: b --- f(x) = √(x-4) يوضح الشكل المجاور أن منحنى الدالة يحقق اختبار الخط الأفقي؛ لذا فإن الدالة f متباينة، وعليه فإن لها دالة عكسية. مجال الدالة f هو [∞, 4)، ومداها [∞, 0). أوجد f⁻¹. الدالة الأصلية f(x) = √(x-4) عوض y بدلاً من f(x) y = √(x-4) بدل بين x و y x = √(y-4) ربع الطرفين x² = y - 4 حل بالنسبة إلى y y = x² + 4 عوض f⁻¹(x) بدلاً من y f⁻¹(x) = x² + 4 يظهر من التمثيل البياني المجاور أن مجال f⁻¹ هو (∞, 0)، ومداها [∞, 4). ومن ثم فإننا نفرض قيودًا على مجالها بحيث يكون مساويًا لمدى f وهو [∞, 0)، ويبقى مداها [∞, 4). والآن يصبح مجال f⁻¹ ومجالها على الترتيب؛ لذا فإن f⁻¹(x) = x² + 4 ومجالها {x | x ≥ 0, x ∈ R}. --- SECTION: 2A --- f(x) = -16 + x³ --- SECTION: 2B --- f(x) = (x+7)/x --- SECTION: 2C --- f(x) = √(x²-20) وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: f(x) = (x-1)/(x+2) Description: Graph of the rational function f(x) = (x-1)/(x+2) showing a vertical asymptote at x=-2 and a horizontal asymptote at y=1. The graph is displayed on a calculator screen. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows two branches of a hyperbola. The left branch is in the second and third quadrants, approaching the vertical asymptote x=-2 from the left and the horizontal asymptote y=1 from below. The right branch is in the first and fourth quadrants, approaching the vertical asymptote x=-2 from the right and the horizontal asymptote y=1 from above. It passes through (1, 0) and (0, -0.5). Key Values: Vertical asymptote at x=-2, Horizontal asymptote at y=1, x-intercept at (1, 0), y-intercept at (0, -0.5) Context: Illustrates the graph of a rational function, used to visually confirm it passes the horizontal line test for invertibility. **GRAPH**: f⁻¹(x) = (-2x-1)/(x-1) Description: Graph of the inverse rational function f⁻¹(x) = (-2x-1)/(x-1) showing a vertical asymptote at x=1 and a horizontal asymptote at y=-2. The graph is displayed on a calculator screen. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows two branches of a hyperbola, which is the reflection of the original function across the line y=x. It has a vertical asymptote at x=1 and a horizontal asymptote at y=-2. It passes through (0, 1) and (-0.5, 0). Key Values: Vertical asymptote at x=1, Horizontal asymptote at y=-2, x-intercept at (-0.5, 0), y-intercept at (0, 1) Context: Illustrates the graph of the inverse function, showing how its domain and range are swapped compared to the original function. **GRAPH**: f(x) = √(x-4) Description: Graph of the square root function f(x) = √(x-4). The graph is displayed on a calculator screen. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph starts at the point (4, 0) and extends to the right, increasing gradually. It passes through (5, 1) and (8, 2). Key Values: Starting point at (4, 0), Domain x ≥ 4, Range y ≥ 0 Context: Illustrates the graph of a square root function, showing its domain and range, and how it passes the horizontal line test. **GRAPH**: f⁻¹(x) = x²+4 Description: Graph of the inverse function f⁻¹(x) = x²+4, restricted to x ≥ 0. The graph is displayed on a calculator screen. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows the right half of a parabola, starting at (0, 4) and opening upwards. It passes through (1, 5) and (2, 8). This is the reflection of the original square root function across y=x. Key Values: Starting point at (0, 4), Domain x ≥ 0, Range y ≥ 4 Context: Illustrates the graph of the inverse function (a parabola restricted to its right half), showing how its domain and range are swapped compared to the original square root function.