تدرب وحل المسائل - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

ملخص صفحة 71: تدرب وحل المسائل (الدرس 7-1 العلاقات والدوال العكسية)

1. مثل كلاً من الدوال الآتية بيانيًّا باستعمال الحاسبة البيانية، ثم طبق اختبار الخط الأفقي لتحديد إن كانت الدالة العكسية موجودة، أم لا.

* 1. y = x^2 + 6x + 9. هذه معادلة قطع مكافئ. اختبار الخط الأفقي سيفشل (خط أفقي يتقاطع مع المنحنى في أكثر من نقطة)، لذا الدالة العكسية غير موجودة.

* 2. y = x^2 - 16x + 64. هذه معادلة قطع مكافئ. اختبار الخط الأفقي سيفشل، لذا الدالة العكسية غير موجودة.

* 3. y = 3x - 8. هذه دالة خطية. اختبار الخط الأفقي ينجح (كل خط أفقي يتقاطع مع المنحنى في نقطة واحدة على الأكثر)، لذا الدالة العكسية موجودة.

* 4. y = 4. هذه دالة ثابتة (خط أفقي). اختبار الخط الأفقي سيفشل (الخط الأفقي y=4 يتطابق مع المنحنى نفسه)، لذا الدالة العكسية غير موجودة.

* 5. y = \sqrt{x} + 4. مجالها x \ge 0. اختبار الخط الأفقي ينجح، لذا الدالة العكسية موجودة.

* 6. y = -4x^2 + 8. هذه معادلة قطع مكافئ مفتوح للأسفل. اختبار الخط الأفقي سيفشل، لذا الدالة العكسية غير موجودة.

* 7. y = \frac{8}{x+2}. مجالها x \ne -2. اختبار الخط الأفقي ينجح، لذا الدالة العكسية موجودة.

* 8. y = \frac{1}{4}x^3. هذه دالة تكعيبية. اختبار الخط الأفقي ينجح، لذا الدالة العكسية موجودة.

2. أوجد الدالة العكسية f⁻¹ في كل مما يأتي إن أمكن، وحدد مجالها والقيود عليه، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا فاكتب غير موجودة.

* 9. f(x) = -3x^4 + 6x^2 - x. ليست دالة واحد لواحد (ليست متباينة)، لذا غير موجودة.

* 10. f(x) = 4x^5 - 8x^4. ليست دالة واحد لواحد، لذا غير موجودة.

* 11. f(x) = \sqrt{x} + 8. مجال f(x): x \ge 0. لإيجاد العكسية: y = \sqrt{x} + 8 \rightarrow y - 8 = \sqrt{x} \rightarrow x = (y - 8)^2. إذن f^{-1}(x) = (x - 8)^2. مجال f^{-1}(x) هو مدى f(x): [8, \infty).

* 12. f(x) = \sqrt{6 - x^2}. مجال f(x): -\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}. ليست دالة واحد لواحد على هذا المجال (تخفق في اختبار الخط الأفقي)، لذا غير موجودة.

* 13. f(x) = |x - 6|. ليست دالة واحد لواحد، لذا غير موجودة.

* 14. f(x) = \frac{x - 6}{x}. مجال f(x): x \ne 0. لإيجاد العكسية: y = \frac{x-6}{x} \rightarrow yx = x-6 \rightarrow yx - x = -6 \rightarrow x(y-1) = -6 \rightarrow x = \frac{-6}{y-1}. إذن f^{-1}(x) = \frac{-6}{x-1} = \frac{6}{1-x}. مجال f^{-1}(x) هو مدى f(x): جميع الأعداد الحقيقية ما عدا 1 (لأن المقام يصبح صفراً).

* 15. f(x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}. مجال f(x): x < 8. لإيجاد العكسية: y = \frac{6}{\sqrt{8-x}} \rightarrow \sqrt{8-x} = \frac{6}{y} \rightarrow 8-x = \frac{36}{y^2} \rightarrow x = 8 - \frac{36}{y^2}. إذن f^{-1}(x) = 8 - \frac{36}{x^2}. مجال f^{-1}(x) هو مدى f(x): (0, \infty).

* 16. f(x) = \frac{7}{\sqrt{x + 3}}. مجال f(x): x > -3. لإيجاد العكسية: y = \frac{7}{\sqrt{x+3}} \rightarrow \sqrt{x+3} = \frac{7}{y} \rightarrow x+3 = \frac{49}{y^2} \rightarrow x = \frac{49}{y^2} - 3. إذن f^{-1}(x) = \frac{49}{x^2} - 3. مجال f^{-1}(x) هو مدى f(x): (0, \infty).

* 17. f(x) = \frac{x+4}{3x-5}. مجال f(x): x \ne \frac{5}{3}. لإيجاد العكسية: y = \frac{x+4}{3x-5} \rightarrow y(3x-5) = x+4 \rightarrow 3xy - 5y = x+4 \rightarrow 3xy - x = 5y + 4 \rightarrow x(3y-1) = 5y+4 \rightarrow x = \frac{5y+4}{3y-1}. إذن f^{-1}(x) = \frac{5x+4}{3x-1}. مجال f^{-1}(x) هو مدى f(x): جميع الأعداد الحقيقية ما عدا \frac{1}{3}.

* 18. f(x) = |x+1| + |x-4|. ليست دالة واحد لواحد، لذا غير موجودة.

19. سرعة: تُعطى سرعة جسم بالكيلومتر لكل ساعة بالدالة y = 1.6x حيث x سرعة الجسم بالميل لكل ساعة.

* a) لإيجاد الدالة العكسية: y = 1.6x \rightarrow x = \frac{y}{1.6}. إذن y^{-1}(x) = \frac{x}{1.6}. تمثل x السرعة بالكيلومتر/ساعة، وتمثل y^{-1}(x) السرعة بالميل/ساعة.

* b) مثل كلاً من الدالتين في المستوى الإحداثي نفسه. (يتطلب استخدام الحاسبة البيانية لرسم الخطين المستقيمين y=1.6x و y=x/1.6).

3. أثبت جبريًّا أن كلاً من الدالتين g و f تمثل دالة عكسية للأخرى في كل مما يأتي:

* 20. f(x) = 4x+9, g(x) = \frac{x-9}{4}.

* f(g(x)) = 4(\frac{x-9}{4}) + 9 = (x-9) + 9 = x.

* g(f(x)) = \frac{(4x+9)-9}{4} = \frac{4x}{4} = x.

* بما أن f(g(x)) = x و g(f(x)) = x، فإن f و g دالتان عكسيتان.

* 21. f(x) = -3x^2 + 5, x \ge 0, g(x) = \sqrt{\frac{5-x}{3}}.

* f(g(x)) = -3(\sqrt{\frac{5-x}{3}})^2 + 5 = -3(\frac{5-x}{3}) + 5 = -(5-x) + 5 = -5 + x + 5 = x.

* g(f(x)) = \sqrt{\frac{5-(-3x^2+5)}{3}} = \sqrt{\frac{5+3x^2-5}{3}} = \sqrt{\frac{3x^2}{3}} = \sqrt{x^2} = |x|. وبما أن x \ge 0 (قيود على f)، فإن |x| = x.

* إذن f و g دالتان عكسيتان.

* 22. f(x) = \frac{x^2}{4} + 8, x \ge 0, g(x) = \sqrt{4x - 32}.

* f(g(x)) = \frac{(\sqrt{4x-32})^2}{4} + 8 = \frac{4x-32}{4} + 8 = (x-8) + 8 = x.

* g(f(x)) = \sqrt{4(\frac{x^2}{4}+8) - 32} = \sqrt{x^2 + 32 - 32} = \sqrt{x^2} = |x|. وبما أن x \ge 0، فإن |x| = x.

* إذن f و g دالتان عكسيتان.

* 23. f(x) = (x+8)^2, g(x) = x^3 - 8, x \ge 0.

* f(g(x)) = ((x^3-8)+8)^2 = (x^3)^2 = x^6. هذه لا تساوي x (مثلاً، عند x=2، الناتج 64 وليس 2). إذن ليستا دالتين عكسيتين.

* 24. f(x) = 2x^3 - 6, g(x) = \sqrt[3]{\frac{x+6}{2}}.

* f(g(x)) = 2(\sqrt[3]{\frac{x+6}{2}})^3 - 6 = 2(\frac{x+6}{2}) - 6 = (x+6) - 6 = x.

* g(f(x)) = \sqrt[3]{\frac{(2x^3-6)+6}{2}} = \sqrt[3]{\frac{2x^3}{2}} = \sqrt[3]{x^3} = x.

* إذن f و g دالتان عكسيتان.

* 25. f(x) = \frac{x-6}{x+2}, g(x) = \frac{2x+6}{1-x}.

* f(g(x)) = \frac{(\frac{2x+6}{1-x})-6}{(\frac{2x+6}{1-x})+2} = ... = x (بعد توحيد المقامات والتبسيط).

* g(f(x)) = \frac{2(\frac{x-6}{x+2})+6}{1-(\frac{x-6}{x+2})} = ... = x (بعد توحيد المقامات والتبسيط).

* إذن f و g دالتان عكسيتان.

26. فيزياء: تُعطى طاقة الحركة لجسم متحرك بالجول بالدالة f(x) = 0.5mx² حيث m كتلة الجسم بالكيلوجرام و x سرعة الجسم بالمتر لكل ثانية.

* a) لإيجاد الدالة العكسية: y = 0.5 m x^2 \rightarrow x^2 = \frac{2y}{m} \rightarrow x = \sqrt{\frac{2y}{m}} (نأخذ الجذر الموجب لأن السرعة موجبة). إذن f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{2x}{m}}. تمثل x طاقة الحركة بالجول، وتمثل f^{-1}(x) السرعة بالمتر/ثانية.

* b) الإثبات:

* f(f^{-1}(x)) = 0.5 m (\sqrt{\frac{2x}{m}})^2 = 0.5 m (\frac{2x}{m}) = x.

* f^{-1}(f(x)) = \sqrt{\frac{2(0.5 m x^2)}{m}} = \sqrt{\frac{m x^2}{m}} = \sqrt{x^2} = |x| = x (لأن x \ge 0).

* c) عندما m = 1، تصبح الدالتان: f(x) = 0.5x^2 و f^{-1}(x) = \sqrt{2x}. (يتطلب استخدام الحاسبة البيانية لرسم المنحنيين).

4. استعمل التمثيل البياني أدناه المعطى لكل دالة لتمثل الدالة العكسية لها:

* 27. الرسم البياني للدالة العكسية هو انعكاس الرسم الأصلي حول الخط y=x. الخط الأصلي يمر بالنقطتين (0, -4) و (4, 0). إذن، الدالة العكسية ستكون خطاً يمر بالنقطتين (-4, 0) و (0, 4).

* 28. الرسم البياني للدالة العكسية هو انعكاس القطع المكافئ y=g(x) (رأسه (0,4) ويمر ب(-2,0) و (2,0)) حول الخط y=x. النتيجة ستكون قطعاً مكافئاً مفتوحاً لليمين رأسه عند (4,0).

* 29. الرسم البياني للدالة العكسية هو انعكاس القطع المكافئ الجانبي y=f(x) (رأسه (0,0) ويمر ب(4,2) و (4,-2)) حول الخط y=x. النتيجة ستكون قطعاً مكافئاً عادياً مفتوحاً لأعلى رأسه عند (0,0).

* 30. الرسم البياني للدالة العكسية هو انعكاس المنحنى y=g(x) (يمر ب(0,0), (2,4), (-2,-4)) حول الخط y=x. سينتج عنه منحنى مشابهاً يمر بنفس النقاط مع تبديل الإحداثيات: (0,0), (4,2), (-4,-2).

31. وظائف: يعمل فالح... بالدالة f(x) = 0.05x + 420 حيث x قيمة المبيعات.

* a) f(x) = 0.05x + 420 هي دالة خطية (متزايدة)، لذا هي دالة واحد لواحد وعكسها موجود. لإيجاد العكسية: y = 0.05x + 420 \rightarrow y - 420 = 0.05x \rightarrow x = \frac{y - 420}{0.05} = 20y - 8400. إذن f^{-1}(x) = 20x - 8400.

* b) تمثل x في الدالة العكسية الدخل الأسبوعي (بالريال). وتمثل f^{-1}(x) قيمة المبيعات (بالريال) اللازمة لتحقيق ذلك الدخل.

* c) مجال f(x): قيمة المبيعات x \ge 0. مجال f^{-1}(x): مدى f(x)، وهو [420, \infty) لأن أقل دخل (عندما x=0) هو 420 ريالاً.

* d) لإيجاد قيمة المبيعات عندما يكون الدخل 720 ريالاً: f^{-1}(720) = 20(720) - 8400 = 14400 - 8400 = 6000 ريال.

5. حدد ما إذا كانت الدالة العكسية موجودة في كل مما يأتي أم لا.

* 32. الرسم البياني عبارة عن نصف دائرة. يخفق في اختبار الخط الأفقي (خط أفقي يتقاطع مع المنحنى في نقطتين). إذن الدالة العكسية غير موجودة.

* 33. الرسم البياني عبارة عن قطعة مستقيمة. ينجح في اختبار الخط الأفقي (كل خط أفقي يتقاطع مع المنحنى في نقطة واحدة على الأكثر). إذن الدالة العكسية موجودة.

* 34. الرسم البياني عبارة عن دالة متعددة التع

متابعة الملخص:

5. حدد ما إذا كانت الدالة العكسية موجودة في كل مما يأتي أم لا. (تابع)

* 35. الرسم البياني عبارة عن دالة خطوة (Step Function) مع نقطة منعزلة. يخفق في اختبار الخط الأفقي (على سبيل المثال، الخط الأفقي y = -5 يتقاطع مع الجزء الأفقي عند y=-5 بالإضافة إلى النقطة المنعزلة عند y=-4). إذن الدالة العكسية غير موجودة.

تدرب وحل المسائل

مثل كلاً من الدوال الآتية بيانيًّا باستعمال الحاسبة البيانية، ثم طبق اختبار الخط الأفقي لتحديد إن كانت الدالة العكسية موجودة، أم لا. (مثال 1)

1 y = x² + 6x + 9

2 y = x² - 16x + 64

3 y = 3x - 8

4 y = 4

5 y = √x + 4

6 y = -4x² + 8

7 y = 8 / (x + 2)

8 y = 1/4 x³

أوجد الدالة العكسية f⁻¹ في كل مما يأتي إن أمكن، وحدد مجالها والقيود عليه، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا فاكتب غير موجودة. (مثال 2)

9 f(x) = -3x⁴ + 6x² - x

10 f(x) = 4x⁵ - 8x⁴

11 f(x) = √x + 8

12 f(x) = √6 - x²

13 f(x) = |x - 6|

14 f(x) = (x - 6) / x

15 f(x) = 6 / √8 - x

16 f(x) = 7 / √x + 3

17 f(x) = (x + 4) / (3x - 5)

18 f(x) = |x + 1| + |x - 4|

19 سرعة: تُعطى سرعة جسم لا بالكيلومتر لكل ساعة بالدالة y = 1.6x حيث x سرعة الجسم بالميل لكل ساعة. (مثال 2)

أثبت جبريًّا أن كلاً من الدالتين g و f تمثل دالة عكسية للأخرى في كل مما يأتي: (مثال 3)

20 f(x) = 4x + 9 g(x) = (x - 9) / 4

21 f(x) = -3x² + 5, x ≥ 0 g(x) = √(5 - x) / 3

22 f(x) = (x² / 4) + 8, x ≥ 0 g(x) = √4x - 32

23 f(x) = (x + 8)² g(x) = x³ - 8, x ≥ 0

24 f(x) = 2x³ - 6 g(x) = ³√(x + 6) / 2

25 f(x) = (x - 6) / (x + 2) g(x) = (2x + 6) / (1 - x)

26 فيزياء: تُعطى طاقة الحركة لجسم متحرك بالجول بالدالة f(x) = 0.5mx² حيث m كتلة الجسم بالكيلوجرام و x سرعة الجسم بالمتر لكل ثانية. (مثال 3)

استعمل التمثيل البياني أدناه المعطى لكل دالة لتمثل الدالة العكسية لها: (مثال 4)

27

28

29

30

31 وظائف: يعمل فالح في أحد محلات بيع الأحذية خارج أوقات دوامه الرسمي مقابل راتب مقداره 420 ريالاً في الأسبوع، ويتقاضى أيضًا عمولة مقدارها 5% من قيمة المبيعات. أي أن ما يتقاضاه أسبوعيًّا يُعطى بالدالة f(x) = 0.05x + 420 حيث x قيمة المبيعات. (مثال 5)

حدد ما إذا كانت الدالة العكسية موجودة في كل مما يأتي أم لا.

32

33

34

35

وزارة التعليم M171 2025 - 1447

الدرس 7-1 العلاقات والدوال العكسية

71

تدرب وحل المسائل مثل كلاً من الدوال الآتية بيانيًّا باستعمال الحاسبة البيانية، ثم طبق اختبار الخط الأفقي لتحديد إن كانت الدالة العكسية موجودة، أم لا. (مثال 1) --- SECTION: 1 --- 1 y = x² + 6x + 9 --- SECTION: 2 --- 2 y = x² - 16x + 64 --- SECTION: 3 --- 3 y = 3x - 8 --- SECTION: 4 --- 4 y = 4 --- SECTION: 5 --- 5 y = √x + 4 --- SECTION: 6 --- 6 y = -4x² + 8 --- SECTION: 7 --- 7 y = 8 / (x + 2) --- SECTION: 8 --- 8 y = 1/4 x³ أوجد الدالة العكسية f⁻¹ في كل مما يأتي إن أمكن، وحدد مجالها والقيود عليه، وإذا لم يكن ذلك ممكنًا فاكتب غير موجودة. (مثال 2) --- SECTION: 9 --- 9 f(x) = -3x⁴ + 6x² - x --- SECTION: 10 --- 10 f(x) = 4x⁵ - 8x⁴ --- SECTION: 11 --- 11 f(x) = √x + 8 --- SECTION: 12 --- 12 f(x) = √6 - x² --- SECTION: 13 --- 13 f(x) = |x - 6| --- SECTION: 14 --- 14 f(x) = (x - 6) / x --- SECTION: 15 --- 15 f(x) = 6 / √8 - x --- SECTION: 16 --- 16 f(x) = 7 / √x + 3 --- SECTION: 17 --- 17 f(x) = (x + 4) / (3x - 5) --- SECTION: 18 --- 18 f(x) = |x + 1| + |x - 4| --- SECTION: 19 --- 19 سرعة: تُعطى سرعة جسم لا بالكيلومتر لكل ساعة بالدالة y = 1.6x حيث x سرعة الجسم بالميل لكل ساعة. (مثال 2) أثبت جبريًّا أن كلاً من الدالتين g و f تمثل دالة عكسية للأخرى في كل مما يأتي: (مثال 3) --- SECTION: 20 --- 20 f(x) = 4x + 9 g(x) = (x - 9) / 4 --- SECTION: 21 --- 21 f(x) = -3x² + 5, x ≥ 0 g(x) = √(5 - x) / 3 --- SECTION: 22 --- 22 f(x) = (x² / 4) + 8, x ≥ 0 g(x) = √4x - 32 --- SECTION: 23 --- 23 f(x) = (x + 8)² g(x) = x³ - 8, x ≥ 0 --- SECTION: 24 --- 24 f(x) = 2x³ - 6 g(x) = ³√(x + 6) / 2 --- SECTION: 25 --- 25 f(x) = (x - 6) / (x + 2) g(x) = (2x + 6) / (1 - x) --- SECTION: 26 --- 26 فيزياء: تُعطى طاقة الحركة لجسم متحرك بالجول بالدالة f(x) = 0.5mx² حيث m كتلة الجسم بالكيلوجرام و x سرعة الجسم بالمتر لكل ثانية. (مثال 3) استعمل التمثيل البياني أدناه المعطى لكل دالة لتمثل الدالة العكسية لها: (مثال 4) --- SECTION: 27 --- 27 --- SECTION: 28 --- 28 --- SECTION: 29 --- 29 --- SECTION: 30 --- 30 --- SECTION: 31 --- 31 وظائف: يعمل فالح في أحد محلات بيع الأحذية خارج أوقات دوامه الرسمي مقابل راتب مقداره 420 ريالاً في الأسبوع، ويتقاضى أيضًا عمولة مقدارها 5% من قيمة المبيعات. أي أن ما يتقاضاه أسبوعيًّا يُعطى بالدالة f(x) = 0.05x + 420 حيث x قيمة المبيعات. (مثال 5) حدد ما إذا كانت الدالة العكسية موجودة في كل مما يأتي أم لا. --- SECTION: 32 --- 32 --- SECTION: 33 --- 33 --- SECTION: 34 --- 34 --- SECTION: 35 --- 35 وزارة التعليم M171 2025 - 1447 الدرس 7-1 العلاقات والدوال العكسية 71 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A straight line passing through the origin, increasing from bottom-left to top-right. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph represents a linear function. Its inverse is also a linear function. It passes the horizontal line test, so its inverse is a function. **GRAPH**: Untitled Description: A parabola with its vertex at (0, 4), opening downwards, symmetrical about the y-axis. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph represents a quadratic function. It does not pass the horizontal line test, meaning its inverse is not a function unless the domain is restricted. **GRAPH**: Untitled Description: A parabola with its vertex at (0, 0), opening rightwards, symmetrical about the x-axis. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph represents a relation, not a function, as it fails the vertical line test. Its inverse would be a function if the original relation were restricted to either the upper or lower half. **GRAPH**: Untitled Description: A continuous curve that generally increases, passing through the origin with an inflection point. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph represents a cubic function. It passes the horizontal line test, so its inverse is also a function. **GRAPH**: Untitled Description: A semicircle with its center at (0, 0) and radius 4, extending from x=-4 to x=4, with the curve below the x-axis. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph represents a function. It does not pass the horizontal line test, so its inverse is not a function unless the domain is restricted. **GRAPH**: Untitled Description: A straight line segment starting at a closed point and extending downwards and to the right with an arrow. X-axis: x Y-axis: y Context: This graph represents a linear function with a restricted domain. It passes the horizontal line test, so its inverse is a function. **GRAPH**: Untitled Description: A piecewise linear function consisting of two segments. The first segment decreases from an open circle at (-4, 4) to a local minimum at (0, -2). The second segment increases from (0, -2) to a closed circle at (4, -4). X-axis: x Y-axis: y Context: This graph represents a piecewise linear function. It does not pass the horizontal line test, so its inverse is not a function unless the domain is restricted. **GRAPH**: Untitled Description: A step function composed of two horizontal segments and an isolated point. The first segment is from (-4, -6) (open) to (0, -6) (closed). The second segment is from (0, -5) (open) to (4, -5) (closed). There is also an isolated closed point at (4, -4). X-axis: x Y-axis: y Context: This graph represents a piecewise constant function. It fails the horizontal line test, so its inverse is not a function.