تطبيق اختبار الخط الأفقي - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

--- SECTION: تنبيه! --- اختبار الخط الأفقي عند استعمال الحاسبة البيانية. اختبر بدقة المواقع التي يفشل فيها اختبار الخط الأفقي باستعمال الحاسبة البيانية. واختر منها 3: تكبير 4: تصغير أو اضبط الشاشة للتأكد. تطبيق اختبار الخط الأفقي مثال 1 مثل كلاً من الدوال الآتية بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية، ثم طبق اختبار الخط الأفقي لتحديد إن كانت الدالة العكسية موجودة أم لا. --- SECTION: a --- f(x) = |x - 1| يوضح التمثيل البياني للدالة في الشكل المجاور أنه من الممكن إيجاد خط أفقي يقطع منحنى (f(x في أكثر من نقطة، وعليه فإن f⁻¹ غير موجودة. --- SECTION: b --- g(x) = x³ - 6x² + 12x - 8 يوضح التمثيل البياني للدالة (g(x في الشكل المجاور أنه من غير الممكن إيجاد خط أفقي يقطع منحنى الدالة (g(x في أكثر من نقطة، وعليه فإن g⁻¹ موجودة. تحقق من فهمك --- SECTION: 1A --- h(x) = 4/x --- SECTION: 1B --- f(x) = x² + 5x - 7 إيجاد الدالة العكسية إذا حققت الدالة اختبار الخط الأفقي سميت دالة متباينة؛ لأن كل قيمة لـ x ترتبط بقيمة واحدة فقط لـ y ولا توجد قيمة لـ y ترتبط بأكثر من قيمة لـ x. إذا كانت الدالة متباينة، فإن لها دالة عكسية على أن يكون مجال f مساوياً لمدى f⁻¹ ومدى f مساوياً لمجال f⁻¹. لإيجاد الدالة العكسية جبرياً، نتبع الخطوات الآتية: --- SECTION: مفهوم أساسي --- إيجاد الدالة العكسية الخطوة 1: تحقق من وجود دالة عكسية للدالة المعطاة بالتحقق من أنها متباينة بالاعتماد على اختبار الخط الأفقي. الخطوة 2: ضع y مكان (f(x، ثم بدل موقعي y, x. الخطوة 3: حل المعادلة بالنسبة للمتغير y، ثم ضع (x)f⁻¹ مكان y. الخطوة 4: اذكر أية شروط على مجال f⁻¹ وبين أن مجال f يساوي مدى f⁻¹، وأن مدى f يساوي مجال f⁻¹. يظهر من الخطوة الأخيرة أن جزءاً فقط من الدالة التي أوجدتها جبرياً قد يكون دالة عكسية للدالة f؛ لذا يجب دراسة مجال f⁻¹ عند إيجاد f⁻¹. وزارة التعليم الدرس 7-1 العلاقات والدوال العكسية 67 M 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: f(x) = |x - 1| Description: A V-shaped graph representing the absolute value function f(x) = |x - 1|. The vertex is at (1, 0). A horizontal red line is drawn across the graph, intersecting it at two points, demonstrating that the function fails the horizontal line test. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a V-shape opening upwards, with its lowest point (vertex) at x=1, y=0. The function increases linearly for x > 1 and decreases linearly for x < 1. The horizontal line intersects the graph at two distinct points, for example, at y=1, it intersects at x=0 and x=2. Key Values: Vertex: (1, 0), Y-intercept: (0, 1), Horizontal line intersects at two points Context: This graph illustrates a function that is not one-to-one because a horizontal line intersects it at more than one point, meaning its inverse is not a function. **GRAPH**: g(x) = x³ - 6x² + 12x - 8 Description: A graph of the cubic function g(x) = x³ - 6x² + 12x - 8. The graph shows a generally increasing trend with an inflection point where the slope momentarily flattens around x=2. A horizontal red line is drawn, intersecting the graph at only one point, demonstrating that the function passes the horizontal line test. X-axis: x Y-axis: y Data: The graph shows a cubic curve that is monotonically increasing. It passes through the point (2, 0). The horizontal line intersects the graph at only one point, indicating it is a one-to-one function. Key Values: X-intercept/Inflection point: (2, 0), Horizontal line intersects at one point Context: This graph illustrates a function that is one-to-one because any horizontal line intersects it at most one point, meaning its inverse is a function. **DIAGRAM**: العلاقة بين مجال ومدى الدالة ودالتها العكسية Description: A diagram illustrating the relationship between a function f and its inverse f⁻¹ in terms of their domains and ranges. Two rectangular boxes are shown. The left box is labeled 'مجال f' (domain of f) at the top and 'مدى f⁻¹' (range of f⁻¹) at the bottom, containing 'x'. The right box is labeled 'مدى f' (range of f) at the top and 'مجال f⁻¹' (domain of f⁻¹) at the bottom, containing 'f(x)'. An arrow labeled 'f(x)' points from 'x' in the left box to 'f(x)' in the right box. Another arrow labeled 'f⁻¹(x)' points from 'f(x)' in the right box back to 'x' in the left box. Key Values: مجال f (domain of f), مدى f (range of f), مجال f⁻¹ (domain of f⁻¹), مدى f⁻¹ (range of f⁻¹), x, f(x), f⁻¹(x) Context: This diagram visually explains that the domain of a function f is the range of its inverse f⁻¹, and the range of f is the domain of f⁻¹.