تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 1 - المملكة العربية السعودية

تحقق من فهمك

3^(2x-1) >= 1/243:

نكتب الطرفين على أساس 3: 3^{2x-1} \ge 3^{-5}.

بما أن الأساس (3) أكبر من 1، فإن الدالة متزايدة، وبالتالي: 2x - 1 \ge -5.

بحل المتباينة: 2x \ge -4، إذن x \ge -2.

2^(x+2) > 1/32:

نكتب الطرفين على أساس 2: 2^{x+2} > 2^{-5}.

بما أن الأساس (2) أكبر من 1، فإن الدالة متزايدة، وبالتالي: x + 2 > -5.

بحل المتباينة: x > -7.

---

تدرب وحل المسائل

1. 8^(4x+2) = 64:

نكتب الطرفين على أساس 2: (2^3)^{4x+2} = 2^6.

بتبسيط الأسس: 2^{12x+6} = 2^6.

إذن: 12x + 6 = 6، 12x = 0، x = 0.

2. 5^(x-6) = 125:

نكتب الطرفين على أساس 5: 5^{x-6} = 5^3.

إذن: x - 6 = 3، x = 9.

3. 3^(5x) = 27^(2x-4):

نكتب الطرفين على أساس 3: 3^{5x} = (3^3)^{2x-4}.

بتبسيط: 3^{5x} = 3^{6x-12}.

إذن: 5x = 6x - 12، -x = -12، x = 12.

4. 16^(2y-3) = 4^(y+1):

نكتب الطرفين على أساس 2: (2^4)^{2y-3} = (2^2)^{y+1}.

بتبسيط: 2^{8y-12} = 2^{2y+2}.

إذن: 8y - 12 = 2y + 2، 6y = 14، y = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}.

5. 2^(6x) = 32^(x-2):

نكتب الطرفين على أساس 2: 2^{6x} = (2^5)^{x-2}.

بتبسيط: 2^{6x} = 2^{5x-10}.

إذن: 6x = 5x - 10، x = -10.

6. 49^(x+5) = 7^(8x-6):

نكتب الطرفين على أساس 7: (7^2)^{x+5} = 7^{8x-6}.

بتبسيط: 7^{2x+10} = 7^{8x-6}.

إذن: 2x + 10 = 8x - 6، -6x = -16، x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.

7. 81^(a+2) = 3^(3a+1):

نكتب الطرفين على أساس 3: (3^4)^{a+2} = 3^{3a+1}.

بتبسيط: 3^{4a+8} = 3^{3a+1}.

إذن: 4a + 8 = 3a + 1، a = -7.

8. 256^(b+2) = 4^(2b):

نكتب الطرفين على أساس 4: (4^4)^{b+2} = 4^{2b}.

بتبسيط: 4^{4b+8} = 4^{2b}.

إذن: 4b + 8 = 2b، 2b = -8، b = -4.

9. 9^(3c-1) = 27^(3c-1):

نكتب الطرفين على أساس 3: (3^2)^{3c-1} = (3^3)^{3c-1}.

بتبسيط: 3^{6c-2} = 3^{9c-3}.

إذن: 6c - 2 = 9c - 3، -3c = -1، c = \frac{1}{3}.

10. 8^(2y+4) = 16^(y+1):

نكتب الطرفين على أساس 2: (2^3)^{2y+4} = (2^4)^{y+1}.

بتبسيط: 2^{6y+12} = 2^{4y+4}.

إذن: 6y + 12 = 4y + 4، 2y = -8، y = -4.

11. علوم:

a) الدالة الأسية: c = 1 \cdot 2^{t/15}، حيث t هو الزمن بالدقائق.

b) بعد ساعة (t = 60 دقيقة): c = 2^{60/15} = 2^4 = 16 خلية.

12. مال:

a) الدالة الأسية: y = 100000 \cdot b^x، حيث x عدد السنوات منذ 1430هـ.

b) البيانات غير متوفرة لحساب قيمة b والمبلغ عام 1450هـ.

13. استثمار حسن:

المبلغ الكلي: A = 70000(1 + \frac{0.043}{12})^{12 \times 7}.

A = 70000(1.00358333)^{84} \approx 70000 \times 1.349 \approx 94430.00 ريال (تقريباً).

14. استثمار ماجد:

المبلغ الكلي: A = 50000(1 + \frac{0.0225}{24})^{24 \times 6}.

A = 50000(1.0009375)^{144} \approx 50000 \times 1.143 \approx 57150.00 ريال (تقريباً).

15. 4^(2x+6) <= 64^(2x-4):

نكتب الطرفين على أساس 2: (2^2)^{2x+6} \le (2^6)^{2x-4}.

بتبسيط: 2^{4x+12} \le 2^{12x-24}.

بما أن الأساس أكبر من 1: 4x + 12 \le 12x - 24.

بحل المتباينة: -8x \le -36، x \ge \frac{36}{8} = \frac{9}{2}.

16. 25^(y-3) <= (1/125)^(y+3):

نكتب الطرفين على أساس 5: (5^2)^{y-3} \le (5^{-3})^{y+3}.

بتبسيط: 5^{2y-6} \le 5^{-3y-9}.

بما أن الأساس أكبر من 1: 2y - 6 \le -3y - 9.

بحل المتباينة: 5y \le -3، y \le -\frac{3}{5}.

17. 625 >= 5^(a+8):

نكتب الطرفين على أساس 5: 5^4 \ge 5^{a+8}.

بما أن الأساس أكبر من 1: 4 \ge a + 8.

بحل المتباينة: a \le -4.

18. 10^(5b+2) > 1000:

نكتب الطرفين على أساس 10: 10^{5b+2} > 10^3.

بما أن الأساس أكبر من 1: 5b + 2 > 3.

بحل المتباينة: 5b > 1، b > \frac{1}{5}.

19. (1/64)^(t-2) < 32^(2c):

البيانات غير متوفرة لحل هذه المتباينة (يوجد متغيران t و c).

20. (1/9)^(3t+5) >= (1/243)^(t-6):

نكتب الطرفين على أساس 3: (3^{-2})^{3t+5} \ge (3^{-5})^{t-6}.

بتبسيط: 3^{-6t-10} \ge 3^{-5t+30}.

بما أن الأساس (3) أكبر من 1، لكن الأسس سالبة، نستخدم خاصية التباين للدالة المتناقصة (أو نضرب في -1 ونعكس إشارة المتباينة): -6t - 10 \le -5t + 30.

بحل المتباينة: -t \le 40، t \ge -40.

21. (3, 100), (0, 6.4):

الدالة على الصورة y = ab^x.

من النقطة (0, 6.4): 6.4 = a \cdot b^0، إذن a = 6.4.

من النقطة (3, 100): 100 = 6.4 \cdot b^3، b^3 = \frac{100}{6.4} = 15.625، b = \sqrt[3]{15.625} = 2.5.

الدالة: y = 6.4(2.5)^x.

22. (4, 81), (0, 256):

الدالة على الصورة y = ab^x.

من النقطة (0, 256): 256 = a \cdot b^0، إذن a = 256.

من النقطة (4, 81): 81 = 256 \cdot b^4، b^4 = \frac{81}{256}، b = \sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \frac{3}{4}.

الدالة: y = 256(\frac{3}{4})^x.

23. (5, 371293), (0, 128):

الدالة على الصورة y = ab^x.

من النقطة (0, 128): 128 = a \cdot b^0، إذن a = 128.

من النقطة (5, 371293): 371293 = 128 \cdot b^5، b^5 = \frac{371293}{128} = 2900.7265625، b = \sqrt[5]{2900.7265625} \approx 4.9 (تقريباً 4.9).

الدالة: y = 128(4.9)^x.

24. (4, 21609), (0, 144):

الدالة على الصورة y = ab^x.

من النقطة (0, 144): 144 = a \cdot b^0، إذن a = 144.

من النقطة (4, 21609): 21609 = 144 \cdot b^4، b^4 = \frac{21609}{144} = 150.0625، b = \sqrt[4]{150.0625} = 3.5.

الدالة: y = 144(3.5)^x.

25. علوم:

a) بعد 15 دقيقة: y(15) = 20 + 70(1.071)^{-15} \approx 20 + 70 \times 0.36 \approx 45.2 درجة مئوية.

b) بعد 30 دقيقة: y(30) = 20 + 70(1.071)^{-30} \approx 20 + 70 \times 0.13 \approx 29.1 درجة مئوية.

c) بعد 10 دقائق: y(10) = 20 + 70(1.071)^{-10} \approx 20 + 70 \times 0.49 \approx 54.3 درجة مئوية. درجة الحرارة (54.3) أقل من 60°C.

26. أشجار:

المعادلة: d = k \cdot h^{3/2}.

باستخدام القيم المعطاة: 19.1 = k \cdot 6^{3/2}.

6^{3/2} = (\sqrt{6})^3 \approx (2.449)^3 \approx 14.7.

إذن: k = \frac{19.1}{14.7} \approx 1.3.

المعادلة: d \approx 1.3 \cdot h^{3/2}.

27. (1/2)^(4x+1) = 8^(2x+1):

نكتب الطرفين على أساس 2: (2^{-1})^{4x+1} = (2^3)^{2x+1}.

بتبسيط: 2^{-4x-1} = 2^{6x+3}.

إذن: -4x - 1 = 6x + 3، -10x = 4، x = -\frac{2}{5}.

28. (1/5)^(x-5) = 25^(3x+2):

نكتب الطرفين على أساس 5: (5^{-1})^{x-5} = (5^2)^{3x+2}.

بتبسيط: 5^{-x+5} = 5^{6x+4}.

إذن: -x + 5 = 6x + 4، -7x = -1، x = \frac{1}{7}.

29. 216 = (1/6)^(x+3):

نكتب الطرفين على أساس 6: 6^3 = (6^{-1})^{x+3}.

بتبسيط: 6^3 = 6^{-x-3}.

إذن: 3 = -x - 3، x = -6.

30. (1/8)^(3x+4) = (1/4)^(-2x+4):

نكتب الطرفين على أساس 2: (2^{-3})^{3x+4} = (2^{-2})^{-2x+4}.

بتبسيط: 2^{-9x-12} = 2^{4x-8}.

إذن: -9x - 12 = 4x - 8، -13x = 4، x = -\frac{4}{13}.

31. (2/3)^(5x+1) = (27/8)^(x-4):

نكتب الطرفين على أساس (3/2): (\frac{2}{3})^{5x+1} = (\frac{3}{2})^{-3(x-4)}.

بملاحظة أن (\frac{2}{3}) = (\frac{3}{2})^{-1}، نكتب: (\frac{3}{2})^{-(5x+1)} = (\frac{3}{2})^{-3x+12}.

إذن: -(5x+1) = -3x + 12، -5x - 1 = -3x + 12، -2x = 13، x = -\frac{13}{2}.

32. (25/81)^(2x+1) = (729/125)^(-3x+1):

نكتب الطرفين على أساس (5/9): (\frac{25}{81})^{2x+1} = (\frac{125}{729})^{-(-3x+1)}.

بملاحظة أن \frac{25}{81} = (\frac{5}{9})^2 و \frac{125}{729} = (\frac{5}{9})^3.

نكتب: [(\frac{5}{9})^2]^{2x+1} = [(\frac{5}{9})^3]^{3x-1}.

بتبسيط: (\frac{5}{9})^{4x+2} = (\frac{5}{9})^{9x-3}.

إذن: 4x + 2 = 9x - 3، -5x = -5، x = 1.

تحقق من فهمك

3^(2x-1) >= 1/243

2^(x+2) > 1/32

تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي: (مثال 1)

8^(4x+2) = 64

5^(x-6) = 125

3^(5x) = 27^(2x-4)

16^(2y-3) = 4^(y+1)

2^(6x) = 32^(x-2)

49^(x+5) = 7^(8x-6)

81^(a+2) = 3^(3a+1)

256^(b+2) = 4^(2b)

9^(3c-1) = 27^(3c-1)

8^(2y+4) = 16^(y+1)

11. علوم: الانقسام هو عملية حيوية يتم فيها انشطار الخلية إلى خليتين متطابقتين تمامًا للخلية الأصلية، وتنقسم إحدى أنواع الخلايا البكتيرية كل 15 دقيقة. (مثال 2)

12. مال: ورث خالد مبلغ 100000 ريال عن والده عام 1430 هـ، واستثمره في مشروع تجاري، وقدر خالد أن المبلغ المستثمر سيصبح 169588 ريالاً بحلول عام 1442 هـ. (مثال 2)

13. استثمر حسن مبلغ 70000 ريال متوقعًا ربحًا سنويًا نسبته 4.3%، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر. ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 7 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟ (مثال 3)

14. استثمر ماجد مبلغ 50000 ريال متوقعًا ربحًا سنويًا نسبته 2.25%، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال مرتين شهريًا. ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 6 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟ (مثال 3)

حل كل متباينة مما يأتي: (مثال 4)

4^(2x+6) <= 64^(2x-4)

25^(y-3) <= (1/125)^(y+3)

625 >= 5^(a+8)

10^(5b+2) > 1000

(1/64)^(t-2) < 32^(2c)

(1/9)^(3t+5) >= (1/243)^(t-6)

اكتب دالة أسية على الصورة ab^x = y لتمثيل البياني المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي:

(3, 100), (0, 6.4)

(4, 81), (0, 256)

(5, 371293), (0, 128)

(4, 21609), (0, 144)

25. علوم: وضع كوب من الشاي درجة حرارته 90°C في وسط درجة حرارته ثابتة وتساوي 20°C، فتناقصت درجة حرارة الشاي، ويمكن تمثيل درجة حرارة الشاي بعد t دقيقة بالدالة y(t) = 20 + 70(1.071)^-t.

26. أشجار: يتناسب قطر قاعدة جذع شجرة بالسنتيمترات طرديًا مع ارتفاعها بالأمتار مرفوعًا للأس 3/2. إذا بلغ ارتفاع شجرة 6m، وقطر قاعدتها 19.1cm، فاكتب معادلة القطر d لقاعدة جذع الشجرة عندما يكون ارتفاعها h متر.

حل كل معادلة أسية مما يأتي:

(1/2)^(4x+1) = 8^(2x+1)

(1/5)^(x-5) = 25^(3x+2)

216 = (1/6)^(x+3)

(1/8)^(3x+4) = (1/4)^(-2x+4)

(2/3)^(5x+1) = (27/8)^(x-4)

(25/81)^(2x+1) = (729/125)^(-3x+1)

وزارة التعليم الدرس 2-2 حل المعادلات والمتباينات الأسية

95

--- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4A --- 3^(2x-1) >= 1/243 --- SECTION: 4B --- 2^(x+2) > 1/32 --- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل حل كل معادلة مما يأتي: (مثال 1) --- SECTION: 1 --- 8^(4x+2) = 64 --- SECTION: 2 --- 5^(x-6) = 125 --- SECTION: 3 --- 3^(5x) = 27^(2x-4) --- SECTION: 4 --- 16^(2y-3) = 4^(y+1) --- SECTION: 5 --- 2^(6x) = 32^(x-2) --- SECTION: 6 --- 49^(x+5) = 7^(8x-6) --- SECTION: 7 --- 81^(a+2) = 3^(3a+1) --- SECTION: 8 --- 256^(b+2) = 4^(2b) --- SECTION: 9 --- 9^(3c-1) = 27^(3c-1) --- SECTION: 10 --- 8^(2y+4) = 16^(y+1) --- SECTION: 11 --- 11. علوم: الانقسام هو عملية حيوية يتم فيها انشطار الخلية إلى خليتين متطابقتين تمامًا للخلية الأصلية، وتنقسم إحدى أنواع الخلايا البكتيرية كل 15 دقيقة. (مثال 2) a. a) اكتب دالة أسية على الصورة ab^t = c تمثل عدد الخلايا البكتيرية c المتكونة من انقسام خلية واحدة بعد t من الدقائق. b. b) إذا بدأت خلية بكتيرية واحدة بالانقسام، فكم خلية ستتكون بعد ساعة؟ --- SECTION: 12 --- 12. مال: ورث خالد مبلغ 100000 ريال عن والده عام 1430 هـ، واستثمره في مشروع تجاري، وقدر خالد أن المبلغ المستثمر سيصبح 169588 ريالاً بحلول عام 1442 هـ. (مثال 2) a. a) اكتب دالة أسية على الصورة ab^x = y لا تمثل المبلغ y بدلالة عدد السنوات x منذ عام 1430 هـ. b. b) افترض أن المبلغ استمر في الزيادة بالمعدل نفسه، فكم سيصبح عام 1450 هـ إلى أقرب منزلتين عشريتين؟ --- SECTION: 13 --- 13. استثمر حسن مبلغ 70000 ريال متوقعًا ربحًا سنويًا نسبته 4.3%، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر. ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 7 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟ (مثال 3) --- SECTION: 14 --- 14. استثمر ماجد مبلغ 50000 ريال متوقعًا ربحًا سنويًا نسبته 2.25%، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال مرتين شهريًا. ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 6 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟ (مثال 3) حل كل متباينة مما يأتي: (مثال 4) --- SECTION: 15 --- 4^(2x+6) <= 64^(2x-4) --- SECTION: 16 --- 25^(y-3) <= (1/125)^(y+3) --- SECTION: 17 --- 625 >= 5^(a+8) --- SECTION: 18 --- 10^(5b+2) > 1000 --- SECTION: 19 --- (1/64)^(t-2) < 32^(2c) --- SECTION: 20 --- (1/9)^(3t+5) >= (1/243)^(t-6) اكتب دالة أسية على الصورة ab^x = y لتمثيل البياني المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي: --- SECTION: 21 --- (3, 100), (0, 6.4) --- SECTION: 22 --- (4, 81), (0, 256) --- SECTION: 23 --- (5, 371293), (0, 128) --- SECTION: 24 --- (4, 21609), (0, 144) --- SECTION: 25 --- 25. علوم: وضع كوب من الشاي درجة حرارته 90°C في وسط درجة حرارته ثابتة وتساوي 20°C، فتناقصت درجة حرارة الشاي، ويمكن تمثيل درجة حرارة الشاي بعد t دقيقة بالدالة y(t) = 20 + 70(1.071)^-t. a. a) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 15 دقيقة. b. b) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 30 دقيقة. c. c) إذا كانت درجة الحرارة المناسبة لشرب الشاي هي 60°C، فهل ستكون درجة حرارة الشاي مساوية لها أم أقل منها بعد 10 دقائق؟ --- SECTION: 26 --- 26. أشجار: يتناسب قطر قاعدة جذع شجرة بالسنتيمترات طرديًا مع ارتفاعها بالأمتار مرفوعًا للأس 3/2. إذا بلغ ارتفاع شجرة 6m، وقطر قاعدتها 19.1cm، فاكتب معادلة القطر d لقاعدة جذع الشجرة عندما يكون ارتفاعها h متر. حل كل معادلة أسية مما يأتي: --- SECTION: 27 --- (1/2)^(4x+1) = 8^(2x+1) --- SECTION: 28 --- (1/5)^(x-5) = 25^(3x+2) --- SECTION: 29 --- 216 = (1/6)^(x+3) --- SECTION: 30 --- (1/8)^(3x+4) = (1/4)^(-2x+4) --- SECTION: 31 --- (2/3)^(5x+1) = (27/8)^(x-4) --- SECTION: 32 --- (25/81)^(2x+1) = (729/125)^(-3x+1) وزارة التعليم الدرس 2-2 حل المعادلات والمتباينات الأسية 95