اختصار المسافات باستعمال الانعكاس

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 اختصار المسافات باستعمال الانعكاس

المفاهيم الأساسية

اختصار المسافات باستعمال الانعكاس: استراتيجية لإيجاد أقصر مسار بين نقطتين مع المرور بخط مستقيم (مثل طريق أو حائط) عن طريق استخدام الانعكاس الهندسي.

خصائص الانعكاس: يحافظ الانعكاس على الأبعاد وقياسات الزوايا والاستقامة وترتيب مواقع النقاط، ولكن يعكس الاتجاه.

رسم الانعكاس في المستوى الإحداثي: يمكن رسم الصورة الناتجة عن الانعكاس حول مستقيم أفقي (مثل y = ثابت) أو مستقيم رأسي (مثل x = ثابت).

خريطة المفاهيم

```markmap

الانعكاس وتطبيقاته

تطبيق: اختصار المسافات

الفكرة الأساسية

أقصر مسار من B إلى G مع المرور بخط s
ينعكس أحد النقاط (مثل B) حول الخط لإنشاء صورة لها (B')
نقطة التوقف المثلى P هي تقاطع الخط s مع القطعة B'G

مثال واقعي (مثال 2)

أحمد وعلي يريدان الوصول إلى متجرين مختلفين
إيجاد موقف السيارة P على المستقيم s

تطبيق: الرسم في المستوى الإحداثي

الانعكاس حول مستقيم رأسي (x = ثابت)

مثل: الانعكاس حول x = -4

الانعكاس حول مستقيم أفقي (y = ثابت)

مثل: الانعكاس حول y = 2

الخصائص العامة للانعكاس

الحفاظ على: الأبعاد، قياسات الزوايا، الاستقامة، ترتيب النقاط
عكس: الاتجاه

```

نقاط مهمة

لحل مسائل "أقصر مسافة" مع وجود خط عائق، استخدم مبدأ الانعكاس: انعكس إحدى النقطتين حول الخط، ثم صل الصورة بالنقطة الأخرى. نقطة التقاطع مع الخط هي الحل.
في المستوى الإحداثي، يكون الانعكاس حول المحور الرأسي (x = ثابت) بتغيير إشارة المسافة الأفقية من ذلك الخط، والانعكاس حول المحور الأفقي (y = ثابت) بتغيير إشارة المسافة الرأسية.
الانعكاس هو تحويل هندسي يحافظ على الشكل والحجم (التطابق) ولكنه يقلب الصورة مثل المرآة.

---

حل مثال

مثال 2 من واقع الحياة

* المعطيات: أحمد يريد المتجر B، علي يريد المتجر G. هناك خط مستقيم s يمثل مواقف السيارات.

* المطلوب: إيجاد النقطة P على المستقيم s التي تجعل المسار الكلي (BP + PG) أقصر ما يمكن.

* خطة الحل:

1. انعكس النقطة B حول المستقيم s للحصول على صورتها B'.

2. ارسم القطعة المستقيمة B'G.

3. نقطة تقاطع القطعة B'G مع المستقيم s هي النقطة P المطلوبة.

* السبب: المسار B-P-G يصبح بنفس طول المسار B'-P-G، وأقصر مسار بين B' و G هو الخط المستقيم. لذا فإن P عند التقاطع تعطي أقصر مسار.

مثال 3: رسم صورة بالانعكاس

* المعطيات: المثلث JKL حيث J(0,3), K(-2,-1), L(-6,1).

* (أ) الانعكاس حول المستقيم الرأسي x = -4:

القاعدة: النقطة (x, y) تنعكس إلى (2c - x, y) حيث c هو ثابت الخط (هنا -4).

* الحل:

J(0,3) → J'(2(-4) - 0, 3) = (-8, 3)

K(-2,-1) → K'(2(-4) - (-2), -1) = (-8+2, -1) = (-6, -1)

L(-6,1) → L'(2(-4) - (-6), 1) = (-8+6, 1) = (-2, 1)

* (ب) الانعكاس حول المستقيم الأفقي y = 2:

القاعدة: النقطة (x, y) تنعكس إلى (x, 2c - y) حيث c هو ثابت الخط (هنا 2).

* الحل:

J(0,3) → J'(0, 22 - 3) = (0, 4-3) = (0, 1)

K(-2,-1) → K'(-2, 22 - (-1)) = (-2, 4+1) = (-2, 5)

L(-6,1) → L'(-6, 22 - 1) = (-6, 4-1) = (-6, 3)

---

تحقق من فهمك

السؤال 2: مبيعات تذاكر

* المعطيات: نقطتان A و B مفصولتان بحائط (خط مستقيم). يريد فهد اختيار نقطة P على الحائط.

* المطلوب: تحديد موقع P بحيث يكون المسار A-P-B أقصر ما يمكن.

* خطة الحل:

1. انعكس إحدى النقطتين (مثلاً A) حول خط الحائط للحصول على صورتها A'.

2. ارسم القطعة المستقيمة A'B.

3. نقطة تقاطع القطعة A'B مع خط الحائط هي النقطة P المثلى لبيع التذاكر.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

اختصار المسافات باستعمال الانعكاس

مثال 2 من واقع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

تسوق: اصطحب أحمد صديقه عليا في سيارته إلى السوق، حيث يرغب أحمد في الاتجاه إلى المتجر B لشراء بعض الملابس، بينما يرغب علي في الاتجاه إلى المتجر G لشراء حذاء، ففي أي مكان من المواقف المحددة على المستقيم s يوقف أحمد سيارته، بحيث تكون المسافة التي سيقطعانها سيرًا للوصول إلى المتجرين أقل ما يمكن؟
افهم: المعطيات: أوقف أحمد سيارته في الموقف P على المستقيم s. اتجه أحمد إلى المتجر B لشراء بعض الملابس. واتجه علي إلى المتجر G لشراء حذاء.
المطلوب: حدد الموقف P على المستقيم s، بحيث يكون PG + BP أقل ما يمكن.
خطط: تكون المسافة الكلية من B إلى P ثم من P إلى G أقل ما يمكن، عندما تكون هذه النقاط على استقامة واحدة.
حل: ارسم B'G. وعين P عند تقاطع المستقيم s مع B'G. علمًا بأن B' هي صورة النقطة B الناتجة عن انعكاس حول المستقيم s.
تحقق: اختر مواقع أخرى للنقطة P على المستقيم s، وقارن مجموع PG + BP في كل حالة؛ للتحقق من أن الموقع الذي تم تحديده للنقطة P هو الذي يجعل هذا المجموع أقل ما يمكن.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

مبيعات تذاكر: يريد فهد أن يختار موقعًا مناسبًا لبيع تذاكر مباراة كرة قدم، عين النقطة P على الحائط، بحيث تكون المسافة التي يسيرها شخص ما من النقطة A إلى P ثم إلى النقطة B أقل ما يمكن.

رسم الانعكاس في المستوى الإحداثي

نوع: محتوى تعليمي

رسم الانعكاس في المستوى الإحداثي: يمكن أيضًا رسم الصورة الناتجة عن الانعكاس في المستوى الإحداثي حول مستقيم أفقي أو مستقيم رأسي.

مثال 3 رسم صورة بالانعكاس حول مستقيم أفقي أو مستقيم رأسي

نوع: محتوى تعليمي

مثل بيانيًا JKL∆ الذي إحداثيات رؤوسه: (1, 6-)L، (1-, 2-)K، (3, 0)J، ثم ارسم صورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي:

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

خصائص الانعكاس: يحافظ الانعكاس على الأبعاد وقياسات الزوايا والاستقامة وترتيب مواقع النقاط، ولكن يعكس الاتجاه.

🔍 عناصر مرئية

A top-down view of a shopping area with various stores labeled A through J. A horizontal line 's' represents a road or path. The diagram illustrates the setup for a distance minimization problem.

A diagram showing the solution strategy for Example 2. Point B is reflected across line 's' to create B'. Point P is located at the intersection of line 's' and the segment B'G. Segments B'P and PG are drawn, illustrating that the path B-P-G is minimized when B', P, and G are collinear.

A diagram showing two points, A and B, positioned on opposite sides of a horizontal line labeled 'حائط' (wall). The problem asks to find a point P on the wall to minimize the path A-P-B.

A coordinate plane showing triangle JKL and its image J'K'L' after reflection across the vertical line x = -4. The line x = -4 is represented by a dashed vertical line.

A coordinate plane showing triangle JKL and its image J'K'L' after reflection across the horizontal line y = 2. The line y = 2 is represented by a dashed horizontal line.

A diagram showing an original polygon ABCDE and its reflected image A'B'C'D'E'. The reflection demonstrates the reversal of orientation while preserving shape and size, as described in the 'خصائص الانعكاس' (Properties of Reflection) text.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: اختصار المسافات باستعمال الانعكاس ---
اختصار المسافات باستعمال الانعكاس

--- SECTION: مثال 2 من واقع الحياة ---
تسوق: اصطحب أحمد صديقه عليا في سيارته إلى السوق، حيث يرغب أحمد في الاتجاه إلى المتجر B لشراء بعض الملابس، بينما يرغب علي في الاتجاه إلى المتجر G لشراء حذاء، ففي أي مكان من المواقف المحددة على المستقيم s يوقف أحمد سيارته، بحيث تكون المسافة التي سيقطعانها سيرًا للوصول إلى المتجرين أقل ما يمكن؟
افهم: المعطيات: أوقف أحمد سيارته في الموقف P على المستقيم s. اتجه أحمد إلى المتجر B لشراء بعض الملابس. واتجه علي إلى المتجر G لشراء حذاء.
المطلوب: حدد الموقف P على المستقيم s، بحيث يكون PG + BP أقل ما يمكن.
خطط: تكون المسافة الكلية من B إلى P ثم من P إلى G أقل ما يمكن، عندما تكون هذه النقاط على استقامة واحدة.
حل: ارسم B'G. وعين P عند تقاطع المستقيم s مع B'G. علمًا بأن B' هي صورة النقطة B الناتجة عن انعكاس حول المستقيم s.
تحقق: اختر مواقع أخرى للنقطة P على المستقيم s، وقارن مجموع PG + BP في كل حالة؛ للتحقق من أن الموقع الذي تم تحديده للنقطة P هو الذي يجعل هذا المجموع أقل ما يمكن.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك

--- SECTION: 2 ---
مبيعات تذاكر: يريد فهد أن يختار موقعًا مناسبًا لبيع تذاكر مباراة كرة قدم، عين النقطة P على الحائط، بحيث تكون المسافة التي يسيرها شخص ما من النقطة A إلى P ثم إلى النقطة B أقل ما يمكن.

--- SECTION: رسم الانعكاس في المستوى الإحداثي ---
رسم الانعكاس في المستوى الإحداثي: يمكن أيضًا رسم الصورة الناتجة عن الانعكاس في المستوى الإحداثي حول مستقيم أفقي أو مستقيم رأسي.

--- SECTION: مثال 3 رسم صورة بالانعكاس حول مستقيم أفقي أو مستقيم رأسي ---
مثل بيانيًا JKL∆ الذي إحداثيات رؤوسه: (1, 6-)L، (1-, 2-)K، (3, 0)J، ثم ارسم صورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي:
a. x = -4 استعمل خطوط الشبكة الإحداثية لإيجاد النقطة المناظرة لكل رأس، بحيث يكون المستقيم 4- = x هو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة التي تصل بين كل رأس وصورته.
b. y = 2 استعمل خطوط الشبكة الإحداثية لإيجاد النقطة المناظرة لكل رأس، بحيث يكون المستقيم 2 = y هو المنصف العمودي للقطعة المستقيمة التي تصل بين كل رأس وصورته.

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
خصائص الانعكاس: يحافظ الانعكاس على الأبعاد وقياسات الزوايا والاستقامة وترتيب مواقع النقاط، ولكن يعكس الاتجاه.

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A top-down view of a shopping area with various stores labeled A through J. A horizontal line 's' represents a road or path. The diagram illustrates the setup for a distance minimization problem.
X-axis: s
Context: Illustrates the initial setup for the distance minimization problem in Example 2.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A diagram showing the solution strategy for Example 2. Point B is reflected across line 's' to create B'. Point P is located at the intersection of line 's' and the segment B'G. Segments B'P and PG are drawn, illustrating that the path B-P-G is minimized when B', P, and G are collinear.
X-axis: s
Context: Illustrates the reflection principle to find the shortest path in Example 2.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A diagram showing two points, A and B, positioned on opposite sides of a horizontal line labeled 'حائط' (wall). The problem asks to find a point P on the wall to minimize the path A-P-B.
Context: Provides the visual context for solving question 2, which involves finding the shortest path using reflection.

**GRAPH**: Untitled
Description: A coordinate plane showing triangle JKL and its image J'K'L' after reflection across the vertical line x = -4. The line x = -4 is represented by a dashed vertical line.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Illustrates the process of reflecting a triangle across a vertical line (x = -4) in a coordinate plane.

**GRAPH**: Untitled
Description: A coordinate plane showing triangle JKL and its image J'K'L' after reflection across the horizontal line y = 2. The line y = 2 is represented by a dashed horizontal line.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Illustrates the process of reflecting a triangle across a horizontal line (y = 2) in a coordinate plane.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A diagram showing an original polygon ABCDE and its reflected image A'B'C'D'E'. The reflection demonstrates the reversal of orientation while preserving shape and size, as described in the 'خصائص الانعكاس' (Properties of Reflection) text.
Context: Visually supports the explanation of reflection properties in the study guide section.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 2: مبيعات تذاكر: يريد فهد أن يختار موقعًا مناسبًا لبيع تذاكر مباراة كرة قدم، عين النقطة P على الحائط، بحيث تكون المسافة التي يسيرها شخص ما من النقطة A إلى P ثم إلى النقطة B أقل ما يمكن.

الإجابة: س2: اعكس النقطة B حول خط الحائط لتحصل على 'B ، ثم ارسم القطعة المستقيمة 'AB ؛ نقطة تقاطعها مع الحائط هي P (وهي التي تجعل المسافة من A إلى P ثم إلى B أقل ما يمكن).

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم الهندسي):** لإيجاد أقصر مسافة بين نقطتين (A و B) مروراً بنقطة P تقع على خط مستقيم (الحائط)، نستخدم مبدأ الانعكاس. الفكرة الأساسية هي أن أقصر مسافة بين أي نقطتين هي الخط المستقيم الواصل بينهما.
**الخطوة 2 (تطبيق مبدأ الانعكاس):** لتحويل المسألة إلى مسألة خط مستقيم، نقوم بعكس إحدى النقطتين حول خط الحائط. لنعكس النقطة B حول خط الحائط، فنحصل على نقطة جديدة نسميها 'B. الآن، المسافة من أي نقطة P على الحائط إلى B هي نفسها المسافة من P إلى 'B (أي PB = P'B). بذلك، يصبح المطلوب هو إيجاد النقطة P على الحائط التي تجعل مجموع المسافتين (AP + P'B) أقل ما يمكن.
**الخطوة 3 (تحديد النقطة P):** بما أن أقصر مسافة بين النقطتين A و 'B هي الخط المستقيم الواصل بينهما، فإن النقطة P التي تجعل مجموع المسافات (AP + P'B) أقل ما يمكن هي نقطة تقاطع هذا الخط المستقيم (القطعة المستقيمة A'B) مع خط الحائط. إذن، النقطة P هي نقطة تقاطع القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطة A وصورة النقطة B بالانعكاس حول الحائط ('B) مع خط الحائط.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الاستراتيجية الهندسية المستخدمة لإيجاد أقصر مسافة بين نقطتين (A و B) مروراً بنقطة P تقع على خط مستقيم (مثل حائط)؟

أ) إيجاد منتصف القطعة المستقيمة AB، ثم إسقاط عمودي منه على الخط المستقيم.
ب) عكس إحدى النقطتين حول الخط المستقيم، ثم رسم القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطة الأخرى وصورة النقطة المعكوسة. نقطة تقاطع هذه القطعة مع الخط المستقيم هي النقطة P المطلوبة.
ج) رسم خطين متوازيين من النقطتين A و B بحيث يكونان عموديين على الخط المستقيم، ثم إيجاد نقطة المنتصف بينهما على الخط.
د) قياس المسافة العمودية من كل نقطة إلى الخط المستقيم، واختيار النقطة الأقرب إلى المنتصف.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: عكس إحدى النقطتين حول الخط المستقيم، ثم رسم القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطة الأخرى وصورة النقطة المعكوسة. نقطة تقاطع هذه القطعة مع الخط المستقيم هي النقطة P المطلوبة.

الشرح: 1. انعكاس: اعكس إحدى النقطتين (مثل B) حول الخط المستقيم (الحائط) للحصول على صورتها B'. 2. الربط: ارسم القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطة الأخرى (A) والنقطة B'. 3. التقاطع: نقطة تقاطع هذه القطعة مع الخط المستقيم هي النقطة P التي تجعل المسار A-P-B أقصر ما يمكن.

تلميح: فكر في كيفية تحويل المسار المنكسر إلى مسار مستقيم واحد.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

عند الانعكاس حول المستقيم x = k (خط رأسي) في المستوى الإحداثي، كيف تتغير إحداثيات النقطة (x, y)؟

أ) تتغير الإحداثي y إلى 2k - y، بينما يبقى الإحداثي x كما هو.
ب) تتغير الإحداثي x إلى k - x، بينما يبقى الإحداثي y كما هو.
ج) تتغير الإحداثي x إلى 2k - x، بينما يبقى الإحداثي y كما هو.
د) يتغير كلا الإحداثيين، x يصبح y و y يصبح x.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: تتغير الإحداثي x إلى 2k - x، بينما يبقى الإحداثي y كما هو.

الشرح: 1. محور الانعكاس هو الخط الرأسي x = k. 2. المسافة الأفقية بين النقطة والمحور هي |x - k|. 3. صورة النقطة ستكون على الجانب الآخر للمحور وعلى نفس المسافة. 4. إذا كانت النقطة الأصلية على يمين المحور (x > k)، ستكون صورتها على يساره، والعكس صحيح. 5. قانون الانعكاس: صورة (x, y) هي (2k - x, y).

تلميح: المستقيم x = k هو محور الانعكاس الرأسي. فكر في المسافة الأفقية بين النقطة والمحور.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما الخاصية التي لا يحافظ عليها الانعكاس (ينعكس) من بين خصائص الأشكال الهندسية؟

أ) قياسات الزوايا الداخلية.
ب) أطوال الأضلاع.
ج) الاتجاه (التوجيه) أو ترتيب مواقع النقاط.
د) أن تكون النقاط على استقامة واحدة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الاتجاه (التوجيه) أو ترتيب مواقع النقاط.

الشرح: يحافظ الانعكاس على: 1. الأبعاد (الطول والمساحة). 2. قياسات الزوايا. 3. الاستقامة (النقاط على خط مستقيم تبقى على خط مستقيم). ولكنه يعكس: 4. الاتجاه أو التوجيه (Orientation). مثلاً، صورة المرآة للمثلث الأيمن تصبح مثلثاً أيسراً.

تلميح: فكر في صورة المرآة ليدك اليمنى.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

في مسألة 'مبيعات التذاكر'، إذا كانت النقطة A على بعد 3 وحدات يسار الحائط، والنقطة B على بعد 5 وحدات يمين الحائط (والحائط هو المحور y)، فما إحداثي x لصورة النقطة B بالانعكاس حول الحائط؟

أ) 5
ب) 0
ج) -3
د) -5

الإجابة الصحيحة: d

الإجابة: -5

الشرح: 1. محور الانعكاس (الحائط) هو المحور y، أي المستقيم x = 0. إذن، k = 0. 2. إحداثيات النقطة B هي (5, y) (لا يهم قيمة y للسؤال). 3. قانون الانعكاس حول x = k: صورة (x, y) هي (2k - x, y). 4. بالتعويض: صورة B = (2*0 - 5, y) = (-5, y). 5. إحداثي x للصورة هو -5.

تلميح: الحائط (المحور y) هو الخط x = 0. طبق قانون الانعكاس حول المستقيم الرأسي x = k.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط