مراجعة المفردات - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الانعكاس حول المستقيم y = x

المفاهيم الأساسية

الانعكاس حول المستقيم y = x: لتعيين صورة نقطة بالانعكاس حول المستقيم x = y، بدل موضعي الإحداثيين x و y.

المستقيمات المتعامدة: يكون المستقيمان غير الرأسيين متعامدين، إذا وفقط إذا كان ناتج ضرب ميليهما يساوي 1-.

خريطة المفاهيم

```markmap

الانعكاس وتطبيقاته

تطبيق: اختصار المسافات

الفكرة الأساسية

• أقصر مسار من B إلى G مع المرور بخط s
• ينعكس أحد النقاط (مثل B) حول الخط لإنشاء صورة لها (B')
• نقطة التوقف المثلى P هي تقاطع الخط s مع القطعة B'G

مثال واقعي (مثال 2)

• أحمد وعلي يريدان الوصول إلى متجرين مختلفين
• إيجاد موقف السيارة P على المستقيم s

تطبيق: الرسم في المستوى الإحداثي

الانعكاس حول مستقيم رأسي (x = ثابت)

• مثل: الانعكاس حول x = -4

الانعكاس حول مستقيم أفقي (y = ثابت)

• مثل: الانعكاس حول y = 2

الانعكاس حول المحورين الرئيسيين

الانعكاس حول المحور x

• القاعدة: (x, y) \rightarrow (x, -y)
• اضرب إحداثي y في -1

الانعكاس حول المحور y

• القاعدة: (x, y) \rightarrow (-x, y)
• اضرب إحداثي x في -1

الانعكاس حول المستقيم y = x

• القاعدة: (x, y) \rightarrow (y, x)
• بدل موضعي الإحداثيين x و y
• ميل المستقيم y = x هو 1، وميل العمود عليه هو -1

الخصائص العامة للانعكاس

• الحفاظ على: الأبعاد، قياسات الزوايا، الاستقامة، ترتيب النقاط
• عكس: الاتجاه
• النقاط الثابتة: النقاط الواقعة على محور الانعكاس فقط

```

نقاط مهمة

• قاعدة الانعكاس حول المستقيم y = x هي: (x, y) \rightarrow (y, x)
• ميل المستقيم y = x يساوي 1، وبالتالي فإن ميل أي مستقيم عمودي عليه يساوي -1.
• لإيجاد صورة شكل، نطبق القاعدة على إحداثيات كل رأس من رؤوسه.

---

حل مثال

مثال 5: رسم صورة شكل بالانعكاس حول المستقيم x = y

* المعطيات: الشكل الرباعي JKLM بإحداثيات رؤوسه: J(2, 2), K(4, 1), L(3, -3), M(0, -4).

* المطلوب: رسم صورته J'K'L'M' بالانعكاس حول المستقيم x = y.

* الحل: بتطبيق القاعدة (x, y) → (y, x) على كل رأس:

* J(2, 2) → J'(2, 2) (تقع على خط الانعكاس)

* K(4, 1) → K'(1, 4)

* L(3, -3) → L'(-3, 3)

* M(0, -4) → M'(-4, 0)

---

تحقق من فهمك

السؤال 5)

* المعطيات: المثلث BCD بإحداثيات رؤوسه: B(3, 3), C(4, 1), D(-2, 4).

* المطلوب: رسم صورته بالانعكاس حول المستقيم x = y.

* الحل: بتطبيق القاعدة (x, y) → (y, x) على كل رأس:

* B(3, 3) → B'(3, 3)

* C(4, 1) → C'(1, 4)

* D(-2, 4) → D'(4, -2)

مراجعة المفردات المستقيمات المتعامدة: يكون المستقيمان غير الرأسيين متعامدين، إذا وفقط إذا كان ناتج ضرب ميليهما يساوي 1-. مثال: المستقيمات الأفقية والرأسية تكون متعامدة دائماً.

ويمكن أيضاً أن تعكس شكلاً حول المستقيم x = y، ففي المستوى الإحداثي المجاور، ارسم عموداً من النقطة C على المستقيم x = y، وحيث إن ميل المستقيم x = y يساوي 1، فإن ميل العمود الذي رسمته يساوي 1-، لاحظ أنك تحركت من النقطة (2, 3)C، بمقدار 2.5 وحدة إلى اليمين و 2.5 وحدة إلى أسفل فوصلت إلى نقطة تقاطع العمود الذي رسمته مع المستقيم x = y. ومن هذه النقطة على x = y، تحرك 2.5 وحدة إلى اليمين و 2.5 وحدة إلى أسفل؛ لتعيين النقطة (3, 2)C، التي هي صورة النقطة C بالانعكاس حول المستقيم x = y. وبطريقة مماثلة نجد أن صورة (1, 3)D- هي (3, 1)D-. وبمقارنة إحداثيات هاتين النقطتين بإحداثيات صورتيهما، يمكن الوصول إلى القاعدة الآتية للانعكاس حول المستقيم x = y.

مفهوم أساسي

الانعكاس حول المستقيم y = x

التعبير اللفظي: لتعيين صورة نقطة بالانعكاس حول المستقيم x = y، بدل موضعي الإحداثيين x و y. الرموز: (x, y) → (y, x) مثال: y = x

مثال 5 رسم صورة شكل بالانعكاس حول المستقيم x = y مثّل بيانيًّا الشكل الرباعي JKLM الذي إحداثيات رؤوسه هي: J(2, 2), K(4, 1), L(3, -3), M(0, -4). ثم ارسم صورته J'K'L'M' بالانعكاس حول المستقيم x = y. بدل الإحداثيين x و y لكل الرؤوس. (x, y) → (y, x) J(2, 2) → J'(2, 2) K(4, 1) → K'(1, 4) L(3, -3) → L'(-3, 3) M(0, -4) → M'(-4, 0)

تحقق من فهمك

5) مثّل بيانيًّا BCD الذي إحداثيات رؤوسه هي: (4, 1)C, (3, 3)B, (2, 4)D-. ثم ارسم صورته بالانعكاس حول المستقيم x = y.

أضف إلى مطويتك

ملخص المفهوم

الانعكاس في المستوى الإحداثي

جدول يلخص قواعد الانعكاس في المستوى الإحداثي.

الدرس 1-7 الانعكاس 121

وزارة التعليم ien.edu.sa

--- SECTION: مراجعة المفردات --- مراجعة المفردات المستقيمات المتعامدة: يكون المستقيمان غير الرأسيين متعامدين، إذا وفقط إذا كان ناتج ضرب ميليهما يساوي 1-. مثال: المستقيمات الأفقية والرأسية تكون متعامدة دائماً. ويمكن أيضاً أن تعكس شكلاً حول المستقيم x = y، ففي المستوى الإحداثي المجاور، ارسم عموداً من النقطة C على المستقيم x = y، وحيث إن ميل المستقيم x = y يساوي 1، فإن ميل العمود الذي رسمته يساوي 1-، لاحظ أنك تحركت من النقطة (2, 3)C، بمقدار 2.5 وحدة إلى اليمين و 2.5 وحدة إلى أسفل فوصلت إلى نقطة تقاطع العمود الذي رسمته مع المستقيم x = y. ومن هذه النقطة على x = y، تحرك 2.5 وحدة إلى اليمين و 2.5 وحدة إلى أسفل؛ لتعيين النقطة (3, 2)C، التي هي صورة النقطة C بالانعكاس حول المستقيم x = y. وبطريقة مماثلة نجد أن صورة (1, 3)D- هي (3, 1)D-. وبمقارنة إحداثيات هاتين النقطتين بإحداثيات صورتيهما، يمكن الوصول إلى القاعدة الآتية للانعكاس حول المستقيم x = y. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي --- SECTION: الانعكاس حول المستقيم y = x --- الانعكاس حول المستقيم y = x التعبير اللفظي: لتعيين صورة نقطة بالانعكاس حول المستقيم x = y، بدل موضعي الإحداثيين x و y. الرموز: (x, y) → (y, x) مثال: y = x --- SECTION: مثال 5 --- مثال 5 رسم صورة شكل بالانعكاس حول المستقيم x = y مثّل بيانيًّا الشكل الرباعي JKLM الذي إحداثيات رؤوسه هي: J(2, 2), K(4, 1), L(3, -3), M(0, -4). ثم ارسم صورته J'K'L'M' بالانعكاس حول المستقيم x = y. بدل الإحداثيين x و y لكل الرؤوس. (x, y) → (y, x) J(2, 2) → J'(2, 2) K(4, 1) → K'(1, 4) L(3, -3) → L'(-3, 3) M(0, -4) → M'(-4, 0) --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 5 --- 5) مثّل بيانيًّا BCD الذي إحداثيات رؤوسه هي: (4, 1)C, (3, 3)B, (2, 4)D-. ثم ارسم صورته بالانعكاس حول المستقيم x = y. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: ملخص المفهوم --- ملخص المفهوم --- SECTION: الانعكاس في المستوى الإحداثي --- الانعكاس في المستوى الإحداثي --- SECTION: ملخص المفهوم: الانعكاس في المستوى الإحداثي --- جدول يلخص قواعد الانعكاس في المستوى الإحداثي. الدرس 1-7 الانعكاس 121 وزارة التعليم ien.edu.sa --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Reflection of points C and D across y=x Description: A Cartesian coordinate plane showing points C and D, and their reflections C' and D' across the line y=x. The line y=x is drawn diagonally through the origin. Perpendicular dashed lines connect C to C' and D to D' through the line y=x. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the concept of reflection of individual points across the line y=x by showing the original points, the line of reflection, and the reflected points. **GRAPH**: Example of reflection of points A and B across y=x Description: A Cartesian coordinate plane showing points A and B, and their reflections A' and B' across the line y=x. The line y=x is drawn diagonally through the origin. Dashed lines connect the original points to their reflections. X-axis: x Y-axis: y Context: Provides a visual example of reflecting specific points across the line y=x, demonstrating the transformation (x, y) -> (y, x). **GRAPH**: Reflection of quadrilateral JKLM across y=x Description: A Cartesian coordinate plane showing a quadrilateral JKLM and its reflected image J'K'L'M' across the line y=x. The original quadrilateral JKLM is drawn in blue, and its reflection J'K'L'M' is drawn in green. The line y=x is drawn diagonally through the origin. X-axis: x Y-axis: y Context: Serves as a visual solution for Example 5, demonstrating the reflection of a polygon across the line y=x by showing both the original and reflected vertices. **GRAPH**: Reflection across y=x Description: A small Cartesian coordinate plane showing a generic point P(x, y) and its reflection P'(y, x) across the line y=x. The line y=x is drawn diagonally through the origin. An arrow indicates the transformation from P to P'. X-axis: x Y-axis: y Context: Part of a concept summary table, visually representing the rule for reflection across the line y=x. **GRAPH**: Reflection across y-axis Description: A small Cartesian coordinate plane showing a generic point P(x, y) and its reflection P'(-x, y) across the y-axis. The y-axis serves as the line of reflection. An arrow indicates the transformation from P to P'. X-axis: x Y-axis: y Context: Part of a concept summary table, visually representing the rule for reflection across the y-axis. **GRAPH**: Reflection across x-axis Description: A small Cartesian coordinate plane showing a generic point P(x, y) and its reflection P'(x, -y) across the x-axis. The x-axis serves as the line of reflection. An arrow indicates the transformation from P to P'. X-axis: x Y-axis: y Context: Part of a concept summary table, visually representing the rule for reflection across the x-axis.