الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الانعكاس حول المحورين x و y

المفاهيم الأساسية

الانعكاس حول المحور x: لتعيين صورة نقطة، اضرب إحداثي y لها في 1-.

الانعكاس حول المحور y: لتعيين صورة نقطة، اضرب إحداثي x لها في 1-.

النقطة الثابتة: النقطة التي تبقى في مكانها (صورتها هي نفسها) تحت تأثير الانعكاس، وهي النقاط الواقعة على محور الانعكاس نفسه.

خريطة المفاهيم

```markmap

الانعكاس وتطبيقاته

تطبيق: اختصار المسافات

الفكرة الأساسية

• أقصر مسار من B إلى G مع المرور بخط s
• ينعكس أحد النقاط (مثل B) حول الخط لإنشاء صورة لها (B')
• نقطة التوقف المثلى P هي تقاطع الخط s مع القطعة B'G

مثال واقعي (مثال 2)

• أحمد وعلي يريدان الوصول إلى متجرين مختلفين
• إيجاد موقف السيارة P على المستقيم s

تطبيق: الرسم في المستوى الإحداثي

الانعكاس حول مستقيم رأسي (x = ثابت)

• مثل: الانعكاس حول x = -4

الانعكاس حول مستقيم أفقي (y = ثابت)

• مثل: الانعكاس حول y = 2

الانعكاس حول المحورين الرئيسيين

الانعكاس حول المحور x

• القاعدة: (x, y) \\rightarrow (x, -y)
• اضرب إحداثي y في -1

الانعكاس حول المحور y

• القاعدة: (x, y) \\rightarrow (-x, y)
• اضرب إحداثي x في -1

الخصائص العامة للانعكاس

• الحفاظ على: الأبعاد، قياسات الزوايا، الاستقامة، ترتيب النقاط
• عكس: الاتجاه
• النقاط الثابتة: النقاط الواقعة على محور الانعكاس فقط

```

نقاط مهمة

• قاعدة الانعكاس حول المحور x: إحداثي x يبقى كما هو، وإحداثي y يُضرب في -1.
• قاعدة الانعكاس حول المحور y: إحداثي y يبقى كما هو، وإحداثي x يُضرب في -1.
• النقطة التي تقع على محور الانعكاس تسمى "نقطة ثابتة" لأن صورتها هي نفسها.

---

حل مثال

مثال 4: رسم صورة بالانعكاس حول المحور x أو المحور y

الجزء (أ): مثلث ABC بالانعكاس حول المحور x.

* الإحداثيات: A(-5, 3), B(2, 0), C(1, 2)

* الحل: بتطبيق القاعدة (x, y) → (x, -y)

* A(-5, 3) → A'(-5, -3)

* B(2, 0) → B'(2, 0) ← (نقطة ثابتة لأنها على المحور x)

* C(1, 2) → C'(1, -2)

الجزء (ب): متوازي الأضلاع PQRS بالانعكاس حول المحور y.

* الإحداثيات: P(-4, 1), Q(2, 3), R(2, -1), S(-4, -3)

* الحل: بتطبيق القاعدة (x, y) → (-x, y)

* P(-4, 1) → P'(4, 1)

* Q(2, 3) → Q'(-2, 3)

* R(2, -1) → R'(-2, -1)

* S(-4, -3) → S'(4, -3)

---

تحقق من فهمك

السؤال 3: شبه المنحرف RSTV بالانعكاس حول المستقيم المعطى.

* الإحداثيات: R(-1, 1), S(4, 1), T(4, -1), V(-1, -3)

* (3A) حول المستقيم y = -3:

* محور الانعكاس أفقي. المسافة الرأسية بين النقطة والمحور تبقى كما هي، ولكن في الاتجاه المعاكس.

* الحل: احسب المسافة الرأسية بين إحداثي y للنقطة والمحور (y = -3)، ثم انعكسها.

* R(-1, 1): المسافة = 1 - (-3) = 4 → الصورة: y' = -3 - 4 = -7 → R'(-1, -7)

* S(4, 1): المسافة = 1 - (-3) = 4 → الصورة: y' = -3 - 4 = -7 → S'(4, -7)

* T(4, -1): المسافة = -1 - (-3) = 2 → الصورة: y' = -3 - 2 = -5 → T'(4, -5)

* V(-1, -3): المسافة = -3 - (-3) = 0 → الصورة: V'(-1, -3) (نقطة ثابتة)

* (3B) حول المستقيم x = 2:

* محور الانعكاس رأسي. المسافة الأفقية بين إحداثي x للنقطة والمحور تبقى كما هي، ولكن في الاتجاه المعاكس.

* الحل: احسب المسافة الأفقية بين إحداثي x للنقطة والمحور (x = 2)، ثم انعكسها.

* R(-1, 1): المسافة = -1 - 2 = -3 → الصورة: x' = 2 - (-3) = 5 → R'(5, 1)

* S(4, 1): المسافة = 4 - 2 = 2 → الصورة: x' = 2 - 2 = 0 → S'(0, 1)

* T(4, -1): المسافة = 4 - 2 = 2 → الصورة: x' = 2 - 2 = 0 → T'(0, -1)

* V(-1, -3): المسافة = -1 - 2 = -3 → الصورة: x' = 2 - (-3) = 5 → V'(5, -3)

السؤال 4A: المستطيل EFGH بالانعكاس حول المحور x.

* الإحداثيات: E(-4, -1), F(2, 2), G(3, 0), H(3, -3)

* الحل: بتطبيق القاعدة (x, y) → (x, -y)

* E(-4, -1) → E'(-4, 1)

* F(2, 2) → F'(2, -2)

* G(3, 0) → G'(3, 0) ← (نقطة ثابتة)

* H(3, -3) → H'(3, 3)

السؤال 4B: المثلث JKL بالانعكاس حول المحور y.

* الإحداثيات: J(3, 2), K(2, -2), L(4, -5)

* الحل: بتطبيق القاعدة (x, y) → (-x, y)

* J(3, 2) → J'(-3, 2)

* K(2, -2) → K'(-2, -2)

* L(4, -5) → L'(-4, -5)

الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل 120

تحقق من فهمك

مثل بيانيًا شبه المنحرف RSTV الذي إحداثيات رؤوسه هي: (3-, 1-)V, (1-, 4)T, (1, 4)S, (1, 1-)R، وارسم صورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي:

يمكنك استعمال القاعدة الآتية، عندما يكون محور الانعكاس هو المحور x أو المحور y.

الانعكاس حول المحور x أو المحور y

التعبير اللفظي: لتعيين صورة نقطة بالانعكاس حول المحور x، اضرب إحداثي y لها في 1-. الرموز: (x, y) → (x, -y) مثال:

التعبير اللفظي: لتعيين صورة نقطة بالانعكاس حول المحور y، اضرب إحداثي x لها في 1-. الرموز: (x, y) → (-x, y) مثال:

التعبير عن الدالة بالصيغة الإحداثية: يمكن قراءة العبارة: P(a,b) → P'(a,-b) على النحو الآتي: تتحول النقطة P التي إحداثياها a و b إلى النقطة P شرطة التي إحداثياها a وسالب b.

الانعكاس حول المحور x أو المحور y

رسم صورة بالانعكاس حول المحور x أو المحور y

مثل كل شكل مما يأتي بيانيًا، ثم ارسم صورته بالانعكاس المحدد. المثلث ABC الذي إحداثيات رؤوسه: (2, 1)C, (0, 2)B, (3, 5-)A بالانعكاس حول المحور x. اضرب الإحداثي y لكل رأس في 1-. (x, y) → (x, -y) A(-5, 3) → A'(-5, -3) B(2, 0) → B'(2, 0) C(1, 2) → C'(1, -2)

النقاط الثابتة: تسمى النقطة B في المثال 4a نقطة ثابتة؛ لأنها اقترنت مع نفسها، وأن إحداثييها هما نفس إحداثيي صورتها B' بالانعكاس، فالنقاط الواقعة على محور الانعكاس هي فقط التي تبقى ثابتة تحت تأثير الانعكاس.

متوازي الأضلاع PQRS الذي إحداثيات رؤوسه: (3-, 4-)S, (1-, 2)R, (3, 2)Q, (1, 4-)P بالانعكاس حول المحور y. اضرب الإحداثي x لكل نقطة في 1-. (x, y) → (-x, y) P(-4, 1) → P'(4, 1) Q(2, 3) → Q'(-2, 3) R(2, -1) → R'(-2, -1) S(-4, -3) → S'(4, -3)

تحقق من فهمك

المستطيل الذي إحداثيات رؤوسه: (3-, 3)H, (0, 3)G, (2, 2)F, (1-, 4)E بالانعكاس حول المحور x.

المثلث JKL الذي إحداثيات رؤوسه: (5-, 4)L, (2-, 2)K, (2, 3)J بالانعكاس حول المحور y.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل --- الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل 120 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- مثل بيانيًا شبه المنحرف RSTV الذي إحداثيات رؤوسه هي: (3-, 1-)V, (1-, 4)T, (1, 4)S, (1, 1-)R، وارسم صورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي: 3A. y = -3 3B. x = 2 يمكنك استعمال القاعدة الآتية، عندما يكون محور الانعكاس هو المحور x أو المحور y. --- SECTION: مفهوم أساسي --- الانعكاس حول المحور x أو المحور y --- SECTION: الانعكاس حول المحور x --- التعبير اللفظي: لتعيين صورة نقطة بالانعكاس حول المحور x، اضرب إحداثي y لها في 1-. الرموز: (x, y) → (x, -y) مثال: --- SECTION: الانعكاس حول المحور y --- التعبير اللفظي: لتعيين صورة نقطة بالانعكاس حول المحور y، اضرب إحداثي x لها في 1-. الرموز: (x, y) → (-x, y) مثال: --- SECTION: قراءة الرياضيات --- التعبير عن الدالة بالصيغة الإحداثية: يمكن قراءة العبارة: P(a,b) → P'(a,-b) على النحو الآتي: تتحول النقطة P التي إحداثياها a و b إلى النقطة P شرطة التي إحداثياها a وسالب b. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- الانعكاس حول المحور x أو المحور y --- SECTION: مثال 4 --- رسم صورة بالانعكاس حول المحور x أو المحور y --- SECTION: a --- مثل كل شكل مما يأتي بيانيًا، ثم ارسم صورته بالانعكاس المحدد. المثلث ABC الذي إحداثيات رؤوسه: (2, 1)C, (0, 2)B, (3, 5-)A بالانعكاس حول المحور x. اضرب الإحداثي y لكل رأس في 1-. (x, y) → (x, -y) A(-5, 3) → A'(-5, -3) B(2, 0) → B'(2, 0) C(1, 2) → C'(1, -2) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- النقاط الثابتة: تسمى النقطة B في المثال 4a نقطة ثابتة؛ لأنها اقترنت مع نفسها، وأن إحداثييها هما نفس إحداثيي صورتها B' بالانعكاس، فالنقاط الواقعة على محور الانعكاس هي فقط التي تبقى ثابتة تحت تأثير الانعكاس. --- SECTION: b --- متوازي الأضلاع PQRS الذي إحداثيات رؤوسه: (3-, 4-)S, (1-, 2)R, (3, 2)Q, (1, 4-)P بالانعكاس حول المحور y. اضرب الإحداثي x لكل نقطة في 1-. (x, y) → (-x, y) P(-4, 1) → P'(4, 1) Q(2, 3) → Q'(-2, 3) R(2, -1) → R'(-2, -1) S(-4, -3) → S'(4, -3) --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4A --- المستطيل الذي إحداثيات رؤوسه: (3-, 3)H, (0, 3)G, (2, 2)F, (1-, 4)E بالانعكاس حول المحور x. --- SECTION: 4B --- المثلث JKL الذي إحداثيات رؤوسه: (5-, 4)L, (2-, 2)K, (2, 3)J بالانعكاس حول المحور y. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Shows a polygon with vertices A(4,1) and B(7,3) reflected across the x-axis to A'(4,-1) and B'(7,-3). The x-axis acts as the line of reflection. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the rule for reflection across the x-axis: (x, y) → (x, -y). **GRAPH**: Untitled Description: Shows a polygon with vertices A(2,3) and B(6,-4) reflected across the y-axis to A'(-2,3) and B'(-6,-4). The y-axis acts as the line of reflection. X-axis: x Y-axis: y Context: Illustrates the rule for reflection across the y-axis: (x, y) → (-x, y). **GRAPH**: Untitled Description: Graphically represents the reflection of triangle ABC with vertices A(-5,3), B(2,0), C(1,2) across the x-axis to form A'(-5,-3), B'(2,0), C'(1,-2). X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of reflection of a triangle across the x-axis, showing how points on the axis (like B) remain fixed. **GRAPH**: Untitled Description: Graphically represents the reflection of parallelogram PQRS with vertices P(-4,1), Q(2,3), R(2,-1), S(-4,-3) across the y-axis to form P'(4,1), Q'(-2,3), R'(-2,-1), S'(4,-3). X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of reflection of a parallelogram across the y-axis.