📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: METADATA
124 الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل
جبر: مثل بيانيًا المستقيم 3 - y = 2x وصورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي، ثم اكتب معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس
نوع: محتوى تعليمي
جبر: مثل بيانيًا المستقيم 3 - y = 2x وصورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي، ثم اكتب معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس
28
نوع: QUESTION_HOMEWORK
28) المحور x
29
نوع: QUESTION_HOMEWORK
29) المحور y
30
نوع: QUESTION_HOMEWORK
30) المستقيم x = y
31
نوع: QUESTION_HOMEWORK
31) مثل بيانيًا صورة CDE المبين أدناه بالانعكاس حول المستقيم 3x = y.
32
نوع: QUESTION_HOMEWORK
32) غير موقع الرأس C ليصبح المضلع ABCDE محدبًا، وتبقى أطوال أضلاعه كما هي دون تغيير.
جبر: مثل بيانيًا صورة كل من الدوال الآتية بالانعكاس حول المحور المحدد، ثم اكتب معادلة الصورة الناتجة عن الانعكاس.
نوع: محتوى تعليمي
جبر: مثل بيانيًا صورة كل من الدوال الآتية بالانعكاس حول المحور المحدد، ثم اكتب معادلة الصورة الناتجة عن الانعكاس.
33
نوع: QUESTION_HOMEWORK
33) المحور x
34
نوع: QUESTION_HOMEWORK
34) المحور y
35
نوع: QUESTION_HOMEWORK
35) المحور x
36
نوع: QUESTION_ACTIVITY
36) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي الانعكاس حول نقطة الأصل.
مسائل مهارات التفكير العليا
نوع: محتوى تعليمي
مسائل مهارات التفكير العليا
37
نوع: QUESTION_HOMEWORK
37) اكتشف الخطأ: يجد جميل وإبراهيم إحداثيات صورة النقطة (3, 2) C الناتجة عن انعكاس حول المحور x، أي منهما إجابته صحيحة؟ وضح إجابتك.
نوع: NON_EDUCATIONAL
وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447
🔍 عناصر مرئية
A blue triangle CDE is plotted on a Cartesian grid, along with a red straight line labeled y=3x passing through the origin. The grid extends from -4 to 4 on both x and y axes.
A blue five-sided polygon labeled ABCDE. The polygon is concave due to the position of vertex C, which is an interior angle greater than 180 degrees. The vertices are arranged such that A is top-left, B is top-right, C is indented towards the center, D is bottom-right, and E is bottom-left.
A blue parabolic curve, symmetric about the y-axis, with its vertex at the origin (0,0). The parabola opens upwards. The visible grid extends from -4 to 4 on both x and y axes.
A blue curve representing a square root function, starting at (-3,0) and extending to the right. The visible grid extends from -4 to 4 on both x and y axes.
A blue curve representing an exponential function, increasing rapidly as x increases. It approaches the x-axis as x decreases. The visible grid extends from -4 to 4 on both x and y axes.
A table with two main columns, ΔABC and ΔA'B'C', and rows for coordinates of vertices A, B, and C and their reflected images A', B', and C'. All cells for coordinates are empty.
Two blue rectangular boxes, side-by-side, presenting the answers of Jameel and Ibrahim for a reflection problem. Each box contains a name and a coordinate for C'.
📄 النص الكامل للصفحة
124 الفصل 7 التحويلات الهندسية والتماثل
--- SECTION: جبر: مثل بيانيًا المستقيم 3 - y = 2x وصورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي، ثم اكتب معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس ---
جبر: مثل بيانيًا المستقيم 3 - y = 2x وصورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي، ثم اكتب معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس
--- SECTION: 28 ---
28) المحور x
--- SECTION: 29 ---
29) المحور y
--- SECTION: 30 ---
30) المستقيم x = y
--- SECTION: 31 ---
31) مثل بيانيًا صورة CDE المبين أدناه بالانعكاس حول المستقيم 3x = y.
--- SECTION: 32 ---
32) غير موقع الرأس C ليصبح المضلع ABCDE محدبًا، وتبقى أطوال أضلاعه كما هي دون تغيير.
--- SECTION: جبر: مثل بيانيًا صورة كل من الدوال الآتية بالانعكاس حول المحور المحدد، ثم اكتب معادلة الصورة الناتجة عن الانعكاس. ---
جبر: مثل بيانيًا صورة كل من الدوال الآتية بالانعكاس حول المحور المحدد، ثم اكتب معادلة الصورة الناتجة عن الانعكاس.
--- SECTION: 33 ---
33) المحور x
--- SECTION: 34 ---
34) المحور y
--- SECTION: 35 ---
35) المحور x
--- SECTION: 36 ---
36) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي الانعكاس حول نقطة الأصل.
a. هندسيًا: ارسم المثلث ABC في المستوى الإحداثي، بحيث تكون إحداثيات رؤوسه أعدادًا صحيحة موجبة.
b. بيانيًا: عين النقاط C', B', A' الناتجة عن الانعكاس، بحيث تكون النقطة الأصلية وصورتها ونقطة الأصلية وصورتها على البعد نفسه من نقطة الأصل.
c. جدوليًا: انقل الجدول الآتي وأكمله.
d. لفظيًا: ضع تخمينًا حول العلاقة بين إحداثيات الرؤوس المتناظرة لشكل وصورته الناتجة عن انعكاسه حول نقطة الأصل.
--- SECTION: مسائل مهارات التفكير العليا ---
مسائل مهارات التفكير العليا
--- SECTION: 37 ---
37) اكتشف الخطأ: يجد جميل وإبراهيم إحداثيات صورة النقطة (3, 2) C الناتجة عن انعكاس حول المحور x، أي منهما إجابته صحيحة؟ وضح إجابتك.
وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447
--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: A blue triangle CDE is plotted on a Cartesian grid, along with a red straight line labeled y=3x passing through the origin. The grid extends from -4 to 4 on both x and y axes.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: This graph is used to perform a reflection of triangle CDE about the line y=3x.
**FIGURE**: Untitled
Description: A blue five-sided polygon labeled ABCDE. The polygon is concave due to the position of vertex C, which is an interior angle greater than 180 degrees. The vertices are arranged such that A is top-left, B is top-right, C is indented towards the center, D is bottom-right, and E is bottom-left.
Context: This figure is used to understand the concept of convex polygons by repositioning vertex C without changing side lengths.
(Note: Some details are estimated)
**GRAPH**: Untitled
Description: A blue parabolic curve, symmetric about the y-axis, with its vertex at the origin (0,0). The parabola opens upwards. The visible grid extends from -4 to 4 on both x and y axes.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: This graph is used to perform a reflection of the function y = 1/2 x^2 about the x-axis.
**GRAPH**: Untitled
Description: A blue curve representing a square root function, starting at (-3,0) and extending to the right. The visible grid extends from -4 to 4 on both x and y axes.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: This graph is used to perform a reflection of the function y = √x+3 about the y-axis.
**GRAPH**: Untitled
Description: A blue curve representing an exponential function, increasing rapidly as x increases. It approaches the x-axis as x decreases. The visible grid extends from -4 to 4 on both x and y axes.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: This graph is used to perform a reflection of the function y = 2^x about the x-axis.
**TABLE**: Untitled
Description: A table with two main columns, ΔABC and ΔA'B'C', and rows for coordinates of vertices A, B, and C and their reflected images A', B', and C'. All cells for coordinates are empty.
Table Structure:
Headers: ΔABC | ΔA'B'C'
Rows:
Row 1: الإحداثيات | الإحداثيات
Row 2: A | A'
Row 3: B | B'
Row 4: C | C'
Empty cells: All cells under 'الإحداثيات' for A, B, C, A', B', C' are empty and need to be filled.
Calculation needed: The table is to be completed with the coordinates of triangle ABC and its reflection ΔA'B'C' about the origin, as part of a multi-representation problem.
Context: This table is part of a multi-representation exercise (Question 36) to record and analyze the coordinates of a triangle and its reflection about the origin.
**FIGURE**: Untitled
Description: Two blue rectangular boxes, side-by-side, presenting the answers of Jameel and Ibrahim for a reflection problem. Each box contains a name and a coordinate for C'.
Key Values: إبراهيم C'(-2, 3), جميل C'(2, -3)
Context: These boxes present two different answers for a reflection problem, requiring the student to identify the correct one and explain the error, based on the reflection of point C(3, 2) about the x-axis. Note: If the original point C was (2, 3), Jameel's answer C'(2, -3) would be correct for reflection about the x-axis, and Ibrahim's answer C'(-2, 3) would be correct for reflection about the y-axis. The question states C(3, 2) reflected about the x-axis, for which the correct answer would be C'(3, -2), which is not provided by either Jameel or Ibrahim.
✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية
عدد الأسئلة: 10
سؤال 28: جبر: مثل بيانيًا المستقيم y = 2x - 3 وصورته بالانعكاس حول المستقيم المعطى في كل مما يأتي، ثم اكتب معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس
28) المحور x
الإجابة: y = -2x + 3
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا معادلة المستقيم الأصلي: $y = 2x - 3$.
المطلوب هو إيجاد صورة هذا المستقيم بالانعكاس حول المحور $x$.
- **الخطوة 2 (القاعدة):**
عند الانعكاس حول المحور $x$، تتغير إشارة الإحداثي $y$ فقط، بينما يبقى الإحداثي $x$ كما هو. أي أن النقطة $(x, y)$ تصبح $(x, -y)$.
لذلك، في معادلة المستقيم، نستبدل $y$ بـ $-y$.
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض في المعادلة الأصلية:
$$-y = 2x - 3$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
للحصول على معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس، نضرب الطرفين في $-1$:
$$y = -(2x - 3)$$
$$y = -2x + 3$$
إذن معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس هي: **$y = -2x + 3$**
سؤال 29: 29) المحور y
الإجابة: y = -2x - 3
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا معادلة المستقيم الأصلي: $y = 2x - 3$.
المطلوب هو إيجاد صورة هذا المستقيم بالانعكاس حول المحور $y$.
- **الخطوة 2 (القاعدة):**
عند الانعكاس حول المحور $y$، تتغير إشارة الإحداثي $x$ فقط، بينما يبقى الإحداثي $y$ كما هو. أي أن النقطة $(x, y)$ تصبح $(-x, y)$.
لذلك، في معادلة المستقيم، نستبدل $x$ بـ $-x$.
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض في المعادلة الأصلية:
$$y = 2(-x) - 3$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بتبسيط المعادلة:
$$y = -2x - 3$$
إذن معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس هي: **$y = -2x - 3$**
سؤال 30: 30) المستقيم y = x
الإجابة: y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا معادلة المستقيم الأصلي: $y = 2x - 3$.
المطلوب هو إيجاد صورة هذا المستقيم بالانعكاس حول المستقيم $y = x$.
- **الخطوة 2 (القاعدة):**
عند الانعكاس حول المستقيم $y = x$، يتم تبديل الإحداثيين $x$ و $y$. أي أن النقطة $(x, y)$ تصبح $(y, x)$.
لذلك، في معادلة المستقيم، نستبدل $x$ بـ $y$ ونستبدل $y$ بـ $x$.
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض في المعادلة الأصلية:
$$x = 2y - 3$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
للحصول على معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس بصيغة $y = mx + b$، نقوم بحل المعادلة بالنسبة لـ $y$:
$$x + 3 = 2y$$
$$\frac{x + 3}{2} = y$$
$$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$$
إذن معادلة المستقيم الناتج عن الانعكاس هي: **$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$**
سؤال 31: 31) مثل بيانيًا صورة ΔCDE المبين أدناه بالانعكاس حول المستقيم y = 3x.
الإجابة: س31: إذا كانت
C(-3, 6), D(-1, 1),
E(3, 5) فإن:
C'(6, 3),
D' \frac{7}{5}, \frac{11}{5},
E' \frac{29}{5}, \frac{3}{5}
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
لدينا رؤوس المثلث $\Delta CDE$: $C(-3, 6)$, $D(-1, 1)$, $E(3, 5)$.
المطلوب هو إيجاد صورة هذا المثلث بالانعكاس حول المستقيم $y = 3x$.
- **الخطوة 2 (القاعدة):**
لإيجاد صورة نقطة $(x, y)$ بالانعكاس حول المستقيم $y = mx$، نستخدم الصيغتين التاليتين:
$$x' = \frac{(1-m^2)x + 2my}{1+m^2}$$
$$y' = \frac{2mx + (m^2-1)y}{1+m^2}$$
في هذه المسألة، $m = 3$. إذن $m^2 = 9$. وبالتالي $1+m^2 = 10$, $1-m^2 = -8$, $m^2-1 = 8$.
فتصبح الصيغتان:
$$x' = \frac{-8x + 6y}{10} = \frac{-4x + 3y}{5}$$
$$y' = \frac{6x + 8y}{10} = \frac{3x + 4y}{5}$$
- **الخطوة 3 (الحل):**
نطبق هذه الصيغ على كل رأس من رؤوس المثلث:
**للرأس $C(-3, 6)$:**
$$x'_C = \frac{-4(-3) + 3(6)}{5} = \frac{12 + 18}{5} = \frac{30}{5} = 6$$
$$y'_C = \frac{3(-3) + 4(6)}{5} = \frac{-9 + 24}{5} = \frac{15}{5} = 3$$
إذن $C'(6, 3)$.
**للرأس $D(-1, 1)$:**
$$x'_D = \frac{-4(-1) + 3(1)}{5} = \frac{4 + 3}{5} = \frac{7}{5}$$
$$y'_D = \frac{3(-1) + 4(1)}{5} = \frac{-3 + 4}{5} = \frac{1}{5}$$
إذن $D'(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$.
**للرأس $E(3, 5)$:**
$$x'_E = \frac{-4(3) + 3(5)}{5} = \frac{-12 + 15}{5} = \frac{3}{5}$$
$$y'_E = \frac{3(3) + 4(5)}{5} = \frac{9 + 20}{5} = \frac{29}{5}$$
إذن $E'(\frac{3}{5}, \frac{29}{5})$.
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
إذن إحداثيات رؤوس صورة المثلث $\Delta CDE$ بالانعكاس حول المستقيم $y = 3x$ هي:
$C'(6, 3)$, $D'(\frac{7}{5}, \frac{1}{5})$, $E'(\frac{3}{5}, \frac{29}{5})$
سؤال 32: 32) غير موقع الرأس C ليصبح المضلع ABCDE محدبًا، وتبقى أطوال أضلاعه كما هي دون تغيير.
الإجابة: س32: انقل C إلى الجهة
الأخرى من القطعة BD
(أي خذ 'C صورة C
بالانعكاس حول المستقيم
BD)؛ فتظل BC
و CD بطوليهما نفسهما
ويصبح المضلع محدبًا.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
المضلع المحدب هو المضلع الذي تقع جميع نقاطه الداخلية على نفس الجانب من أي خط مستقيم يمر بأحد أضلاعه. بعبارة أخرى، لا توجد فيه زوايا داخلية أكبر من 180 درجة.
إذا كان المضلع ABCDE مقعرًا عند الرأس C، فهذا يعني أن الرأس C يقع 'للداخل' بالنسبة للقطعة المستقيمة BD التي تربط الرأسين المجاورين له.
- **الخطوة 2 (التطبيق):**
لجعل المضلع محدبًا مع الحفاظ على أطوال الأضلاع BC و CD، يجب أن نغير موقع الرأس C بحيث يصبح 'للخارج' بالنسبة للقطعة BD. أفضل طريقة لتحقيق ذلك هي عكس موقع C عبر الخط الذي يمر بالقطعة BD.
الانعكاس يحافظ على المسافات، لذا فإن طول BC سيبقى كما هو (المسافة بين B و C')، وطول CD سيبقى كما هو (المسافة بين C' و D).
- **الخطوة 3 (النتيجة):**
لذلك، يجب **نقل الرأس C إلى الجهة الأخرى من القطعة BD، وذلك بأخذ صورة C بالانعكاس حول المستقيم الذي يمر بالقطعة BD**. بهذه الطريقة، تظل أطوال الأضلاع BC و CD كما هي، ويصبح المضلع ABCDE محدبًا.
سؤال 33: جبر: مثل بيانيًا صورة كل من الدوال الآتية بالانعكاس حول المحور المحدد، ثم اكتب معادلة الصورة الناتجة عن الانعكاس.
33) المحور x
الإجابة: y = -\frac{1}{2}x^2
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
بناءً على الإجابة المعطاة $y = -\frac{1}{2}x^2$، نستنتج أن الدالة الأصلية كانت $y = \frac{1}{2}x^2$.
المطلوب هو إيجاد صورة هذه الدالة بالانعكاس حول المحور $x$.
- **الخطوة 2 (القاعدة):**
عند الانعكاس حول المحور $x$، تتغير إشارة الإحداثي $y$ فقط، بينما يبقى الإحداثي $x$ كما هو. أي أن النقطة $(x, y)$ تصبح $(x, -y)$.
لذلك، في معادلة الدالة، نستبدل $y$ بـ $-y$.
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض في المعادلة الأصلية:
$$-y = \frac{1}{2}x^2$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
للحصول على معادلة الدالة الناتجة عن الانعكاس، نضرب الطرفين في $-1$:
$$y = -\frac{1}{2}x^2$$
إذن معادلة الصورة الناتجة عن الانعكاس هي: **$y = -\frac{1}{2}x^2$**
سؤال 34: 34) المحور y
الإجابة: y = \sqrt{-x+3}
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
بناءً على الإجابة المعطاة $y = \sqrt{-x+3}$، نستنتج أن الدالة الأصلية كانت $y = \sqrt{x+3}$.
المطلوب هو إيجاد صورة هذه الدالة بالانعكاس حول المحور $y$.
- **الخطوة 2 (القاعدة):**
عند الانعكاس حول المحور $y$، تتغير إشارة الإحداثي $x$ فقط، بينما يبقى الإحداثي $y$ كما هو. أي أن النقطة $(x, y)$ تصبح $(-x, y)$.
لذلك، في معادلة الدالة، نستبدل $x$ بـ $-x$.
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض في المعادلة الأصلية:
$$y = \sqrt{(-x)+3}$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بتبسيط المعادلة:
$$y = \sqrt{-x+3}$$
إذن معادلة الصورة الناتجة عن الانعكاس هي: **$y = \sqrt{-x+3}$**
سؤال 35: 35) المحور x
الإجابة: y = -2^x
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المعطيات):**
بناءً على الإجابة المعطاة $y = -2^x$، نستنتج أن الدالة الأصلية كانت $y = 2^x$.
المطلوب هو إيجاد صورة هذه الدالة بالانعكاس حول المحور $x$.
- **الخطوة 2 (القاعدة):**
عند الانعكاس حول المحور $x$، تتغير إشارة الإحداثي $y$ فقط، بينما يبقى الإحداثي $x$ كما هو. أي أن النقطة $(x, y)$ تصبح $(x, -y)$.
لذلك، في معادلة الدالة، نستبدل $y$ بـ $-y$.
- **الخطوة 3 (الحل):**
بالتعويض في المعادلة الأصلية:
$$-y = 2^x$$
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
للحصول على معادلة الدالة الناتجة عن الانعكاس، نضرب الطرفين في $-1$:
$$y = -2^x$$
إذن معادلة الصورة الناتجة عن الانعكاس هي: **$y = -2^x$**
سؤال 36: 36) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستقصي الانعكاس حول نقطة الأصل.
a) هندسيًا: ارسم المثلث ABC في المستوى الإحداثي، بحيث تكون إحداثيات رؤوسه أعدادًا صحيحة موجبة.
b) بيانيًا: عين النقاط A', B', C' الناتجة عن الانعكاس، بحيث تكون النقطة الأصلية وصورتها ونقطة الأصل على استقامة واحدة، وتكون النقطة الأصلية وصورتها على البعد نفسه من نقطة الأصل.
c) جدوليًا: انقل الجدول الآتي وأكمله.
d) لفظيًا: ضع تخمينًا حول العلاقة بين إحداثيات الرؤوس المتناظرة لشكل وصورته الناتجة عن انعكاسه حول نقطة الأصل.
الإجابة: س:36: مثل: A(1, 2), B(4, 1), C(2, 5)
A'(-1, -2), B'(-4, -1), C'(-2, -5)
triangle ABC: A(1, 2), B(4, 1), C(2, 5)
triangle A'B'C': A'(-1, -2), B'(-4, -1), C'(-2, -5)
س36: الانعكاس حول نقطة الأصل يحول (x, y) إلى (-x, -y)، وتكون نقطة الأصل منتصف القطعة الواصلة بين النقطة وصورتها.
خطوات الحل:
- **الشرح:**
لنفهم الانعكاس حول نقطة الأصل، دعنا نتبع الخطوات المطلوبة:
**a) هندسيًا:** نبدأ برسم مثلث ABC في المستوى الإحداثي، بحيث تكون إحداثيات رؤوسه أعدادًا صحيحة موجبة. على سبيل المثال، يمكننا اختيار النقاط التالية:
$A(1, 2)$, $B(4, 1)$, $C(2, 5)$.
**b) بيانيًا:** لتعيين النقاط A', B', C' الناتجة عن الانعكاس حول نقطة الأصل (0,0)، نتذكر أن الانعكاس حول نقطة الأصل يعني أن النقطة الأصلية وصورتها ونقطة الأصل تقع على استقامة واحدة، وأن نقطة الأصل تكون منتصف المسافة بين النقطة الأصلية وصورتها.
هذا يعني أننا نمد خطًا من كل رأس إلى نقطة الأصل، ثم نمد الخط بنفس المسافة في الاتجاه المعاكس.
**c) جدوليًا:** عند تطبيق هذا المفهوم على النقاط التي اخترناها:
- للنقطة $A(1, 2)$: إذا مددنا خطًا من $A$ إلى نقطة الأصل، ثم مددناه بنفس المسافة، سنجد أن الصورة $A'$ تقع عند $(-1, -2)$.
- للنقطة $B(4, 1)$: صورتها $B'$ تقع عند $(-4, -1)$.
- للنقطة $C(2, 5)$: صورتها $C'$ تقع عند $(-2, -5)$.
الجدول سيكون كالتالي:
| النقطة الأصلية $(x, y)$ | النقطة الناتجة عن الانعكاس $(x', y')$ |
|---|---|
| $A(1, 2)$ | $A'(-1, -2)$ |
| $B(4, 1)$ | $B'(-4, -1)$ |
| $C(2, 5)$ | $C'(-2, -5)$ |
**d) لفظيًا:** من خلال ملاحظة العلاقة بين إحداثيات النقاط الأصلية وصورها في الجدول، يمكننا أن نضع تخمينًا:
نلاحظ أن كل من الإحداثي $x$ والإحداثي $y$ قد تغيرت إشارتهما من موجب إلى سالب.
إذن، التخمين هو: **الانعكاس حول نقطة الأصل يحول النقطة $(x, y)$ إلى النقطة $(-x, -y)$، وتكون نقطة الأصل هي منتصف القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطة الأصلية وصورتها.**
سؤال 37: 37) اكتشف الخطأ: يجد جميل وإبراهيم إحداثيات صورة النقطة C(3, 2) الناتجة عن انعكاس حول المحور x، أي منهما إجابته صحيحة؟ وضح إجابتك.
الإجابة: س:37: الإجابة الصحيحة هي جميل: C'(3, -2) لأن الانعكاس حول المحور x
يعكس إشارة y.
خطوات الحل:
- **الخطوة 1 (المفهوم):**
المطلوب هو إيجاد صورة النقطة $C(3, 2)$ الناتجة عن انعكاس حول المحور $x$.
- **الخطوة 2 (القاعدة):**
نتذكر أن قاعدة الانعكاس حول المحور $x$ هي أن الإحداثي $x$ يبقى كما هو، بينما تتغير إشارة الإحداثي $y$. أي أن النقطة $(x, y)$ تصبح $(x, -y)$.
- **الخطوة 3 (التطبيق):**
بتطبيق هذه القاعدة على النقطة $C(3, 2)$:
- الإحداثي $x$ يبقى $3$.
- الإحداثي $y$ تتغير إشارته من $2$ إلى $-2$.
إذن، صورة النقطة $C(3, 2)$ بالانعكاس حول المحور $x$ هي $C'(3, -2)$.
- **الخطوة 4 (النتيجة):**
بما أن جميل وجد أن الصورة هي $C'(3, -2)$، فإن **إجابة جميل هي الصحيحة**، وذلك لأن الانعكاس حول المحور $x$ يعكس إشارة الإحداثي $y$ فقط.
🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة
عدد البطاقات: 10 بطاقة لهذه الصفحة
إذا كانت الدالة الأصلية هي y = 2^x، فما معادلتها بعد الانعكاس حول المحور x؟
- أ) y = 2^{-x}
- ب) y = -2^x
- ج) y = 2^x
- د) y = (-2)^x
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: y = -2^x
الشرح: ١. القاعدة: الانعكاس حول المحور x يحول النقطة (x, y) إلى (x, -y).
٢. التطبيق: في معادلة الدالة، نستبدل y بـ -y.
٣. الحل: -y = 2^x → نضرب الطرفين في -1.
٤. النتيجة: y = -2^x.
تلميح: تذكر: عند الانعكاس حول المحور x، تتغير إشارة الإحداثي y فقط.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
إذا كانت معادلة المستقيم هي y = 2x - 3، فما معادلته بعد الانعكاس حول المحور x؟
- أ) y = 2x + 3
- ب) y = -2x - 3
- ج) y = -2x + 3
- د) y = 2x - 3
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: y = -2x + 3
الشرح: 1. القاعدة: عند الانعكاس حول المحور x، النقطة (x, y) تصبح (x, -y).
2. نطبق على المعادلة: نستبدل y بـ -y.
3. تصبح المعادلة: -y = 2x - 3.
4. نضرب الطرفين في -1 للحصول على y: y = -2x + 3.
تلميح: تذكر: عند الانعكاس حول المحور x، تتغير إشارة y فقط.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
إذا كانت معادلة المستقيم هي y = 2x - 3، فما معادلته بعد الانعكاس حول المحور y؟
- أ) y = -2x + 3
- ب) y = 2x + 3
- ج) y = 2x - 3
- د) y = -2x - 3
الإجابة الصحيحة: d
الإجابة: y = -2x - 3
الشرح: 1. القاعدة: عند الانعكاس حول المحور y، النقطة (x, y) تصبح (-x, y).
2. نطبق على المعادلة: نستبدل x بـ -x.
3. تصبح المعادلة: y = 2(-x) - 3.
4. نبسط: y = -2x - 3.
تلميح: تذكر: عند الانعكاس حول المحور y، تتغير إشارة x فقط.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
إذا كانت معادلة المستقيم هي y = 2x - 3، فما معادلته بعد الانعكاس حول المستقيم y = x؟
- أ) y = 2x + 3
- ب) y = (1/2)x - (3/2)
- ج) y = (1/2)x + (3/2)
- د) y = -2x - 3
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: y = (1/2)x + (3/2)
الشرح: 1. القاعدة: عند الانعكاس حول y = x، النقطة (x, y) تصبح (y, x).
2. نطبق على المعادلة: نستبدل x بـ y و y بـ x.
3. تصبح المعادلة: x = 2y - 3.
4. نحل بالنسبة لـ y: x + 3 = 2y → y = (x + 3)/2 = (1/2)x + (3/2).
تلميح: تذكر: عند الانعكاس حول y = x، يتم تبديل الإحداثيين x و y.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
إذا كانت الدالة الأصلية هي y = (1/2)x²، فما معادلتها بعد الانعكاس حول المحور x؟
- أ) y = (1/2)x²
- ب) y = -(1/2)x²
- ج) y = 2x²
- د) y = -2x²
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: y = -(1/2)x²
الشرح: 1. القاعدة: عند الانعكاس حول المحور x، النقطة (x, y) تصبح (x, -y).
2. نطبق على معادلة الدالة: نستبدل y بـ -y.
3. تصبح المعادلة: -y = (1/2)x².
4. نضرب الطرفين في -1: y = -(1/2)x².
تلميح: تذكر: عند الانعكاس حول المحور x، تتغير إشارة y فقط.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
إذا كانت الدالة الأصلية هي y = √(x + 3)، فما معادلتها بعد الانعكاس حول المحور y؟
- أ) y = √(x - 3)
- ب) y = -√(x + 3)
- ج) y = √(-x + 3)
- د) y = -√(-x + 3)
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: y = √(-x + 3)
الشرح: 1. القاعدة: عند الانعكاس حول المحور y، النقطة (x, y) تصبح (-x, y).
2. نطبق على معادلة الدالة: نستبدل x بـ -x.
3. تصبح المعادلة: y = √((-x) + 3).
4. نبسط: y = √(-x + 3).
تلميح: تذكر: عند الانعكاس حول المحور y، تتغير إشارة x فقط.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط
في مسألة اكتشاف الخطأ، إذا كانت النقطة الأصلية C(3, 2) وتنعكس حول المحور x، فأي مما يلي يمثل الإحداثيات الصحيحة للصورة C'؟
- أ) (-3, 2)
- ب) (3, -2)
- ج) (-2, 3)
- د) (2, -3)
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: (3, -2)
الشرح: ١. القاعدة: الانعكاس حول المحور x يحول (x, y) إلى (x, -y).
٢. التطبيق: C(3, 2) → x يبقى 3، y يصبح -2.
٣. النتيجة: C'(3, -2).
تلميح: الانعكاس حول المحور x يغير إشارة الإحداثي y فقط.
التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل
ما القاعدة العامة لإيجاد إحداثيات صورة نقطة (x, y) بالانعكاس حول نقطة الأصل (0, 0)؟
- أ) (y, x)
- ب) (-y, -x)
- ج) (-x, -y)
- د) (x, -y)
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: (-x, -y)
الشرح: ١. المفهوم: الانعكاس حول نقطة الأصل يجعل النقطة وصورتها على نفس البعد من الأصل في اتجاهين متعاكسين.
٢. القاعدة: كل إحداثي يُعكس إشارته.
٣. النتيجة: (x, y) → (-x, -y).
تلميح: الانعكاس حول نقطة الأصل يعني قلب إشارة كلا الإحداثيين.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل
ما الشرط الذي يجب أن يتحقق في مضلع ليصبح محدبًا بعد تغيير موقع أحد رؤوسه مع الحفاظ على أطوال الأضلاع؟
- أ) يجب أن يقع الرأس المعدل موقعه على محور التماثل للمضلع.
- ب) يجب أن يقع الرأس المعدل موقعه داخل المضلع الأصلي لزيادة الاستقرار.
- ج) يجب أن يقع الرأس المعدل موقعه خارج المضلع الأصلي، بحيث تكون جميع زواياه الداخلية أقل من 180 درجة.
- د) يجب أن تتغير أطوال جميع أضلاع المضلع بشكل متناسب.
الإجابة الصحيحة: c
الإجابة: يجب أن يقع الرأس المعدل موقعه خارج المضلع الأصلي، بحيث تكون جميع زواياه الداخلية أقل من 180 درجة.
الشرح: ١. تعريف المضلع المحدب: جميع أقطاره تقع داخل المضلع، وجميع زواياه الداخلية أقل من 180°.
٢. الشرط: إذا كان المضلع مقعرًا عند رأس معين (مثل C)، فإن تغيير موقعه عبر الانعكاس حول الخط الواصل بين الرأسين المجاورين (B و D) يجعله خارج المضلع الأصلي.
٣. النتيجة: يصبح المضلع محدبًا مع الحفاظ على أطوال الأضلاع BC و CD.
تلميح: المضلع المحدب لا يحتوي على أي جزء من أضلاعه متقعر للداخل.
التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب
لإيجاد صورة نقطة (x, y) بالانعكاس حول المستقيم y = mx، ما الصيغة الصحيحة للإحداثي x' للصورة؟
- أ) x' = ((1 + m²)x - 2my) / (1 - m²)
- ب) x' = ((1 - m²)x + 2my) / (1 + m²)
- ج) x' = (2mx + (m² - 1)y) / (1 + m²)
- د) x' = x cos(θ) - y sin(θ) (حيث θ زاوية الميل)
الإجابة الصحيحة: b
الإجابة: x' = ((1 - m²)x + 2my) / (1 + m²)
الشرح: ١. السياق: تُستخدم هذه الصيغة لحساب الانعكاس حول أي مستقيم يمر بنقطة الأصل وله ميل m.
٢. الصيغة: للإحداثي x: x' = ((1 - m²)x + 2my) / (1 + m²).
٣. مثال: عند m=3 (المستقيم y=3x)، تصبح الصيغة: x' = (-8x + 6y)/10.
تلميح: هذه صيغة مشتقة هندسيًا تعتمد على ميل المستقيم (m) وإحداثيات النقطة الأصلية.
التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: صعب