إيجاد القطر ونصف القطر

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 الدائرة ومحيطها (استكمال)

المفاهيم الأساسية

الدائرة الخارجية (الدائرة المحيطة): دائرة تمر بجميع رؤوس المضلع.

الدائرة الداخلية: دائرة تمس جميع أضلاع المضلع من الداخل.

خريطة المفاهيم

```markmap

الدائرة ومحيطها

تعريف الدائرة

المحل الهندسي لنقاط تبعد بعد ثابت عن المركز
تسمى باسم مركزها (مثل: الدائرة C أو ⊙C)

القطع المستقيمة الخاصة

نصف القطر

من المركز إلى الدائرة

الوتر

من نقطة على الدائرة إلى نقطة أخرى عليها

القطر

وتر يمر بالمركز
أطول وتر
مكون من نصفي قطر

العلاقة بين القطر ونصف القطر

صيغة نصف القطر: r = \frac{d}{2}
صيغة القطر: d = 2r

أزواج الدوائر

الدوائر المتحدتان في المركز

تقعان في المستوى نفسه
لهما المركز نفسه

الدوائر المتطابقة

تكون متطابقة إذا وفقط إذا كان نصفا قطريهما متطابقين

تقاطع الدوائر

لا يوجد تقاطع
تقاطع في نقطة واحدة (مماس)
تقاطع في نقطتين

محيط الدائرة

تعريف

طول المنحنى المغلق للدائرة (C)
النسبة C/d = π (باي)

صيغ المحيط

C = πd
C = 2πr

المضلع والدائرة

دائرة خارجية (محاطة)

تقع رؤوس المضلع جميعها على الدائرة

دائرة داخلية

تمس جميع أضلاع المضلع

حساب القطر/نصف القطر من المحيط

من C = πd نجد d = \frac{C}{π}
ثم r = \frac{d}{2}

حساب محيط دائرة محيطة بمضلع

مربع محاط بدائرة

قطر الدائرة = قطر المربع
قطر المربع (نظرية فيثاغورس): d = a√2 حيث `a` طول الضلع
المحيط: C = πd = π(a√2)

مثلث قائم الزاوية محاط بدائرة

وتر المثلث القائم (الضلع المقابل للزاوية القائمة) = قطر الدائرة
المحيط: C = πd حيث `d` هو طول الوتر

أهداف الدرس

التعرف على عناصر الدائرة واستعمالها
حل مسائل تتضمن محيط الدائرة

```

نقاط مهمة

لإيجاد القطر من المحيط: اقسم المحيط على π (d = C / π).
لإيجاد نصف القطر من المحيط: اقسم المحيط على 2π (r = C / (2π)) أو اقسم القطر على 2.
عندما يكون المضلع محاطاً بدائرة (دائرة خارجية)، يمكن استخدام خصائص المضلع (مثل أقطار المربع، أو وتر المثلث القائم) لإيجاد قطر الدائرة.
للقيمة الدقيقة للمحيط، اترك π في الإجابة. للتقريب، استخدم π ≈ 3.14 أو زر π في الآلة الحاسبة.

---

تحقق من فهمك

السؤال 5: محيط دائرة = 77.8 cm. أوجد القطر (d) ونصف القطر (r) مقربين لأقرب جزء من مئة.

d = C / π = 77.8 / π

بالحاسبة: d ≈ 24.76 cm

r = d / 2 = 24.76 / 2

بالحاسبة: r ≈ 12.38 cm

الإجابة: القطر ≈ 24.76 cm، نصف القطر ≈ 12.38 cm.

السؤال 6:

أ- دائرة تحيط بمثلث قائم الزاوية طولا ساقيه 3m, 7m.

الوتر (قطر الدائرة d) = √(3² + 7²) = √(9 + 49) = √58 m
المحيط (C) = πd = π√58 m

الإجابة: π√58 m

ب- دائرة محاطة بمربع طول ضلعه 10ft.

قطر المربع (قطر الدائرة d) = 10√2 ft
المحيط (C) = πd = π(10√2) = 10√2 π ft

الإجابة: 10√2 π ft

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

أوجد القطر ونصف القطر مقربين إلى أقرب جزء من مئة للدائرة التي محيطها 106.4mm

نوع: محتوى تعليمي

صيغة محيط الدائرة

نوع: محتوى تعليمي

C = πd

نوع: محتوى تعليمي

بالتعويض

نوع: محتوى تعليمي

106.4 = πd

نوع: محتوى تعليمي

بقسمة كلا الطرفين على π

نوع: محتوى تعليمي

106.4 / π = d

نوع: محتوى تعليمي

باستعمال الحاسبة

نوع: محتوى تعليمي

33.87 mm ≈ d

نوع: محتوى تعليمي

وبما أن نصف القطر يساوي نصف القطر، فإن

نوع: محتوى تعليمي

r = 1/2 d

نوع: محتوى تعليمي

بالتعويض

نوع: محتوى تعليمي

r ≈ 1/2 (33.87)

نوع: محتوى تعليمي

باستعمال الحاسبة

نوع: محتوى تعليمي

r ≈ 16.94 mm

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان محيط دائرة يساوي 77.8 cm، فأوجد قطر الدائرة ونصف قطرها مقربين إلى أقرب جزء من مئة.

نوع: محتوى تعليمي

يكون المضلع محاطاً بدائرة إذ وقعت رؤوسه جميعها على الدائرة.

نوع: محتوى تعليمي

وتسمى هذه الدائرة الدائرة الخارجية.

نوع: محتوى تعليمي

الشكل الرباعي LMNP محاط بـ K دائرة خارجية للمضلع LMNP.

نوع: محتوى تعليمي

OK دائرة خارجية للمضلع LMNP.

من اختيار

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إجابة قصيرة: إذا كانت الدائرة J تحيط بمربع طول ضلعه 9in، فما القيمة الدقيقة لـ محيط J.

اقرأ سؤال الاختيار

نوع: محتوى تعليمي

احسب قطر الدائرة، واستعمله لحساب محيطها.

حل سؤال الاختيار

نوع: محتوى تعليمي

ارسم شكلاً توضيحياً فيه: قطر المربع يمثل قطراً للدائرة أيضاً، ويكون وتراً لمثلث قائم الزاوية.

نوع: محتوى تعليمي

a² + b² = c²

نوع: محتوى تعليمي

نظرية فيثاغورس

نوع: محتوى تعليمي

9² + 9² = c²

نوع: محتوى تعليمي

162 = c²

نوع: محتوى تعليمي

بالتبسيط

نوع: محتوى تعليمي

9√2 = c

نوع: محتوى تعليمي

بأخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين

نوع: محتوى تعليمي

قطر الدائرة يساوي 9√2 in

نوع: محتوى تعليمي

أوجد المحيط بدلالة π

نوع: محتوى تعليمي

محيط الدائرة يساوي 9√2 π in

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد القيمة الدقيقة لمحيط الدائرة في كل مما يأتي:

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

مستويات الدقة:
بما أن π عدد غير نسبي، فإن لا يمكن كتابته صورة كسر عشري منتـه. ولكن لأغراض الحسابات، يمكن اعتبار قيمته 3، وإذا استعملت القيمة 3.14 أو 22، 7 فستحصل على تقريب أكثر دقة، وللحصول على القيمة الدقيقة استعمل مفتاح π في الحاسبة.

الدائرة الخارجية والدائرة الداخلية

نوع: محتوى تعليمي

تسمى رؤوس المضلع الدائرة الخارجية. أما الدائرة التي تمس جميع أضلاع المضلع، فتسمى الدائرة الداخلية، حيث تكون الدائرة في الشكل أدناه.

🔍 عناصر مرئية

دائرة تحيط بمربع

A square with side length 9 inches is inscribed within a circle. The diagonals of the square are shown as dashed lines, intersecting at the center of the circle. The diagonals are also diameters of the circle. Right angle symbols are shown at the vertices of the square, indicating the corners.

مثلث قائم الزاوية داخل دائرة

A right-angled triangle is inscribed in a circle. The hypotenuse of the triangle is a diameter of the circle. The right angle vertex of the triangle lies on the circle's circumference. The two legs of the triangle are labeled 'a' and 'b', and the hypotenuse is labeled 'c'.

مثلث قائم الزاوية

A right-angled triangle with legs labeled 3m and 7m. The hypotenuse is the diameter of the circumscribing circle.

مربع محاط بدائرة

A square with side length 10ft is inscribed in a circle. The diagonals of the square are diameters of the circle.

دائرة داخلية لمضلع

An equilateral triangle with an inscribed circle. The circle is tangent to all three sides of the triangle. The center of the circle is labeled 'N'.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: إيجاد القطر ونصف القطر ---
أوجد القطر ونصف القطر مقربين إلى أقرب جزء من مئة للدائرة التي محيطها 106.4mm

صيغة محيط الدائرة

C = πd

بالتعويض

106.4 = πd

بقسمة كلا الطرفين على π

106.4 / π = d

باستعمال الحاسبة

33.87 mm ≈ d

وبما أن نصف القطر يساوي نصف القطر، فإن

r = 1/2 d

بالتعويض

r ≈ 1/2 (33.87)

باستعمال الحاسبة

r ≈ 16.94 mm

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
إذا كان محيط دائرة يساوي 77.8 cm، فأوجد قطر الدائرة ونصف قطرها مقربين إلى أقرب جزء من مئة.

يكون المضلع محاطاً بدائرة إذ وقعت رؤوسه جميعها على الدائرة.

وتسمى هذه الدائرة الدائرة الخارجية.

الشكل الرباعي LMNP محاط بـ K دائرة خارجية للمضلع LMNP.

OK دائرة خارجية للمضلع LMNP.

--- SECTION: من اختيار ---
إجابة قصيرة: إذا كانت الدائرة J تحيط بمربع طول ضلعه 9in، فما القيمة الدقيقة لـ محيط J.

--- SECTION: اقرأ سؤال الاختيار ---
احسب قطر الدائرة، واستعمله لحساب محيطها.

--- SECTION: حل سؤال الاختيار ---
ارسم شكلاً توضيحياً فيه: قطر المربع يمثل قطراً للدائرة أيضاً، ويكون وتراً لمثلث قائم الزاوية.

a² + b² = c²

نظرية فيثاغورس

9² + 9² = c²

162 = c²

بالتبسيط

9√2 = c

بأخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين

قطر الدائرة يساوي 9√2 in

أوجد المحيط بدلالة π

محيط الدائرة يساوي 9√2 π in

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
أوجد القيمة الدقيقة لمحيط الدائرة في كل مما يأتي:
A. إذا كانت تحيط بمثلث قائم الزاوية طولا ساقيه 3m, 7m
B. إذا كانت محاطة بمربع طول ضلعه 10ft

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
مستويات الدقة:
بما أن π عدد غير نسبي، فإن لا يمكن كتابته صورة كسر عشري منتـه. ولكن لأغراض الحسابات، يمكن اعتبار قيمته 3، وإذا استعملت القيمة 3.14 أو 22، 7 فستحصل على تقريب أكثر دقة، وللحصول على القيمة الدقيقة استعمل مفتاح π في الحاسبة.

--- SECTION: الدائرة الخارجية والدائرة الداخلية ---
تسمى رؤوس المضلع الدائرة الخارجية. أما الدائرة التي تمس جميع أضلاع المضلع، فتسمى الدائرة الداخلية، حيث تكون الدائرة في الشكل أدناه.

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: دائرة تحيط بمربع
Description: A square with side length 9 inches is inscribed within a circle. The diagonals of the square are shown as dashed lines, intersecting at the center of the circle. The diagonals are also diameters of the circle. Right angle symbols are shown at the vertices of the square, indicating the corners.
Context: Illustrates the relationship between the side of an inscribed square and the diameter of the circle, used for calculating the circle's circumference.

**DIAGRAM**: مثلث قائم الزاوية داخل دائرة
Description: A right-angled triangle is inscribed in a circle. The hypotenuse of the triangle is a diameter of the circle. The right angle vertex of the triangle lies on the circle's circumference. The two legs of the triangle are labeled 'a' and 'b', and the hypotenuse is labeled 'c'.
Context: Demonstrates that the hypotenuse of a right-angled triangle inscribed in a circle is the diameter of the circle, useful for solving problems involving inscribed right triangles.

**DIAGRAM**: مثلث قائم الزاوية
Description: A right-angled triangle with legs labeled 3m and 7m. The hypotenuse is the diameter of the circumscribing circle.
Context: Used to calculate the diameter and then the circumference of a circle circumscribing a right-angled triangle, given the lengths of the triangle's legs.

**DIAGRAM**: مربع محاط بدائرة
Description: A square with side length 10ft is inscribed in a circle. The diagonals of the square are diameters of the circle.
Context: Used to calculate the diameter and then the circumference of a circle circumscribing a square, given the side length of the square.

**DIAGRAM**: دائرة داخلية لمضلع
Description: An equilateral triangle with an inscribed circle. The circle is tangent to all three sides of the triangle. The center of the circle is labeled 'N'.
Context: Illustrates the concept of an inscribed circle (الدائرة الداخلية) within a polygon.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 5: إذا كان محيط دائرة يساوي 77.8 cm، فأوجد قطر الدائرة ونصف قطرها مقربين إلى أقرب جزء من مئة.

الإجابة: س5: القطر d = \frac{77.8}{\pi} \approx 24.76 cm نصف القطر r = \frac{24.76}{2} = 12.38 cm

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - محيط الدائرة (C) = 77.8 cm
**الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد قطر الدائرة، نستخدم قانون محيط الدائرة الذي يربط بين المحيط والقطر: $$C = \pi d$$ حيث C هو المحيط، d هو القطر، و $\pi$ هو ثابت رياضي قيمته التقريبية 3.14159. ولإيجاد نصف القطر (r)، نستخدم العلاقة بين القطر ونصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$
**الخطوة 3 (الحل - إيجاد القطر):** من قانون المحيط، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة لإيجاد القطر: $$d = \frac{C}{\pi}$$ بالتعويض بقيمة المحيط المعطاة: $$d = \frac{77.8}{\pi}$$ باستخدام قيمة تقريبية لـ $\pi$ (مثل 3.14159)، نحسب القيمة: $$d \approx \frac{77.8}{3.14159} \approx 24.764$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح القطر: $$d \approx 24.76 \text{ cm}$$
**الخطوة 4 (الحل - إيجاد نصف القطر):** الآن بعد أن أوجدنا القطر، يمكننا حساب نصف القطر باستخدام العلاقة: $$r = \frac{d}{2}$$ بالتعويض بقيمة القطر التي حسبناها: $$r = \frac{24.76}{2} = 12.38 \text{ cm}$$
**الخطوة 5 (النتيجة):** إذن، القطر = **24.76 cm** ونصف القطر = **12.38 cm**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 5 بطاقة لهذه الصفحة

إذا علمت محيط دائرة، ما الخطوات الرياضية لإيجاد قطرها ثم نصف قطرها؟

أ) 1. إيجاد نصف القطر: نصف القطر = المحيط ÷ π. 2. إيجاد القطر: القطر = نصف القطر × 2.
ب) 1. إيجاد القطر: القطر = المحيط × π. 2. إيجاد نصف القطر: نصف القطر = القطر ÷ 2.
ج) 1. إيجاد القطر: القطر = المحيط ÷ π. 2. إيجاد نصف القطر: نصف القطر = القطر ÷ 2.
د) 1. إيجاد القطر: القطر = المحيط ÷ 2. 2. إيجاد نصف القطر: نصف القطر = القطر ÷ π.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1. إيجاد القطر: القطر = المحيط ÷ π. 2. إيجاد نصف القطر: نصف القطر = القطر ÷ 2.

الشرح: 1. استخدم قانون محيط الدائرة: C = πd. 2. أعد ترتيب القانون لإيجاد القطر (d): d = C / π. 3. بعد إيجاد القطر، استخدم العلاقة بين القطر ونصف القطر (r): r = d / 2.

تلميح: تذكر العلاقة الأساسية بين المحيط والقطر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

ما تعريف الدائرة الخارجية للمضلع؟

أ) هي الدائرة التي تمس جميع أضلاع المضلع من الداخل.
ب) هي الدائرة التي تقع رؤوس المضلع جميعها على محيطها.
ج) هي الدائرة التي مركزها يتطابق مع مركز المضلع.
د) هي الدائرة التي يقع ضلع واحد فقط من أضلاع المضلع على محيطها.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: هي الدائرة التي تقع رؤوس المضلع جميعها على محيطها.

الشرح: الدائرة الخارجية (أو الدائرة المحيطة) هي دائرة تمر بجميع رؤوس المضلع، أي أن كل رأس من رؤوس المضلع يقع على محيط تلك الدائرة.

تلميح: فكر في علاقة رؤوس الشكل بالدائرة المحيطة به.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

إذا كان قطر دائرة يساوي 9√2 إنش، فما القيمة الدقيقة لمحيطها؟

أ) 18 π إنش
ب) 81 π إنش
ج) 9√2 π إنش
د) 18√2 π إنش

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 9√2 π إنش

الشرح: صيغة محيط الدائرة هي C = πd. بالتعويض عن القطر (d = 9√2)، يصبح المحيط: C = π × (9√2) = 9√2 π إنش.

تلميح: تذكر صيغة محيط الدائرة بدلالة القطر.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الفرق الجوهري بين الدائرة الخارجية والدائرة الداخلية للمضلع؟

أ) الدائرة الخارجية أكبر حجماً دائماً من الدائرة الداخلية لنفس المضلع.
ب) الدائرة الخارجية تمر بجميع رؤوس المضلع، بينما الدائرة الداخلية تمس جميع أضلاع المضلع.
ج) الدائرة الداخلية تمر بجميع رؤوس المضلع، بينما الدائرة الخارجية تمس جميع أضلاع المضلع.
د) الدائرة الخارجية والداخلية لهما نفس المركز دائماً لأي مضلع.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: الدائرة الخارجية تمر بجميع رؤوس المضلع، بينما الدائرة الداخلية تمس جميع أضلاع المضلع.

الشرح: 1. الدائرة الخارجية (المحيطة): دائرة تمر بجميع رؤوس المضلع. 2. الدائرة الداخلية (المحاطة): دائرة تقع داخل المضلع وتكون مماسة (تلمس) جميع أضلاعه.

تلميح: فكر في موقع الدائرة بالنسبة لرؤوس وأضلاع المضلع.

التصنيف: فرق بين مفهومين | المستوى: متوسط

ما العلاقة الهندسية التي تربط بين قطر الدائرة المحيطة بمربع وطول ضلع ذلك المربع؟

أ) قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع.
ب) قطر الدائرة يساوي نصف طول ضلع المربع.
ج) قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع مضروباً في √2.
د) قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع مضروباً في 2.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع مضروباً في √2.

الشرح: في المربع المحاط بدائرة، يكون قطر المربع هو أيضاً قطر الدائرة. باستخدام نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الذي وتره قطر المربع: (القطر)² = (الضلع)² + (الضلع)² = 2 × (الضلع)². إذن، القطر = الضلع × √2.

تلميح: تذكر أن قطر المربع هو وتر المثلث القائم المتساوي الساقين الذي يشكله ضلعا المربع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: صعب