المثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 18: بيتزا: أوجد نصف قطر قرص البيتزا ومحيطها في الشكل المجاور، مقربًا الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك.

الإجابة: r = 7 in C = 14π ≈ 43.98 in

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض أن الشكل المجاور يوضح أن قطر قرص البيتزا هو 14 بوصة (in)، لأن الإجابة المعطاة لنصف القطر هي 7 بوصات. إذن: - القطر: d = 14 in
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين نصف القطر والمحيط: - نصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$ - المحيط: $$C = \pi d$$ أو $$C = 2 \pi r$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب نصف القطر: $$r = \frac{14}{2} = 7 \text{ in}$$ ثم نحسب المحيط: $$C = \pi \times 14 = 14\pi \text{ in}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$C \approx 14 \times 3.14159 \approx 43.98226$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، تصبح 43.98.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن نصف القطر = **7 in** والمحيط = **14π ≈ 43.98 in**

سؤال 19: دراجات: قطر إطار دراجة يساوي 26in، أوجد نصف قطر الإطار ومحيطه، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك.

الإجابة: r = 13 in C = 26π ≈ 81.68 in

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا قطر إطار الدراجة: - القطر: d = 26 in
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين نصف القطر والمحيط: - نصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$ - المحيط: $$C = \pi d$$ أو $$C = 2 \pi r$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب نصف القطر: $$r = \frac{26}{2} = 13 \text{ in}$$ ثم نحسب المحيط: $$C = \pi \times 26 = 26\pi \text{ in}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$C \approx 26 \times 3.14159 \approx 81.68134$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، تصبح 81.68.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن نصف القطر = **13 in** والمحيط = **26π ≈ 81.68 in**

سؤال 20: C = 18 in

الإجابة: d ≈ 5.73 in r ≈ 2.86 in

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محيط الدائرة: - المحيط: C = 18 in
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين المحيط والقطر ونصف القطر: - المحيط: $$C = \pi d$$ - نصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نستخدم قانون المحيط لإيجاد القطر: $$18 = \pi d$$ $$d = \frac{18}{\pi}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$d \approx \frac{18}{3.14159} \approx 5.72957$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح القطر 5.73 in. ثانياً، نحسب نصف القطر من القطر: $$r = \frac{d}{2} \approx \frac{5.72957}{2} \approx 2.86478$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح نصف القطر 2.86 in.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القطر = **d ≈ 5.73 in** ونصف القطر = **r ≈ 2.86 in**

سؤال 21: C = 124 ft

الإجابة: d ≈ 39.47 ft r ≈ 19.74 ft

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محيط الدائرة: - المحيط: C = 124 ft
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين المحيط والقطر ونصف القطر: - المحيط: $$C = \pi d$$ - نصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نستخدم قانون المحيط لإيجاد القطر: $$124 = \pi d$$ $$d = \frac{124}{\pi}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$d \approx \frac{124}{3.14159} \approx 39.4690$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح القطر 39.47 ft. ثانياً، نحسب نصف القطر من القطر: $$r = \frac{d}{2} \approx \frac{39.4690}{2} \approx 19.7345$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح نصف القطر 19.74 ft.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القطر = **d ≈ 39.47 ft** ونصف القطر = **r ≈ 19.74 ft**

سؤال 22: C = 375.3 cm

الإجابة: d ≈ 119.46 cm r ≈ 59.73 cm

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محيط الدائرة: - المحيط: C = 375.3 cm
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين المحيط والقطر ونصف القطر: - المحيط: $$C = \pi d$$ - نصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نستخدم قانون المحيط لإيجاد القطر: $$375.3 = \pi d$$ $$d = \frac{375.3}{\pi}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$d \approx \frac{375.3}{3.14159} \approx 119.464$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح القطر 119.46 cm. ثانياً، نحسب نصف القطر من القطر: $$r = \frac{d}{2} \approx \frac{119.464}{2} \approx 59.732$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح نصف القطر 59.73 cm.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القطر = **d ≈ 119.46 cm** ونصف القطر = **r ≈ 59.73 cm**

سؤال 23: C = 2608.25 m

الإجابة: d ≈ 830.23 m r ≈ 415.12 m

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محيط الدائرة: - المحيط: C = 2608.25 m
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين المحيط والقطر ونصف القطر: - المحيط: $$C = \pi d$$ - نصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نستخدم قانون المحيط لإيجاد القطر: $$2608.25 = \pi d$$ $$d = \frac{2608.25}{\pi}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$d \approx \frac{2608.25}{3.14159} \approx 830.230$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح القطر 830.23 m. ثانياً، نحسب نصف القطر من القطر: $$r = \frac{d}{2} \approx \frac{830.230}{2} \approx 415.115$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح نصف القطر 415.12 m.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القطر = **d ≈ 830.23 m** ونصف القطر = **r ≈ 415.12 m**

سؤال 24: شكل مربع بداخله دائرة، قطر الدائرة 5in

الإجابة: C = 5π in

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** السؤال يذكر أن قطر الدائرة هو 5 بوصات، بغض النظر عن وجود المربع، فإن قطر الدائرة هو المعلومة الأساسية: - القطر: d = 5 in
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محيط الدائرة: $$C = \pi d$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة القطر في القانون: $$C = \pi \times 5 = 5\pi \text{ in}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المحيط = **5π in**

سؤال 25: شكل دائرة بداخل مربع، طول ضلع المربع 14yd

الإجابة: C = 14π yd

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** عندما تكون الدائرة بداخل مربع وتلامس أضلاعه (دائرة محاطة بمربع)، فإن قطر الدائرة يكون مساوياً لطول ضلع المربع. - طول ضلع المربع = 14 yd - إذن، قطر الدائرة: d = 14 yd
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محيط الدائرة: $$C = \pi d$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة القطر في القانون: $$C = \pi \times 14 = 14\pi \text{ yd}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المحيط = **14π yd**

سؤال 26: شكل سداسي منتظم بداخل دائرة، طول ضلع السداسي 8cm

الإجابة: C = 16π cm

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** عندما يكون سداسي منتظم مرسومًا داخل دائرة (رؤوسه تقع على محيط الدائرة)، فإن طول ضلع السداسي المنتظم يكون مساويًا لنصف قطر الدائرة. - طول ضلع السداسي = 8 cm - إذن، نصف قطر الدائرة: r = 8 cm
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محيط الدائرة بدلالة نصف القطر: $$C = 2 \pi r$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة نصف القطر في القانون: $$C = 2 \times \pi \times 8 = 16\pi \text{ cm}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المحيط = **16π cm**

سؤال 27a: ما المحيط التقريبي لهذا الفناء؟

الإجابة: C = 10π ≈ 31.42 ft

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنفترض أن الشكل المجاور (الفناء) يوضح أن قطر الدائرة هو 10 أقدام (ft)، بناءً على الإجابة المعطاة. - القطر: d = 10 ft
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محيط الدائرة: $$C = \pi d$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة القطر في القانون: $$C = \pi \times 10 = 10\pi \text{ ft}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$C \approx 10 \times 3.14159 \approx 31.4159$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، تصبح 31.42.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المحيط التقريبي للفناء = **10π ≈ 31.42 ft**

سؤال 27b: إذا غير مصطفى خطة إنشاء هذا الفناء، بحيث يصبح محيط الدائرة الداخلية 25ft تقريبًا، فكم يكون نصف قطر الدائرة مقربًا إلى أقرب قدم؟

الإجابة: r ≈ 4 ft

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محيط الدائرة الداخلية الجديد: - المحيط: C = 25 ft
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون المحيط بدلالة نصف القطر: $$C = 2 \pi r$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة المحيط في القانون لإيجاد نصف القطر: $$25 = 2 \pi r$$ $$r = \frac{25}{2\pi}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب قدم، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$r \approx \frac{25}{2 \times 3.14159} \approx \frac{25}{6.28318} \approx 3.9788$$ بالتقريب لأقرب قدم (عدد صحيح)، يصبح نصف القطر 4 أقدام.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن نصف قطر الدائرة = **r ≈ 4 ft**

سؤال 28: d = 8½ in, r = ?, C = ?

الإجابة: r = 4.25 in C ≈ 26.70 in

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا القطر بقيمة كسرية مختلطة: - القطر: d = 8½ in = 8.5 in
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين نصف القطر والمحيط: - نصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$ - المحيط: $$C = \pi d$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب نصف القطر: $$r = \frac{8.5}{2} = 4.25 \text{ in}$$ ثم نحسب المحيط: $$C = \pi \times 8.5 = 8.5\pi \text{ in}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$C \approx 8.5 \times 3.14159 \approx 26.7032$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، تصبح 26.70.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن نصف القطر = **r = 4.25 in** والمحيط = **C ≈ 26.70 in**

سؤال 29: r = 11⅔ ft, d = ?, C = ?

الإجابة: d ≈ 23.33 ft C ≈ 73.30 ft

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا نصف القطر بقيمة كسرية مختلطة: - نصف القطر: r = 11⅔ ft = 11.666... ft (يمكن كتابتها كـ $\frac{35}{3}$ ft)
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين القطر والمحيط: - القطر: $$d = 2r$$ - المحيط: $$C = 2 \pi r$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب القطر: $$d = 2 \times 11\frac{2}{3} = 2 \times \frac{35}{3} = \frac{70}{3} \approx 23.333... \text{ ft}$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، يصبح القطر 23.33 ft. ثم نحسب المحيط: $$C = 2 \pi \times 11\frac{2}{3} = 2 \pi \times \frac{35}{3} = \frac{70\pi}{3} \text{ ft}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$C \approx \frac{70 \times 3.14159}{3} \approx \frac{219.9113}{3} \approx 73.3037$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، تصبح 73.30.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القطر = **d ≈ 23.33 ft** والمحيط = **C ≈ 73.30 ft**

سؤال 30: C = 35x cm, d = ?, r = ?

الإجابة: d = 35x/π cm r = 35x/2π cm

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المحيط بدلالة المتغير x: - المحيط: C = 35x cm
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين المحيط والقطر ونصف القطر: - المحيط: $$C = \pi d$$ - نصف القطر: $$r = \frac{d}{2}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نستخدم قانون المحيط لإيجاد القطر بدلالة x: $$35x = \pi d$$ $$d = \frac{35x}{\pi} \text{ cm}$$ ثانياً، نحسب نصف القطر من القطر بدلالة x: $$r = \frac{d}{2} = \frac{1}{2} \times \frac{35x}{\pi} = \frac{35x}{2\pi} \text{ cm}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القطر = **d = 35x/π cm** ونصف القطر = **r = 35x/2π cm**

سؤال 31: r = x/8, d = ?, C = ?

الإجابة: d = x/4 C = xπ/4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا نصف القطر بدلالة المتغير x: - نصف القطر: r = x/8
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قوانين القطر والمحيط: - القطر: $$d = 2r$$ - المحيط: $$C = 2 \pi r$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب القطر بدلالة x: $$d = 2 \times \frac{x}{8} = \frac{2x}{8} = \frac{x}{4}$$ ثانياً، نحسب المحيط بدلالة x: $$C = 2 \pi \times \frac{x}{8} = \frac{2\pi x}{8} = \frac{\pi x}{4}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القطر = **d = x/4** والمحيط = **C = xπ/4**

سؤال 32: حدائق: يُراد إنشاء رصيف عرضه 4m حول بركة دائرية الشكل محيطها 68m، فما محيط الرصيف؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

الإجابة: C = 68 + 8π ≈ 93.13 m

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا محيط البركة الدائرية (الدائرة الداخلية) وعرض الرصيف: - محيط البركة (C_داخلي) = 68 m - عرض الرصيف = 4 m
2. **الخطوة 2 (القانون والمفهوم):** محيط الدائرة يعطى بالعلاقة $$C = 2 \pi r$$. إذا كان لدينا رصيف بعرض ثابت حول دائرة، فإن نصف قطر الدائرة الخارجية (الرصيف) سيزيد بمقدار عرض الرصيف عن نصف قطر الدائرة الداخلية (البركة). ليكن $r_1$ نصف قطر البركة، و $r_2$ نصف قطر الرصيف الخارجي. إذن $r_2 = r_1 + \text{عرض الرصيف}$. محيط البركة $C_1 = 2 \pi r_1 = 68$. محيط الرصيف (الخارجي) $C_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi (r_1 + \text{عرض الرصيف})$. يمكننا إعادة كتابة $C_2$ كالتالي: $$C_2 = 2 \pi r_1 + 2 \pi (\text{عرض الرصيف})$$ $$C_2 = C_1 + 2 \pi (\text{عرض الرصيف})$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة في العلاقة التي توصلنا إليها: $$C_2 = 68 + 2 \pi (4)$$ $$C_2 = 68 + 8\pi \text{ m}$$ لتقريب الإجابة إلى أقرب جزء من مئة، نستخدم قيمة تقريبية لـ $\pi \approx 3.14159$: $$C_2 \approx 68 + 8 \times 3.14159 \approx 68 + 25.13272 \approx 93.13272$$ بالتقريب لأقرب جزء من مئة، تصبح 93.13.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن محيط الرصيف = **C = 68 + 8π ≈ 93.13 m**

سؤال 33a: هندسيًا: مستعملاً الفرجار ارسم ثلاث دوائر متحدة المركز، بحيث تكون نسبة طول نصف قطر كل دائرة إلى طول نصف قطر الدائرة الأكبر منها تساوي ½.

الإجابة: انظر الشكل

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لإنشاء ثلاث دوائر متحدة المركز، نبدأ بتحديد نقطة مركز واحدة. ثم نختار نصف قطر للدائرة الأكبر (على سبيل المثال، 4 وحدات). بعد ذلك، نرسم الدائرة الثانية بحيث يكون نصف قطرها نصف نصف قطر الدائرة الأكبر (أي 2 وحدة). وأخيرًا، نرسم الدائرة الثالثة بحيث يكون نصف قطرها نصف نصف قطر الدائرة الثانية (أي 1 وحدة). يجب أن تكون جميع الدوائر مرسومة حول نفس النقطة المركزية.

سؤال 33b: جدوليًا: احسب محيط كل من الدوائر السابقة مقربًا إلى أقرب جزء من مئة، وسجل في جدول نصف القطر والمحيط لكل منها.

الإجابة: نصف القطر (r) | المحيط (C) 1 | 2π ≈ 6.28 2 | 4π ≈ 12.57 4 | 8π ≈ 25.13

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تحديد أنصاف الأقطار):** بناءً على التعليمات في الجزء (أ) والنسبة المعطاة (½)، إذا افترضنا أن نصف قطر الدائرة الصغرى هو 1 وحدة، فإن نصف قطر الدائرة الوسطى سيكون 2 وحدة، ونصف قطر الدائرة الكبرى سيكون 4 وحدات. (لأن نسبة نصف قطر كل دائرة إلى الدائرة الأكبر منها تساوي ½، أي أن نصف قطر الدائرة الأكبر هو ضعف نصف قطر الدائرة الأصغر منها مباشرة). - الدائرة 1 (الصغرى): r = 1 - الدائرة 2 (الوسطى): r = 2 - الدائرة 3 (الكبرى): r = 4
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محيط الدائرة: $$C = 2 \pi r$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب محيط كل دائرة ونقرب لأقرب جزء من مئة (باستخدام $\pi \approx 3.14159$): - **للدائرة 1 (r = 1):** $$C_1 = 2 \pi (1) = 2\pi \approx 2 \times 3.14159 \approx 6.28318 \approx 6.28$$ - **للدائرة 2 (r = 2):** $$C_2 = 2 \pi (2) = 4\pi \approx 4 \times 3.14159 \approx 12.56636 \approx 12.57$$ - **للدائرة 3 (r = 4):** $$C_3 = 2 \pi (4) = 8\pi \approx 8 \times 3.14159 \approx 25.13272 \approx 25.13$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** الجدول التالي يوضح أنصاف الأقطار والمحيطات المقربة: | نصف القطر (r) | المحيط (C) | |---------------|-------------| | 1 | 2π ≈ 6.28 | | 2 | 4π ≈ 12.57 | | 4 | 8π ≈ 25.13 |

سؤال 33c: لفظيًا: فسر لماذا تكون الدوائر الثلاث متشابهة هندسيًا.

الإجابة: جميع الدوائر متشابهة.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** تكون الدوائر الثلاث متشابهة هندسيًا لأن جميع الدوائر، بغض النظر عن حجمها، هي أشكال متشابهة بطبيعتها. التشابه الهندسي يعني أن الأشكال لها نفس الشكل ولكن قد تختلف في الحجم. في حالة الدوائر، كل دائرة هي مجرد تكبير أو تصغير لأي دائرة أخرى. يمكن تحويل أي دائرة إلى أخرى عن طريق التحجيم (الضرب في عامل قياس) والانتقال والدوران، مما يجعلها متشابهة دائمًا.

سؤال 33d: لفظيًا: ضع تخمينًا حول النسبة بين محيطي الدائرتين، عندما تكون النسبة بين نصفي قطريهما تساوي 2.

الإجابة: النسبة بين محيطيهما تساوي 2.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** لنفترض أن لدينا دائرتين، الدائرة الأولى نصف قطرها $r_1$ ومحيطها $C_1 = 2\pi r_1$. والدائرة الثانية نصف قطرها $r_2$ ومحيطها $C_2 = 2\pi r_2$. إذا كانت النسبة بين نصفي قطريهما تساوي 2، فهذا يعني أن $\frac{r_2}{r_1} = 2$، أو $r_2 = 2r_1$. الآن، لننظر إلى النسبة بين محيطيهما: $$\frac{C_2}{C_1} = \frac{2\pi r_2}{2\pi r_1} = \frac{r_2}{r_1}$$ بما أن $\frac{r_2}{r_1} = 2$، فإن $\frac{C_2}{C_1} = 2$. إذن، التخمين هو: **النسبة بين محيطيهما تساوي 2**.

سؤال 33e: تحليليًا: معامل التشابه من A إلى B يساوي b/a . اكتب معادلة تربط محيط A (CA) بمحيط B (CB).

الإجابة: CB = (b/a) CA

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (تعريف المعاملات):** ليكن $r_A$ نصف قطر الدائرة A، و $C_A$ محيطها. ليكن $r_B$ نصف قطر الدائرة B، و $C_B$ محيطها. معامل التشابه من A إلى B هو $k = \frac{b}{a}$. هذا يعني أن نسبة نصفي القطرين هي $k = \frac{r_B}{r_A}$. إذن، $r_B = k \cdot r_A = \frac{b}{a} r_A$.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محيط الدائرة لكل من A و B: $$C_A = 2 \pi r_A$$ $$C_B = 2 \pi r_B$$
3. **الخطوة 3 (الاستنتاج):** نعوض قيمة $r_B$ في معادلة $C_B$: $$C_B = 2 \pi (k \cdot r_A)$$ $$C_B = k \cdot (2 \pi r_A)$$ وبما أن $C_A = 2 \pi r_A$، يمكننا استبدالها في المعادلة: $$C_B = k \cdot C_A$$ أو بالتعويض بقيمة $k = \frac{b}{a}$: $$C_B = \left(\frac{b}{a}\right) C_A$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المعادلة التي تربط محيط A بمحيط B هي: **CB = (b/a) CA**

سؤال 33f: عدديًا: إذا كان معامل التشابه من A إلى B يساوي ⅓، ومحيط A يساوي 12in، فما محيط B؟

الإجابة: CB = 4 in

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا معامل التشابه من A إلى B ومحيط الدائرة A: - معامل التشابه ($k$) = ⅓ - محيط A ($C_A$) = 12 in
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم العلاقة التي توصلنا إليها في الجزء (هـ) والتي تربط المحيطين بمعامل التشابه: $$C_B = k \cdot C_A$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة في القانون: $$C_B = \frac{1}{3} \times 12$$ $$C_B = 4 \text{ in}$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن محيط B = **CB = 4 in**

أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها إذا علم محيطها C = 375.3 cm، مقربًا الإجابة إلى أقرب جزء من مئة.

• أ) القطر ≈ 119.46 cm، نصف القطر ≈ 59.73 cm
• ب) القطر ≈ 187.65 cm، نصف القطر ≈ 93.83 cm
• ج) القطر ≈ 59.73 cm، نصف القطر ≈ 29.87 cm
• د) القطر ≈ 375.30 cm، نصف القطر ≈ 187.65 cm

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: القطر ≈ 119.46 cm، نصف القطر ≈ 59.73 cm

الشرح: ١. من قانون المحيط: C = πd → 375.3 = πd. ٢. إيجاد القطر: d = 375.3/π ≈ 375.3/3.14159 ≈ 119.46 cm. ٣. إيجاد نصف القطر: r = d/2 ≈ 119.46/2 ≈ 59.73 cm.

تلميح: استخدم قانون المحيط C = πd لإيجاد القطر، ثم استخدم العلاقة r = d/2.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

دراجات: قطر إطار دراجة يساوي 26in، أوجد نصف قطر الإطار ومحيطه، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك.

• أ) نصف القطر = 13 in، المحيط ≈ 81.68 in
• ب) نصف القطر = 26 in، المحيط ≈ 163.36 in
• ج) نصف القطر = 6.5 in، المحيط ≈ 40.84 in
• د) نصف القطر = 52 in، المحيط ≈ 163.36 in

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نصف القطر = 13 in، المحيط ≈ 81.68 in

الشرح: ١. نصف القطر = القطر ÷ ٢ = ٢٦ ÷ ٢ = ١٣ in. ٢. المحيط = π × القطر = π × ٢٦ ≈ ٣.١٤١٥٩ × ٢٦ ≈ ٨١.٦٨ in (مقربًا).

تلميح: استخدم العلاقة بين القطر ونصف القطر، وقانون محيط الدائرة.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها إذا علم محيطها C = 18 in، مقربًا الإجابة إلى أقرب جزء من مئة.

• أ) القطر ≈ 5.73 in، نصف القطر ≈ 2.86 in
• ب) القطر ≈ 3.14 in، نصف القطر ≈ 1.57 in
• ج) القطر ≈ 18 in، نصف القطر ≈ 9 in
• د) القطر ≈ 36 in، نصف القطر ≈ 18 in

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: القطر ≈ 5.73 in، نصف القطر ≈ 2.86 in

الشرح: ١. من C = πd، نجد d = C/π = ١٨/π. ٢. d ≈ ١٨ / ٣.١٤١٥٩ ≈ ٥.٧٣ in. ٣. نصف القطر r = d/٢ ≈ ٥.٧٣ / ٢ ≈ ٢.٨٦ in.

تلميح: استخدم قانون المحيط C = πd لإيجاد القطر أولاً، ثم نصف القطر = القطر ÷ ٢.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد القيمة الدقيقة لمحيط دائرة قطرها 5in، إذا كانت الدائرة داخل مربع.

• أ) المحيط = 5π in
• ب) المحيط = 10π in
• ج) المحيط = 25π in
• د) المحيط = 5 in

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: المحيط = 5π in

الشرح: ١. قطر الدائرة معطى = ٥ in. ٢. محيط الدائرة = π × القطر = π × ٥ = ٥π in.

تلميح: محيط الدائرة = π × القطر. وجود المربع لا يغير قطر الدائرة المعطى.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

أوجد القيمة الدقيقة لمحيط دائرة داخل مربع طول ضلعه 14yd.

• أ) المحيط = 14π yd
• ب) المحيط = 7π yd
• ج) المحيط = 28π yd
• د) المحيط = 196π yd

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: المحيط = 14π yd

الشرح: ١. طول ضلع المربع = ١٤ yd، وهو يساوي قطر الدائرة. ٢. محيط الدائرة = π × القطر = π × ١٤ = ١٤π yd.

تلميح: عندما تكون الدائرة داخل مربع وتلامس أضلاعه، فإن قطر الدائرة يساوي طول ضلع المربع.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

إذا كان محيط دائرة C = 35x cm، فأوجد قطرها ونصف قطرها بدلالة x.

• أ) القطر = 35x/π cm، نصف القطر = 35x/(2π) cm
• ب) القطر = 35πx cm، نصف القطر = 17.5πx cm
• ج) القطر = 35x cm، نصف القطر = 17.5x cm
• د) القطر = π/(35x) cm، نصف القطر = π/(70x) cm

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: القطر = 35x/π cm، نصف القطر = 35x/(2π) cm

الشرح: ١. من C = πd، نجد d = C/π = ٣٥x/π cm. ٢. نصف القطر r = d/٢ = (٣٥x/π) / ٢ = ٣٥x/(٢π) cm.

تلميح: استخدم قانون المحيط C = πd لإيجاد d، ثم r = d/2.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

أوجد القيمة الدقيقة لمحيط دائرة محيطة بسداسي منتظم طول ضلعه 8 cm.

• أ) 8π cm
• ب) 16π cm
• ج) 32π cm
• د) 64π cm

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 16π cm

الشرح: ١. في سداسي منتظم داخل دائرة، نصف قطر الدائرة (r) = طول ضلع السداسي = 8 cm. ٢. قانون محيط الدائرة: C = 2πr. ٣. بالتعويض: C = 2π × 8 = 16π cm.

تلميح: في السداسي المنتظم المرسوم داخل دائرة، يكون طول ضلعه مساوياً لنصف قطر الدائرة المحيطة به.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان نصف قطر دائرة r = x/8، فأوجد محيطها بدلالة x.

• أ) xπ/8
• ب) xπ/4
• ج) 2xπ
• د) 4xπ

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: xπ/4

الشرح: ١. قانون محيط الدائرة: C = 2πr. ٢. التعويض بقيمة r: C = 2π × (x/8). ٣. التبسيط: C = (2πx)/8 = (πx)/4.

تلميح: استخدم قانون محيط الدائرة C = 2πr، وعوض بقيمة r المعطاة بدلالة x.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كانت النسبة بين نصفي قطري دائرتين تساوي 2، فما النسبة بين محيطيهما؟

• أ) 1
• ب) 2
• ج) 4
• د) π

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: 2

الشرح: ١. محيط الدائرة: C = 2πr. ٢. النسبة بين المحيطين: C₂/C₁ = (2πr₂)/(2πr₁) = r₂/r₁. ٣. بما أن نسبة نصفي القطرين r₂/r₁ = 2، فإن نسبة المحيطين = 2.

تلميح: محيط الدائرة يتناسب طردياً مع نصف قطرها.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

أوجد قطر الدائرة ونصف قطرها إذا علم محيطها C = 2608.25 m، مقربًا الإجابة إلى أقرب جزء من مئة.

• أ) القطر ≈ 415.12 m، نصف القطر ≈ 207.56 m
• ب) القطر ≈ 1304.13 m، نصف القطر ≈ 652.06 m
• ج) القطر ≈ 830.23 m، نصف القطر ≈ 415.12 m
• د) القطر ≈ 2608.25 m، نصف القطر ≈ 1304.13 m

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: القطر ≈ 830.23 m، نصف القطر ≈ 415.12 m

الشرح: 1. إيجاد القطر: d = C/π = 2608.25/π. 2. بالتقريب: d ≈ 2608.25 / 3.14159 ≈ 830.230 ≈ 830.23 m. 3. إيجاد نصف القطر: r = d/2 ≈ 830.23 / 2 ≈ 415.115 ≈ 415.12 m.

تلميح: استخدم العلاقة: المحيط = π × القطر، ثم نصف القطر = القطر ÷ 2.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان محيط بركة دائرية 68m، وأُريد إنشاء رصيف بعرض 4m حولها، فما محيط الرصيف الخارجي؟ قرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

• أ) محيط الرصيف ≈ 76.00 m
• ب) محيط الرصيف ≈ 100.53 m
• ج) محيط الرصيف ≈ 93.13 m
• د) محيط الرصيف ≈ 81.68 m

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: محيط الرصيف ≈ 93.13 m

الشرح: 1. العلاقة: C_الخارجي = C_الداخلي + 2π × عرض الرصيف. 2. التعويض: C_الخارجي = 68 + 2 × π × 4 = 68 + 8π. 3. بالتقريب: C_الخارجي ≈ 68 + (8 × 3.14159) ≈ 68 + 25.13272 ≈ 93.13272 ≈ 93.13 m.

تلميح: محيط الدائرة الخارجية = محيط الدائرة الداخلية + (2 × π × عرض الرصيف).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

إذا كان نصف قطر دائرة r = 11⅔ ft، فأوجد قطرها ومحيطها مقربًا إلى أقرب جزء من مئة.

• أ) القطر ≈ 23.33 ft، المحيط ≈ 146.61 ft
• ب) القطر ≈ 11.67 ft، المحيط ≈ 73.30 ft
• ج) القطر ≈ 23.33 ft، المحيط ≈ 73.30 ft
• د) القطر ≈ 34.99 ft، المحيط ≈ 109.96 ft

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: القطر ≈ 23.33 ft، المحيط ≈ 73.30 ft

الشرح: 1. نصف القطر = 11⅔ = 35/3 ≈ 11.6667 ft. 2. القطر = 2 × r = 2 × (35/3) = 70/3 ≈ 23.3333 ≈ 23.33 ft. 3. المحيط = 2 × π × r = 2 × π × (35/3) = (70π)/3 ≈ (70 × 3.14159)/3 ≈ 73.3037 ≈ 73.30 ft.

تلميح: حوّل الكسر المختلط إلى كسر عشري، ثم استخدم قوانين القطر والمحيط.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

إذا كان قطر دائرة d = 8½ in، فأوجد نصف قطرها ومحيطها مقربًا إلى أقرب جزء من مئة.

• أ) نصف القطر = 4.25 in، المحيط ≈ 13.35 in
• ب) نصف القطر = 8.50 in، المحيط ≈ 26.70 in
• ج) نصف القطر = 4.25 in، المحيط ≈ 26.70 in
• د) نصف القطر = 17.00 in، المحيط ≈ 53.41 in

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: نصف القطر = 4.25 in، المحيط ≈ 26.70 in

الشرح: 1. القطر = 8½ = 8.5 in. 2. نصف القطر = القطر ÷ 2 = 8.5 ÷ 2 = 4.25 in. 3. المحيط = π × القطر = π × 8.5 ≈ 3.14159 × 8.5 ≈ 26.7032 ≈ 26.70 in.

تلميح: حوّل الكسر المختلط إلى كسر عشري، ثم استخدم القوانين الأساسية.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل