قراءة الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الدائرة ومحيطها (استكمال)

المفاهيم الأساسية

القطر ونصف القطر (كقياس): تستعمل الكلمتان للتعبير عن الطول وعن القطع المستقيمة. قولنا "نصف قطر" أو "قطر" يعني القياس، وليس القطعة المستقيمة.

الدوائر المتحدتان في المركز: هما الدائرتان اللتان تقعان في المستوى نفسه، ولهما المركز نفسه.

الدوائر المتطابقة: تكون الدائرتان متطابقتين إذا وفقط إذا كان نصفا قطريهما متطابقين.

خريطة المفاهيم

```markmap

الدائرة ومحيطها

تعريف الدائرة

• المحل الهندسي لنقاط تبعد بعد ثابت عن المركز
• تسمى باسم مركزها (مثل: الدائرة C أو ⊙C)

القطع المستقيمة الخاصة

نصف القطر

• من المركز إلى الدائرة

الوتر

• من نقطة على الدائرة إلى نقطة أخرى عليها

القطر

• وتر يمر بالمركز
• أطول وتر
• مكون من نصفي قطر

العلاقة بين القطر ونصف القطر

• صيغة نصف القطر: r = \frac{d}{2}
• صيغة القطر: d = 2r

أزواج الدوائر

الدوائر المتحدتان في المركز

• تقعان في المستوى نفسه
• لهما المركز نفسه

الدوائر المتطابقة

• تكون متطابقة إذا وفقط إذا كان نصفا قطريهما متطابقين

تقاطع الدوائر

• لا يوجد تقاطع
• تقاطع في نقطة واحدة (مماس)
• تقاطع في نقطتين

أهداف الدرس

• التعرف على عناصر الدائرة واستعمالها
• حل مسائل تتضمن محيط الدائرة

```

نقاط مهمة

• جميع أنصاف أقطار الدائرة متطابقة، وبالتالي جميع أقطارها متطابقة.
• في المسائل، انتبه جيداً إلى ما إذا كانت المعطيات تتعلق بنصف قطر الدائرة أم بقطرها.
• يمكن أن تتقاطع دائرتان بعدد صفر، أو نقطة واحدة، أو نقطتين من النقاط.

---

حل مثال

مثال 2: إيجاد نصف القطر والقطر

* المعطى: في الشكل المجاور، نصف القطر QV = 8 cm.

* المطلوب: إيجاد قطر الدائرة Q.

* الحل:

* العلاقة بين القطر (d) ونصف القطر (r) هي: d = 2r

* بالتعويض: d = 2 \times 8 = 16

* الإجابة: قطر الدائرة Q يساوي 16 cm.

---

تحقق من فهمك

في الشكل المجاور (دائرة مركزها Q):

* 2A: إذا كان TU = 14 ft (وهو قطر الدائرة)، فأوجد نصف قطر Q.

* الحل: نصف القطر = القطر ÷ 2

* نصف القطر = \frac{14}{2} = 7

* الإجابة: نصف قطر Q يساوي 7 ft.

* 2B: إذا كان QT = 11 m (وهو نصف قطر الدائرة)، فأوجد QU.

* الحل: QU هو أيضاً نصف قطر للدائرة نفسها (مركزها Q).

* جميع أنصاف أقطار الدائرة متطابقة.

* الإجابة: QU = QT = 11 m.

ومن تعريف الدائرة، فإن المسافة بين مركز الدائرة وأي نقطة عليها ثابتة دائماً؛ إذن أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة. وبما أن قطر الدائرة يتكون من نصفي قطرين؛ فإن أقطار الدائرة جميعها متطابقة.

قراءة الرياضيات القطر ونصف القطر: تستعمل الكلمتان (القطر، ونصف القطر) للتعبير عن الطول وعن القطع المستقيمة. وبما أن للدائرة عدة أنصاف أقطار وعدة أقطار أيضاً، فإن قولنا نصف قطر أو قطر يعني القياس، وليس القطعة المستقيمة.

مفهوم أساسي العلاقة بين القطر ونصف القطر إذا كان نصف قطر الدائرة r وقطرها d فإن: صيغة نصف القطر: r = 1/2 d أو r = d/2 صيغة القطر: d = 2r

مثال 2 إيجاد نصف القطر والقطر في الشكل المجاور إذا كان QV = 8 cm، فأوجد قطر Q؟ صيغة القطر d = 2r بالتعويض والتبسيط = 2(8) = 16 القطر في Q يساوي 16 cm.

تنبيه ! القطر أو نصف القطر: في المسائل التي تتضمن الدوائر، انتبه جيداً إلى ما إذا كانت المعطيات تتعلق بنصف قطر الدائرة أم بقطرها.

تحقق من فهمك : في الشكل المجاور

كما هو الحال في الأشكال الأخرى، يمكن أن تكون أزواج الدوائر متطابقة، أو أن تربطهما بعض العلاقات الخاصة.

مفهوم أساسي أزواج الدوائر الدوائر المتحدتان في المركز هما الدائرتان اللتان تقعان في المستوى نفسه، ولهما المركز نفسه. مثال: OA التي نصف قطرها AB و OA التي نصف قطرها AC دائرتان متحدتان في المركز. تكون الدائرتان متطابقتين إذا وفقط إذا كان نصفا قطريهما متطابقين. مثال: GH ≅ JK ؛ إذن OG ≅ OJ

أضف إلى مطويتك

إذا تقاطعت دائرتان، فإنه يمكن أن تتقاطعا بطريقتين مختلفتين، والجدول التالي يوضح الأوضاع المختلفة بين دائرتين.

الدرس 1-8 الدائرة ومحيطها 179

ومن تعريف الدائرة، فإن المسافة بين مركز الدائرة وأي نقطة عليها ثابتة دائماً؛ إذن أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة. وبما أن قطر الدائرة يتكون من نصفي قطرين؛ فإن أقطار الدائرة جميعها متطابقة. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- قراءة الرياضيات القطر ونصف القطر: تستعمل الكلمتان (القطر، ونصف القطر) للتعبير عن الطول وعن القطع المستقيمة. وبما أن للدائرة عدة أنصاف أقطار وعدة أقطار أيضاً، فإن قولنا نصف قطر أو قطر يعني القياس، وليس القطعة المستقيمة. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي العلاقة بين القطر ونصف القطر إذا كان نصف قطر الدائرة r وقطرها d فإن: صيغة نصف القطر: r = 1/2 d أو r = d/2 صيغة القطر: d = 2r --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 إيجاد نصف القطر والقطر في الشكل المجاور إذا كان QV = 8 cm، فأوجد قطر Q؟ صيغة القطر d = 2r بالتعويض والتبسيط = 2(8) = 16 القطر في Q يساوي 16 cm. --- SECTION: تنبيه ! --- تنبيه ! القطر أو نصف القطر: في المسائل التي تتضمن الدوائر، انتبه جيداً إلى ما إذا كانت المعطيات تتعلق بنصف قطر الدائرة أم بقطرها. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك : في الشكل المجاور 2A. إذا كان TU = 14 ft ، فأوجد نصف قطر Q؟ 2B. إذا كان QT = 11 m ، فأوجد QU. كما هو الحال في الأشكال الأخرى، يمكن أن تكون أزواج الدوائر متطابقة، أو أن تربطهما بعض العلاقات الخاصة. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي أزواج الدوائر الدوائر المتحدتان في المركز هما الدائرتان اللتان تقعان في المستوى نفسه، ولهما المركز نفسه. مثال: OA التي نصف قطرها AB و OA التي نصف قطرها AC دائرتان متحدتان في المركز. تكون الدائرتان متطابقتين إذا وفقط إذا كان نصفا قطريهما متطابقين. مثال: GH ≅ JK ؛ إذن OG ≅ OJ --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك إذا تقاطعت دائرتان، فإنه يمكن أن تتقاطعا بطريقتين مختلفتين، والجدول التالي يوضح الأوضاع المختلفة بين دائرتين. الدرس 1-8 الدائرة ومحيطها 179 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Circle for Example 2 and Check Your Understanding Description: A circle with center Q. Points T, U, V are on the circumference. Line segment TQU passes through the center Q, making it a diameter. Line segment QV connects the center Q to point V on the circumference, making it a radius. Line segment QT also connects the center Q to point T on the circumference, making it a radius. Line segment QU connects the center Q to point U on the circumference, making it a radius. Context: Illustrates the concepts of radius and diameter in a circle, used for example calculations and practice problems. **DIAGRAM**: الدوائر المتحدتان في المركز Description: A diagram showing two circles, one inside the other, sharing a common center point labeled A. Point B is on the circumference of the inner circle, and point C is on the circumference of the outer circle. Line segment AB represents the radius of the inner circle, and line segment AC represents the radius of the outer circle. Context: Illustrates the definition of concentric circles, which are circles that share the same center. **DIAGRAM**: تكون الدائرتان متطابقتين Description: A diagram showing two distinct circles. The left circle has center G and a point H on its circumference, forming radius GH. The right circle has center J and a point K on its circumference, forming radius JK. The visual representation implies that these two circles are identical in size, meaning their radii (GH and JK) are equal in length. Context: Illustrates the definition of congruent circles, which are circles that have identical radii. **TABLE**: أوضاع مختلفة بين دائرتين Description: A table illustrating different ways two circles can interact or intersect. It is divided into three columns based on the number of intersection points. Table Structure: Headers: لا يوجد تقاطع | تقاطع في نقطة واحدة | تقاطع في نقطتين Rows: Row 1: Diagram showing two separate circles, one larger than the other, with no common points. | Diagram showing two circles tangent externally, touching at exactly one point. | Diagram showing two circles overlapping, intersecting at two distinct points. Row 2: Diagram showing two concentric circles, one inside the other, with no common points. | Diagram showing a smaller circle tangent internally to a larger circle, touching at exactly one point. | Diagram showing a smaller circle intersecting a larger circle at two distinct points. Data: The table contains visual examples of circle arrangements for each intersection type. Context: Provides visual examples of the possible number of intersection points between two circles, ranging from zero to two.