مفاهيم أساسية - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الأقواس وقياساتها

المفاهيم الأساسية

القوس الأصغر: قوس قياسه أقل من 180°، ويساوي قياس الزاوية المركزية المقابلة له.

القوس الأكبر: قوس قياسه أكثر من 180°، ويساوي 360° مطروحًا منه قياس القوس الأصغر الذي يصل بين النقطتين نفسيهما.

نصف الدائرة: قوس تقع نقطتا طرفيه على قطر الدائرة، وقياسه يساوي 180°.

الأقواس المتطابقة: هي الأقواس التي تقع في الدائرة نفسها، أو في دائرتين متطابقتين، ويكون لها القياس نفسه.

خريطة المفاهيم

```markmap

الأقواس وقياساتها

أنواع الأقواس

القوس الأصغر

• قياسه < 180°
• mAB = m∠ACB

القوس الأكبر

• قياسه > 180°
• mADB = 360° - mAB

نصف الدائرة

• قياسه = 180°
• نقطتا طرفيه على قطر

الأقواس المتطابقة

• في نفس الدائرة أو دائرتين متطابقتين
• لها القياس نفسه
• نظرية 8.1: القوسان متطابقان ⇔ الزاويتان المركزيتان المقابلتان متطابقتان

```

نقاط مهمة

• تسمية القوس: القوس الأصغر يسمى بنقطتي طرفيه فقط (مثل AB). القوس الأكبر ونصف الدائرة يسميان بنقطتي الطرفين + نقطة على القوس بينهما (مثل AEC).
• قياس القوس الأصغر يساوي قياس الزاوية المركزية المقابلة له.
• لحساب قياس القوس الأكبر: اطرح قياس القوس الأصغر من 360°.
• نظرية 8.1 تربط تطابق الأقواس بتطابق الزوايا المركزية المقابلة لها (والعكس).

---

حل مثال

مثال 2: في الدائرة K، حدد ما إذا كان كل من الأقواس الآتية قوسًا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة، ثم أوجد قياسه.

(معطى: ∠GKH = 122°، و GJ قطر)

* (a) GH

* التصنيف: قوس أصغر (قياس الزاوية المركزية 122° < 180°).

* القياس: mGH = m∠GKH = 122°

* (b) GLH

* التصنيف: قوس أكبر (هو مكمل للقوس الأصغر GH).

* القياس: mGLH = 360° - mGH = 360° - 122° = 238°

* (c) GLJ

* التصنيف: نصف دائرة (لأن GJ قطر، والنقطتان G و J تقعان على طرفي القطر).

* القياس: mGLJ = 180°

---

تحقق من فهمك

تمرين: PM قطر في الدائرة R، حدد ما إذا كان كل من الأقواس الآتية قوسًا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة، ثم أوجد قياسه.

(معطى: ∠MRQ = 115°، و PM قطر)

* (2A) MQ

* التصنيف: قوس أصغر (قياس الزاوية المركزية ∠MRQ = 115° < 180°).

* القياس: mMQ = m∠MRQ = 115°

* (2B) MNP

* التصنيف: قوس أكبر (هو القوس الذي لا يحتوي على النقطة Q، ومكمل للقوس الأصغر MQ).

* القياس: mMNP = 360° - mMQ = 360° - 115° = 245°

* (2C) MNQ

* التصنيف: نصف دائرة (لأن PM قطر، والنقطتان M و P تقعان على طرفي القطر، والقوس MNQ يغطي نصف الدائرة).

* القياس: mMNQ = 180°

مفاهيم أساسية

أضف إلى مطويتك

إرشادات للدراسة: تسمية الأقواس: يسمى القوس الأصغر بنقطتي طرفيه، أما القوس الأكبر ونصف الدائرة فيسميان بنقطتي الطرفين بالإضافة إلى نقطة على القوس بينهما.

الأقواس وقياساتها

مثال 2: تصنيف الأقواس وإيجاد قياساتها

في الدائرة K، حدد ما إذا كان كل من الأقواس الآتية قوسًا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة، ثم أوجد قياسه.

GH قوس أصغر، وقياسه: mGH = m∠GKH = 122° GLH هو القوس الأكبر الذي يشترك مع القوس الأصغر GH في نقطتي طرفيه. mGLH = 360° - mGH = 360° - 122° = 238° GLJ هو نصف دائرة، إذن: mGLJ = 180°

تحقق من فهمك

PM قطر في R، حدد ما إذا كان كل من الأقواس الآتية قوسًا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة، ثم أوجد قياسه.

قراءة الرياضيات: الرمز: يقرأ الرمز القوس. في الدائرة أدناه AB يقرأ القوس AB، أما AEC فيقرأ القوس AEC، وكذلك AED فيقرأ القوس AED.

الأقواس المتطابقة

الأقواس المتطابقة هي الأقواس التي تقع في الدائرة نفسها، أو في دائرتين متطابقتين، ويكون لها القياس نفسه.

نظرية 8.1

التعبير اللفظي: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان متطابقين، إذا وفقط إذا كانت الزاويتان المركزيتان المقابلتان لهما متطابقتين. مثال: إذا كانت ∠1 ≅ ∠2، فإن FG ≅ HJ. إذا كان FG ≅ HJ، فإن ∠1 ≅ ∠2.

ستبرهن النظرية 8.1 في السؤال 44

أضف إلى مطويتك

وزارة التعليم 187 الدرس 2-8 قياس الزوايا والأقواس 2025 - 1447

--- SECTION: مفاهيم أساسية --- مفاهيم أساسية --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة: تسمية الأقواس: يسمى القوس الأصغر بنقطتي طرفيه، أما القوس الأكبر ونصف الدائرة فيسميان بنقطتي الطرفين بالإضافة إلى نقطة على القوس بينهما. --- SECTION: الأقواس وقياساتها --- الأقواس وقياساتها --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2: تصنيف الأقواس وإيجاد قياساتها --- SECTION: مثال 2 --- في الدائرة K، حدد ما إذا كان كل من الأقواس الآتية قوسًا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة، ثم أوجد قياسه. a. GH b. GLH c. GLJ GH قوس أصغر، وقياسه: mGH = m∠GKH = 122° GLH هو القوس الأكبر الذي يشترك مع القوس الأصغر GH في نقطتي طرفيه. mGLH = 360° - mGH = 360° - 122° = 238° GLJ هو نصف دائرة، إذن: mGLJ = 180° --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: تحقق من فهمك --- PM قطر في R، حدد ما إذا كان كل من الأقواس الآتية قوسًا أكبر أو أصغر أو نصف دائرة، ثم أوجد قياسه. 2A. MQ 2B. MNP 2C. MNQ --- SECTION: قراءة الرياضيات --- قراءة الرياضيات: الرمز: يقرأ الرمز القوس. في الدائرة أدناه AB يقرأ القوس AB، أما AEC فيقرأ القوس AEC، وكذلك AED فيقرأ القوس AED. --- SECTION: الأقواس المتطابقة --- الأقواس المتطابقة الأقواس المتطابقة هي الأقواس التي تقع في الدائرة نفسها، أو في دائرتين متطابقتين، ويكون لها القياس نفسه. --- SECTION: نظرية 8.1 --- نظرية 8.1 --- SECTION: نظرية 8.1 --- التعبير اللفظي: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان متطابقين، إذا وفقط إذا كانت الزاويتان المركزيتان المقابلتان لهما متطابقتين. مثال: إذا كانت ∠1 ≅ ∠2، فإن FG ≅ HJ. إذا كان FG ≅ HJ، فإن ∠1 ≅ ∠2. ستبرهن النظرية 8.1 في السؤال 44 --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك وزارة التعليم 187 الدرس 2-8 قياس الزوايا والأقواس 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: الأقواس وقياساتها Description: Table defining different types of arcs and how to measure them, with illustrative diagrams. Table Structure: Headers: القوس | قياسه Rows: Row 1: القوس الأصغر | يقل قياس القوس الأصغر عن 180°، ويساوي قياس الزاوية المركزية المقابلة له. mAB = m∠ACB = x° Row 2: القوس الأكبر | يزيد قياس القوس الأكبر على 180°، ويساوي 360° مطروحًا منه قياس القوس الأصغر الذي يصل بين النقطتين نفسيهما. mADB = 360° - mAB = 360° - x° Row 3: نصف الدائرة | هي قوس تقع نقطتا طرفيه على قطر الدائرة. قياس نصف الدائرة يساوي 180° mADB = 180° Context: Provides fundamental definitions and formulas for arc measurement in geometry. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center C, points A and B on the circumference. A central angle ACB is shown, labeled x°. The arc AB is highlighted in red. Key Values: Angle ACB = x°, Arc AB = x° Context: Illustrates the definition and measurement of a minor arc, where the arc measure equals its central angle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center C, points A, B, and D on the circumference. A central angle ACB is shown, labeled x°. The major arc ADB is highlighted in red. Key Values: Angle ACB = x°, Arc ADB = 360° - x° Context: Illustrates the definition and measurement of a major arc, which is 360° minus the measure of its associated minor arc. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center C, points A, B, and D on the circumference. Line segment AB is a diameter. The arc ADB is highlighted in red. Key Values: Arc ADB = 180° Context: Illustrates the definition and measurement of a semicircle, which is always 180°. **DIAGRAM**: الدائرة K Description: A circle with center K. Points G, H, J, L are on the circumference. Line segment GJ is a diameter. The central angle GKH is labeled 122°. Key Values: Angle GKH = 122° Context: Used in Example 2 to classify and find the measures of arcs GH, GLH, and GLJ. **DIAGRAM**: الدائرة R Description: A circle with center R. Points P, M, N, Q are on the circumference. Line segment PM is a diameter. The central angle MRQ is labeled 115°. Key Values: Angle MRQ = 115° Context: Used in 'Check Your Understanding' exercise to classify and find the measures of arcs MQ, MNP, and MNQ. **DIAGRAM**: الدائرة L Description: A circle with center L. Points F, G, H, J, I are on the circumference. Two central angles are shown, labeled ∠1 and ∠2. The arcs FG and HJ are indicated. Context: Illustrates Theorem 8.1 regarding the congruence of central angles and their corresponding arcs. **DIAGRAM**: الدائرة K Description: A circle with center K. Points A, B, C, D, E are on the circumference. Various arcs like AB, AEC, AED are shown. Context: Used in the 'Reading Mathematics' sidebar to demonstrate how to name different arcs using their endpoints and an intermediate point for major arcs. **HIGHLIGHT_BOX**: Untitled Description: No description Context: A prompt for students to add this content to their study materials. **HIGHLIGHT_BOX**: Untitled Description: No description Context: A prompt for students to add this content to their study materials.