طول القوس - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 طول القوس

المفاهيم الأساسية

طول القوس: المسافة على الدائرة بين نقطتي طرفيه، ويُقاس بوحدات الطول (مثل السنتيمتر). وهو جزء من محيط الدائرة.

قياس القوس: يُعطى بالدرجات.

خريطة المفاهيم

```markmap

الأقواس وقياساتها

أنواع الأقواس

القوس الأصغر

• قياسه < 180°
• mAB = m∠ACB

القوس الأكبر

• قياسه > 180°
• mADB = 360° - mAB

نصف الدائرة

• قياسه = 180°
• نقطتا طرفيه على قطر

الأقواس المتطابقة

• في نفس الدائرة أو دائرتين متطابقتين
• لها القياس نفسه
• نظرية 8.1: القوسان متطابقان ⇔ الزاويتان المركزيتان المقابلتان متطابقتان

إيجاد قياس القوس

من القطاعات الدائرية (مخطط دائري)

• النسبة المئوية للقطاع × 360°
• مثال: قطاع نسبته 18% → 0.18 × 360° = 64.8°

باستعمال مسلمة جمع الأقواس

• للأقواس المتجاورة
• mAD = mAE + mED

طول القوس

العلاقة الأساسية

• نسبة طول القوس إلى محيط الدائرة = نسبة قياس القوس إلى 360°
• \\frac{l}{2\\pi r} = \\frac{x°}{360°}

صيغة طول القوس

• l = \\frac{x°}{360°} \\times 2\\pi r
• حيث: l = طول القوس، r = نصف قطر الدائرة، x° = قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس

```

نقاط مهمة

• طول القوس وقياس القوس مفهومان مختلفان: الأول بوحدات الطول، والثاني بالدرجات.
• طول القوس يعتمد على قياس الزاوية المركزية ونصف قطر الدائرة.
• قوسان لهما نفس القياس بالدرجات قد يكون لهما طولان مختلفان إذا كانا في دائرتين مختلفتي نصف القطر.

---

حل مثال (مثال 5 إيجاد طول القوس)

المطلوب: أوجد طول القوس ZY في كل حالة مقربًا إلى أقرب جزء من مئة.

أ)

* المعطيات: نصف القطر \( r = 4 \, \text{in} \) ، قياس الزاوية المركزية \( x° = 75° \)

* الحل:

\[

l = \frac{75°}{360°} \times 2\pi(4) \approx 5.24 \, \text{in}

\]

ب)

* المعطيات: القطر = 10 cm (أي نصف القطر \( r = 5 \, \text{cm} \) )، قياس الزاوية المركزية \( x° = 130° \)

* الحل:

\[

l = \frac{130°}{360°} \times 2\pi(5) \approx 11.34 \, \text{cm}

\]

ج)

* المعطيات: نصف القطر \( r = 6 \, \text{in} \) ، قياس الزاوية المركزية \( x° = 75° \)

* الحل:

\[

l = \frac{75°}{360°} \times 2\pi(6) \approx 7.85 \, \text{in}

\]

* ملاحظة: القوسان في (أ) و (ج) لهما نفس القياس (75°) لكن طولاهما مختلفان بسبب اختلاف نصف القطر.

---

تحقق من فهمك

المطلوب: أوجد طول القوس AB في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة.

5A)

* المعطيات: نصف القطر \( r = 3 \, \text{cm} \) ، قياس الزاوية المركزية \( x° = 45° \)

* الحل:

\[

l = \frac{45°}{360°} \times 2\pi(3) = \frac{1}{8} \times 6\pi \approx 2.36 \, \text{cm}

\]

5B)

* المعطيات: نصف القطر \( r = 14 \, \text{m} \) ، قياس الزاوية المركزية \( x° = 80° \)

* الحل:

\[

l = \frac{80°}{360°} \times 2\pi(14) = \frac{2}{9} \times 28\pi \approx 19.55 \, \text{m}

\]

5C)

* المعطيات: نصف القطر \( r = 8 \, \text{ft} \) ، قياس الزاوية المركزية \( x° = 120° \)

* الحل:

\[

l = \frac{120°}{360°} \times 2\pi(8) = \frac{1}{3} \times 16\pi \approx 16.76 \, \text{ft}

\]

طول القوس: طول القوس هو المسافة على الدائرة بين نقطتي طرفيه، ويُقاس بوحدات الطول، وبما أن القوس جزء من الدائرة، فإن طوله جزء من محيطها.

تنبيه: طول القوس: يُعطى طول القوس بوحدات الطول، مثل السنتمترات، أما قياس القوس فيعطى بالدرجات.

طول القوس التعبير اللفظي: إذا كان طول القوس يساوي l ومحيط الدائرة يساوي 2πr ، وقياس القوس بالدرجات يساوي x° فإن نسبة طول القوس إلى محيط الدائرة يساوي نسبة قياس القوس بالدرجات إلى 360° الرموز: l / 2πr = x° / 360° أي أن: l = x° / 360° • 2πr

أوجد طول ZY في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة:

لاحظ أن ZY له القياس نفسه في المثالين 5a, 5c ، ويساوي 75°، إلا أن لهما طولين مختلفين؛ بسبب وجودهما في دائرتين نصفا قطريهما مختلفان.

تحقق من فهمك

أوجد طول AB في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة:

أوجد طول AB في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة:

أوجد طول AB في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة:

وزارة التعليم 189 الدرس 2-8 قياس الزوايا والأقواس 2025 - 1447

--- SECTION: طول القوس --- طول القوس: طول القوس هو المسافة على الدائرة بين نقطتي طرفيه، ويُقاس بوحدات الطول، وبما أن القوس جزء من الدائرة، فإن طوله جزء من محيطها. --- SECTION: تنبيه --- تنبيه: طول القوس: يُعطى طول القوس بوحدات الطول، مثل السنتمترات، أما قياس القوس فيعطى بالدرجات. --- SECTION: مفهوم أساسي --- طول القوس التعبير اللفظي: إذا كان طول القوس يساوي l ومحيط الدائرة يساوي 2πr ، وقياس القوس بالدرجات يساوي x° فإن نسبة طول القوس إلى محيط الدائرة يساوي نسبة قياس القوس بالدرجات إلى 360° الرموز: l / 2πr = x° / 360° أي أن: l = x° / 360° • 2πr --- SECTION: مثال 5 إيجاد طول القوس --- أوجد طول ZY في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة: a. صيغة طول القوس: l = x° / 360° • 2πr بالتعويض: = 75° / 360° • 2π(4) باستعمال الحاسبة: ≈ 5.24 in b. صيغة طول القوس: l = x° / 360° • 2πr بالتعويض: = 130° / 360° • 2π(5) باستعمال الحاسبة: ≈ 11.34 cm c. صيغة طول القوس: l = x° / 360° • 2πr بالتعويض: = 75° / 360° • 2π(6) باستعمال الحاسبة: ≈ 7.85 in لاحظ أن ZY له القياس نفسه في المثالين 5a, 5c ، ويساوي 75°، إلا أن لهما طولين مختلفين؛ بسبب وجودهما في دائرتين نصفا قطريهما مختلفان. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 5A --- أوجد طول AB في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة: --- SECTION: 5B --- أوجد طول AB في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة: --- SECTION: 5C --- أوجد طول AB في كل مما يأتي مقربًا إلى أقرب جزء من مئة: وزارة التعليم 189 الدرس 2-8 قياس الزوايا والأقواس 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with its center marked. A radius 'r' is drawn from the center to a point on the circumference. Another radius is drawn, forming a central angle 'x°'. The arc subtended by this angle is labeled 'l'. Key Values: radius r, central angle x°, arc length l Context: Illustrates the components of the arc length formula. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center X. A radius is drawn to point Y, and another to point Z. The radius is 4 inches. The central angle ∠YXZ is 75°. The arc ZY is indicated. Key Values: radius = 4 in, central angle = 75° Context: Used to calculate arc length ZY in Example 5a. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center X. A chord is shown, and the diameter is indicated as 10 cm. A central angle of 130° is shown, subtending arc ZY. The solution uses a radius of 5 cm, implying 10 cm is the diameter. Key Values: diameter = 10 cm (radius = 5 cm), central angle = 130° Context: Used to calculate arc length ZY in Example 5b. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center X. A radius is drawn to point Y, and another to point Z. The radius is 6 inches. The central angle ∠YXZ is 75°. The arc ZY is indicated. Key Values: radius = 6 in, central angle = 75° Context: Used to calculate arc length ZY in Example 5c. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center O. A radius is drawn to point A, and another to point B. The radius is 3 cm. The central angle ∠AOB is 45°. The arc AB is indicated. Key Values: radius = 3 cm, central angle = 45° Context: Used to calculate arc length AB for practice problem 5A. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center O. A radius is drawn to point A, and another to point B. The radius is 14 m. The central angle ∠AOB is 80°. The arc AB is indicated. Key Values: radius = 14 m, central angle = 80° Context: Used to calculate arc length AB for practice problem 5B. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center O. A radius is drawn to point A, and another to point B. The radius is 8 ft. The central angle ∠AOB is 120°. The arc AB is indicated. Key Values: radius = 8 ft, central angle = 120° Context: Used to calculate arc length AB for practice problem 5C.