إيجاد قياس القوس من القطاعات الدائرية - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 إيجاد قياس القوس من القطاعات الدائرية

المفاهيم الأساسية

الأقواس المتجاورة: أقواس في الدائرة تشترك مع بعضها في نقطة واحدة فقط. يمكن جمع قياسات الأقواس المتجاورة.

مسلمة جمع الأقواس: قياس القوس المتكون من قوسين متجاورين يساوي مجموع قياسي هذين القوسين.

mXZ = mXY + mYZ

خريطة المفاهيم

```markmap

الأقواس وقياساتها

أنواع الأقواس

القوس الأصغر

• قياسه < 180°
• mAB = m∠ACB

القوس الأكبر

• قياسه > 180°
• mADB = 360° - mAB

نصف الدائرة

• قياسه = 180°
• نقطتا طرفيه على قطر

الأقواس المتطابقة

• في نفس الدائرة أو دائرتين متطابقتين
• لها القياس نفسه
• نظرية 8.1: القوسان متطابقان ⇔ الزاويتان المركزيتان المقابلتان متطابقتان

إيجاد قياس القوس

من القطاعات الدائرية (مخطط دائري)

• النسبة المئوية للقطاع × 360°
• مثال: قطاع نسبته 18% → 0.18 × 360° = 64.8°

باستعمال مسلمة جمع الأقواس

• للأقواس المتجاورة
• mAD = mAE + mED

```

نقاط مهمة

• لتحويل نسبة مئوية في مخطط دائري إلى قياس قوس: اضرب النسبة في 360°.
• إذا تساوت النسب المئوية لقطاعين في المخطط الدائري، فإن قياسي القوسين المقابلين لهما متساويان.
• قياس نصف الدائرة يساوي 180°.

---

حل مثال

مثال 3 (رياضة)

المعطيات: مخطط دائري يوضح توزيع النشاطات الرياضية المدرسية.

* كرة القدم: 20%

* الجري: 18%

* الكرة الطائرة: 18%

* كرة اليد: 16%

* كرة السلة: 14%

* ألعاب أخرى: 14%

المطلوب والحل:

* (a) أوجد mCD: القوس CD يقابل نشاط الكرة الطائرة بنسبة 18%.

* الحل: m∠CSD = 18% من 360° = 0.18 × 360° = 64.8°

* (b) أوجد mBC: القوس BC يقابل نشاط الجري بنسبة 18%.

* الحل: بما أن نسبة الجري تساوي نسبة الكرة الطائرة (18%)، فإن الزاويتين المركزيتين متطابقتان، وبالتالي الأقواس المقابلة متطابقة.

* mBC = mCD = 64.8°

مثال 4 (إيجاد قياس القوس باستعمال مسلمة جمع الأقواس)

المعطيات: دائرة مركزها F، m∠AFE = 63°، m∠DFE = 90° (زاوية قائمة).

المطلوب والحل:

* (a) أوجد mAD:

* mAD = mAE + mED

* mAE = m∠AFE = 63°

* mED = m∠EFD = 90°

* mAD = 63° + 90° = 153°

* (b) أوجد mADB:

* mADB = mAE + mEDB

* mAE = 63°

* EDB نصف دائرة، لذا mEDB = 180°

* mADB = 63° + 180° = 243°

---

تحقق من فهمك

بعد مثال 3 (باستخدام المخطط الدائري نفسه)

* 3A) أوجد mEF: القوس EF يقابل نشاط كرة السلة بنسبة 14%.

* الحل: mEF = 14% من 360° = 0.14 × 360° = 50.4°

* 3B) أوجد mFA: القوس FA يقابل نشاط "ألعاب أخرى" بنسبة 14%.

* الحل: mFA = 14% من 360° = 0.14 × 360° = 50.4°

بعد مثال 4 (باستخدام الدائرة F نفسها)

* 4A) أوجد mCE:

* mCE = mCD + mDE. نحتاج إلى قياسات أخرى غير معطاة مباشرة في الصفحة للحساب. (يحتاج الطالب إلى استنتاج معلومات إضافية من الرسم أو السياق).

* 4B) أوجد mABD:

* ABD هو قوس أكبر. يمكن حسابه بجمع الأقواس المتجاورة أو باستخدام: mABD = 360° - mAD.

* mAD = 153° (حسبناها في المثال).

* mABD = 360° - 153° = 207°

إيجاد قياس القوس من القطاعات الدائرية

مثال 3 من واقع الحياة

رياضة: استعمل التمثيل بالقطاعات الدائرية المجاور، لإيجاد كل من القياسات الآتية:

تحقق من فهمك

mEF

mFA

عرفت لعبة كرة الطائرة لأول مرة في الولايات المتحدة الأمريكية، ثم انتقلت إلى كندا عام 1900م، لتصبح بعد ذلك من أكثر الرياضات شعبية في العالم.

الأقواس المتجاورة هي أقواس في الدائرة تشترك مع بعضها في نقطة واحدة فقط. JK, HJ قوسان متجاوران في M، وكما هي الحال في الزوايا المتجاورة، يمكنك جمع قياس الأقواس المتجاورة.

مسلمة 8.1

التعبير اللفظي: قياس القوس المتكون من قوسين متجاورين يساوي مجموع قياسي هذين القوسين. مثال: mXZ = mXY + mYZ

مثال 4 إيجاد قياس القوس باستعمال مسلمة جمع الأقواس

أوجد كلاً من القياسات الآتية في F:

تحقق من فهمك

mCE

mABD

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

188 الفصل 8 الدائرة

--- SECTION: إيجاد قياس القوس من القطاعات الدائرية --- إيجاد قياس القوس من القطاعات الدائرية --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة --- مثال 3 من واقع الحياة --- SECTION: رياضة --- رياضة: استعمل التمثيل بالقطاعات الدائرية المجاور، لإيجاد كل من القياسات الآتية: a. mCD b. mBC --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3A --- mEF --- SECTION: 3B --- mFA --- SECTION: الربط مع الحياة --- عرفت لعبة كرة الطائرة لأول مرة في الولايات المتحدة الأمريكية، ثم انتقلت إلى كندا عام 1900م، لتصبح بعد ذلك من أكثر الرياضات شعبية في العالم. --- SECTION: الأقواس المتجاورة --- الأقواس المتجاورة هي أقواس في الدائرة تشترك مع بعضها في نقطة واحدة فقط. JK, HJ قوسان متجاوران في M، وكما هي الحال في الزوايا المتجاورة، يمكنك جمع قياس الأقواس المتجاورة. --- SECTION: مسلمة 8.1 --- مسلمة 8.1 --- SECTION: مسلمة جمع الأقواس --- التعبير اللفظي: قياس القوس المتكون من قوسين متجاورين يساوي مجموع قياسي هذين القوسين. مثال: mXZ = mXY + mYZ --- SECTION: مثال 4 إيجاد قياس القوس باستعمال مسلمة جمع الأقواس --- مثال 4 إيجاد قياس القوس باستعمال مسلمة جمع الأقواس --- SECTION: أوجد كلاً من القياسات الآتية في F: --- أوجد كلاً من القياسات الآتية في F: a. mAD b. mADB --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4A --- mCE --- SECTION: 4B --- mABD وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 188 الفصل 8 الدائرة --- VISUAL CONTEXT --- **PIE_CHART**: النشاطات الرياضية المدرسية Description: A pie chart illustrating the distribution of school sports activities by percentage. The center of the circle is labeled 'S'. The sectors are labeled A, B, C, D, E, F in counter-clockwise order starting from the top-right. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: The pie chart shows the following percentages for different sports activities: 'كرة القدم' (Football) 20% (sector AB), 'الجري' (Running) 18% (sector BC), 'الكرة الطائرة' (Volleyball) 18% (sector CD), 'كرة اليد' (Handball) 16% (sector DE), 'كرة السلة' (Basketball) 14% (sector EF), and 'ألعاب أخرى' (Other Sports) 14% (sector FA). The sum of percentages is 20+18+18+16+14+14 = 100%. Key Values: كرة القدم: 20%, الجري: 18%, الكرة الطائرة: 18%, كرة اليد: 16%, كرة السلة: 14%, ألعاب أخرى: 14% Context: This pie chart is used in Example 3 to demonstrate how to calculate the measure of an arc based on the percentage of a circular sector. For instance, an 18% sector corresponds to an arc measure of 0.18 * 360° = 64.8°. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center M. Points H, J, and K are marked on the circumference. Arc HJ and arc JK are shown as adjacent arcs, sharing point J. A red line segment connects M to J, and another connects M to H, and M to K, forming central angles for the arcs. X-axis: N/A Y-axis: N/A Context: This diagram illustrates the definition of 'الأقواس المتجاورة' (Adjacent Arcs), showing two arcs (HJ and JK) that share a single endpoint (J) within a circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with points X, Y, Z, and W marked on its circumference. The points are arranged in a clockwise manner. This diagram is used to illustrate the Arc Addition Postulate. X-axis: N/A Y-axis: N/A Context: This diagram is used to visually represent the 'مسلمة جمع الأقواس' (Arc Addition Postulate), where the measure of arc XZ is equal to the sum of the measures of adjacent arcs XY and YZ (mXZ = mXY + mYZ). **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center F. Points A, B, C, D, E are marked on the circumference in a clockwise order. Line segments FA, FB, FC, FD, FE are drawn from the center to the circumference. Angle AFE is explicitly labeled as 63°. A right angle symbol is shown at angle DFE, indicating it is 90°. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: The diagram provides specific angle measures within the circle: m∠AFE = 63° and m∠DFE = 90°. These central angles correspond to the measures of their intercepted arcs, so mAE = 63° and mDE = 90°. The points A, B, C, D, E are arranged such that arcs AE, ED, DC, CB, BA are formed. Key Values: m∠AFE = 63°, m∠DFE = 90° Context: This diagram is used in Example 4 and its associated 'تحقق من فهمك' exercises to apply the Arc Addition Postulate and the relationship between central angles and arc measures to find the measures of various arcs within the circle.