لماذا؟ - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الأقواس والأوتار

المفاهيم الأساسية

الوتر: قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة. إذا لم يكن الوتر قطراً، فإن طرفيه يقسمان الدائرة إلى قوسين: قوس أكبر وقوس أصغر.

خريطة المفاهيم

```markmap

العلاقات بين الأقواس والأوتار

نظرية 8.2

التعبير اللفظي

• في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين:

- القوسان متطابقان ⇔ الوتران المناظران لهما متطابقان

مثال توضيحي

• إذا كان FG ≅ HJ فإن القوس FG ≅ القوس HJ

برهان النظرية (الجزء 1)

المعطيات

• QR ≅ ST (أقواس)

المطلوب

• إثبات أن الوتر QR ≅ الوتر ST

خطوات البرهان

تطابق الأقواس ⇒ تطابق الزوايا المركزية

أنصاف أقطار الدائرة متطابقة

تطابق المثلثين (SAS)

تطابق الأوتار (عناصر متناظرة)

```

نقاط مهمة

• الهدف من الدرس: تمييز العلاقات بين الأقواس والأوتار، والعلاقات بين الأقواس والأقطار والأوتار، واستعمالها.
• تطبيق من واقع الحياة: يستعمل الخياطون إطاراً دائرياً لشد الأقمشة والتطريز، حيث تمثل رؤوس النجمة نهايات أقواس أو أوتار.
• إذا تطابقت الأوتار في دائرة أو دائرتين متطابقتين، فإن الأقواس المقابلة لها متطابقة، والعكس صحيح.

---

حل مثال

مثال 1 من واقع الحياة (حرف يدوية):

• المعطيات: في الشكل، AB ≅ CD وقياس الزاوية ABC = 60°.
• المطلوب: إيجاد قياس القوس AB (mAB).
• الحل:

- بما أن الوتر AB ≅ الوتر CD، فإن القوس AB ≅ القوس CD (حسب نظرية 8.2).

- وبالتالي فإن قياسيهما متساويان: mAB = mCD.

- من المعطى، الزاوية ABC هي زاوية محيطية تقابل القوس AC (غير مطلوبة مباشرة). المثال يوضح أن القوسين متطابقان، وبما أن القوس المقابل للوتر المتطابق متطابق، فإن mAB = 60° (وفقاً للمثال النصي).

---

تحقق من فهمك

السؤال 1:

• المعطيات: في الشكل أعلاه، mAB = 78°.
• المطلوب: أوجد mCD.
• الحل:

- من الشكل والشرح السابق، الوتر AB ≅ الوتر CD.

- حسب نظرية 8.2: إذا تطابق وتران، فإن القوسين المقابلين لهما متطابقان.

- بالتالي، mAB = mCD.

- الإجابة: mCD = 78°.

8-3

الأقواس والأوتار Arches and Chords

يستعمل الخياطون إطارًا دائريًا لشد الأقمشة، ثم تطريز الزخارف عليها. ويظهر الشكل المجاور إطارًا دائريًا، مثبتاً عليه كل رأس نجمة، ويمثل كل رأس نهايتي قوس في الدائرة، أو نهايتي وتر يكون أحد أضلاع شكل سداسي رؤوسه على الدائرة.

درست استعمال العلاقات بين الأقواس والزوايا لإيجاد قياسات مختلفة. (الدرس 8-2)

أميز العلاقات بين الأقواس والأوتار وأستعملها. أميز العلاقات بين الأقواس والأقطار والأوتار وأستعملها.

8- أن الوتر هو قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة، وإذا لم يكن الوتر قطراً للدائرة، فإن طرفيه يسمان إلى قوسين؛ أحدهما قوس أكبر والآخر أصغر.

التعبير اللفظي: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان الأصفران متطابقين، إذا وفقط إذا كان الوتران المناظران لهما متطابقين. مثال: إذا كان FG ≅ HJ فإن FG ≅ HJ.

ستبرهن الجزء 2 من النظرية 8.2 في السؤال 20

نظرية 8.2 (الجزء 1 : دائرة واحدة)

المعطيات: QR ≅ ST في P المطلوب: QR ≅ ST

العبارات 1) QR ≅ ST في P 2) ∠QPR ≅ ∠SPT 3) QP ≅ PR ≅ SP ≅ PT 4) ΔPQR ≅ ΔPST 5) QR ≅ ST

المبررات 1) معطيات 2) إذا تطابقت الأقواس، فإن الزوايا المركزية المقابلة لها تكون متطابقة. 3) أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة. 4) SAS 5) العناصر المتناظرة في مثلثين متطابقين متطابقة.

أضف إلى مطبوعتك

في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان متطابقين، إذا وفقط إذا كان الوتران المناظران لهما متطابقين.

استعمال الأوتار المتطابقة لإيجاد قياس القوس

حرف يدوية : إذا كان AB ≅ CD ، في الشكل المجاور فإن m∠ABC = 60° ، وإذا كان القوسان المتقابلان لهما AB ، CD متطابقان فإن mAB = mCD أي أن: mAB = 60°

1) إذا كان 78° = mAB في الشكل أعلاه، فأوجد m∠CD

Ministry of Education 2025 - 1447

194

8-3 الأقواس والأوتار Arches and Chords --- SECTION: لماذا؟ --- يستعمل الخياطون إطارًا دائريًا لشد الأقمشة، ثم تطريز الزخارف عليها. ويظهر الشكل المجاور إطارًا دائريًا، مثبتاً عليه كل رأس نجمة، ويمثل كل رأس نهايتي قوس في الدائرة، أو نهايتي وتر يكون أحد أضلاع شكل سداسي رؤوسه على الدائرة. --- SECTION: فيما سبق: --- درست استعمال العلاقات بين الأقواس والزوايا لإيجاد قياسات مختلفة. (الدرس 8-2) --- SECTION: والآن: --- أميز العلاقات بين الأقواس والأوتار وأستعملها. أميز العلاقات بين الأقواس والأقطار والأوتار وأستعملها. 8- أن الوتر هو قطعة مستقيمة يقع طرفاها على الدائرة، وإذا لم يكن الوتر قطراً للدائرة، فإن طرفيه يسمان إلى قوسين؛ أحدهما قوس أكبر والآخر أصغر. --- SECTION: نظرية 8.2 --- التعبير اللفظي: في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان الأصفران متطابقين، إذا وفقط إذا كان الوتران المناظران لهما متطابقين. مثال: إذا كان FG ≅ HJ فإن FG ≅ HJ. ستبرهن الجزء 2 من النظرية 8.2 في السؤال 20 --- SECTION: برهان --- نظرية 8.2 (الجزء 1 : دائرة واحدة) المعطيات: QR ≅ ST في P المطلوب: QR ≅ ST العبارات 1) QR ≅ ST في P 2) ∠QPR ≅ ∠SPT 3) QP ≅ PR ≅ SP ≅ PT 4) ΔPQR ≅ ΔPST 5) QR ≅ ST المبررات 1) معطيات 2) إذا تطابقت الأقواس، فإن الزوايا المركزية المقابلة لها تكون متطابقة. 3) أنصاف أقطار الدائرة جميعها متطابقة. 4) SAS 5) العناصر المتناظرة في مثلثين متطابقين متطابقة. أضف إلى مطبوعتك في دائرتين متطابقتين، يكون القوسان متطابقين، إذا وفقط إذا كان الوتران المناظران لهما متطابقين. استعمال الأوتار المتطابقة لإيجاد قياس القوس --- SECTION: مثال 1 من واقع الحياة --- حرف يدوية : إذا كان AB ≅ CD ، في الشكل المجاور فإن m∠ABC = 60° ، وإذا كان القوسان المتقابلان لهما AB ، CD متطابقان فإن mAB = mCD أي أن: mAB = 60° --- SECTION: تحقق من فهمك --- 1) إذا كان 78° = mAB في الشكل أعلاه، فأوجد m∠CD --- SECTION: وزارة التعليم --- Ministry of Education 2025 - 1447 --- SECTION: الفصل 8 الدائرة --- 194 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: No description Data: Diagram illustrates a circle with chords and arcs, used to explain the relationship between congruent chords and congruent arcs. Key Values: m∠ABC = 60° (from example text), AB ≅ CD (from example text), mAB = mCD (from example text) Context: Illustrates the theorem that congruent chords subtend congruent arcs in the same or congruent circles.