استعمال الأقواس المتطابقة لإيجاد أطوال الأوتار - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: استعمال الأقواس المتطابقة لإيجاد أطوال الأوتار

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 تنصيف الأقواس والأوتار

المفاهيم الأساسية

تنصيف القوس: إذا قسم مستقيم (قطعة مستقيمة، نصف مستقيم) قوسًا إلى قوسين متطابقين؛ فإنه ينصف القوس.

نظرية 8.3: إذا كان قطر (أو نصف قطر) الدائرة عموديًا على وتر فيها، فإنه:

  • ينصف ذلك الوتر.
  • ينصف قوسه.

    • نظرية 8.4: العمود المنصف لوتر في الدائرة هو قطر (أو نصف قطر) لها.

    خريطة المفاهيم

    ```markmap

    العلاقات بين الأقواس والأوتار

    نظرية 8.2

    التعبير اللفظي

    • في الدائرة نفسها أو في دائرتين متطابقتين:

    - القوسان متطابقان ⇔ الوتران المناظران لهما متطابقان

    مثال توضيحي

    • إذا كان FG ≅ HJ فإن القوس FG ≅ القوس HJ

    برهان النظرية (الجزء 1)

    المعطيات

    • QR ≅ ST (أقواس)

    المطلوب

    • إثبات أن الوتر QR ≅ الوتر ST

    خطوات البرهان

  • تطابق الأقواس ⇒ تطابق الزوايا المركزية
  • أنصاف أقطار الدائرة متطابقة
  • تطابق المثلثين (SAS)
  • تطابق الأوتار (عناصر متناظرة)

    • تنصيف الأقواس والأوتار

    المبدأ الأساسي

    • إذا قسم مستقيم قوسًا إلى قوسين متطابقين ⇒ ينصف القوس

    نظرية 8.3

    • إذا كان قطر/نصف قطر ⊥ وتر ⇒ ينصف الوتر و ينصف قوسه

    نظرية 8.4

    • إذا كان مستقيم ⊥ منصف لوتر ⇒ هذا المستقيم هو قطر/نصف قطر

    تطبيقات

    • إيجاد أطوال الأوتار (مثال 2)
    • إيجاد قياسات الأقواس (مثال 3)

    ```

    نقاط مهمة

    • تطابق الأقواس في دوائر متطابقة يؤدي إلى تطابق الأوتار المناظرة، والعكس صحيح.
    • نصف القطر العمودي على الوتر يحلله إلى جزأين متطابقين (ينصفه).
    • يمكن استخدام هذه النظريات لحل مسائل جبرية لإيجاد أطوال أو قياسات مجهولة.

    ---

    حل مثال

    مثال 2: جبر

    المعطيات: في دائرتين متطابقتين: القوس JK ≅ القوس OI ، القوس MN ≅ القوس PQ.

    المطلوب: إيجاد PQ.

    الحل:

  • بما أن القوسين MN و PQ متطابقان في دائرتين متطابقتين، فإن الوترين MN و PQ متطابقان. ∴ MN = PQ.
  • من الرسم: MN = 2x + 1 ، PQ = 3x - 7.
  • بالتالي: 2x + 1 = 3x - 7
  • بتبسيط المعادلة: 2x + 1 - 2x = 3x - 7 - 2x ⇒ 1 = x - 7 ⇒ x = 8
  • إيجاد PQ: PQ = 3*(8) - 7 = 24 - 7 = 17

    • مثال 3:

    المعطيات: في الدائرة S، نصف القطر SQ ⊥ الوتر PR ، قياس القوس PR = 98°.

    المطلوب: إيجاد قياس القوس PQ (m∠PQ).

    الحل:

  • حسب نظرية 8.3: نصف القطر SQ العمودي على الوتر PR ينصف القوس PR.
  • بالتالي: القوس PQ ≅ القوس QR ، و m∠PQ = m∠PR / 2
  • m∠PQ = 98° / 2 = 49°

    • ---

    تحقق من فهمك

    السؤال 2:

    المعطيات: في الدائرة W، القوس TV ≅ القوس RS.

    المطلوب: إيجاد RS.

    الحل (منطقي خطوة بخطوة):

  • القوسان TV و RS متطابقان في الدائرة نفسها (W).
  • حسب نظرية 8.2 (أو المبدأ السابق)، الأوتار المناظرة لأقواس متطابقة تكون متطابقة. ∴ TV = RS.
  • من الرسم: TV = 2x + 3 ، RS = 5x - 9.
  • إذن: 2x + 3 = 5x - 9
  • بتبسيط المعادلة: 2x + 3 - 2x = 5x - 9 - 2x ⇒ 3 = 3x - 9 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
  • إيجاد RS: RS = 5*(4) - 9 = 20 - 9 = 11

    • السؤال 3:

    المعطيات: في الدائرة S، نصف القطر SQ ⊥ الوتر PR عند T، ST = 6 ، SP = 7 (نصف القطر).

    المطلوب: إيجاد PR.

    الحل (منطقي خطوة بخطوة):

  • حسب نظرية 8.3: SQ ⊥ PR ⇒ ينصف الوتر PR عند T. ∴ PT = TR ، و PR = 2 * PT.
  • المثلث STP قائم في T (لأن SQ ⊥ PR).
  • باستخدام نظرية فيثاغورس في ∆STP:

    • * SP² = ST² + PT²

    * (7)² = (6)² + PT²

    * 49 = 36 + PT²

    * PT² = 49 - 36 = 13

    * PT = √13

  • إيجاد PR: PR = 2 PT = 2 √13 = 2√13

    • 📋 المحتوى المنظم

    📖 محتوى تعليمي مفصّل

    استعمال الأقواس المتطابقة لإيجاد أطوال الأوتار

    نوع: محتوى تعليمي

    استعمال الأقواس المتطابقة لإيجاد أطوال الأوتار

    مثال 2

    نوع: محتوى تعليمي

    جبر: إذا كان: JK ≅ OI ، MN ≅ PQ ، فأوجد PQ. PQ ، MN قوسان متطابقان في دائرتين متطابقتين؛ لذا فإن الوترين PQ ، MN متطابقان. تعريف القطع المتطابقة MN = PQ بالتعويض 2x + 1 = 3x - 7 بالتبسيط 8 = x إذن: 17 = 7 - (8)3 = PQ

    تحقق من فهمك

    نوع: محتوى تعليمي

    تحقق من فهمك

    2

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    2) في W ، إذا كان TV ≅ RS ، فأوجد RS.

    تنصيف الأقواس والأوتار

    نوع: محتوى تعليمي

    تنصيف الأقواس والأوتار: إذا قسم مستقيم أو قطعة مستقيمة أو نصف مستقيم قوسًا إلى قوسين متطابقين؛ فإنه ينصف القوس.

    نظريات

    نوع: محتوى تعليمي

    نظريات

    8.3

    نوع: محتوى تعليمي

    8.3 إذا كان قطر (أو نصف قطر) الدائرة عموديًا على وتر فيها، فإنه ينصف ذلك الوتر، وينصف قوسه. مثال: إذا كان القطر AB عموديًا على XY في النقطة Z ، فإن: XZ ≅ ZY ، XB ≅ BY .

    8.4

    نوع: محتوى تعليمي

    8.4 العمود المنصف لوتر في الدائرة هو قطر (أو نصف قطر) لها. مثال: إذا كان AB عموديًا منصفًا للوتر XY ، فإن AB قطر في C .

    إرشادات للدراسة

    نوع: محتوى تعليمي

    إرشادات للدراسة منصف القوس: في الشكل الآتي FH منصف للقوس JHG.

    أضف إلى مطويتك

    نوع: محتوى تعليمي

    أضف إلى مطويتك

    نوع: محتوى تعليمي

    ستبرهن النظريتين 8.4 , 8.3 في السؤالين 23 , 21 على الترتيب

    استعمال نصف القطر العمودي على الوتر

    نوع: محتوى تعليمي

    استعمال نصف القطر العمودي على الوتر

    مثال 3

    نوع: محتوى تعليمي

    في S ، إذا كان mPR = 98° ، فأوجد mPQ . نصف القطر SQ يعامد الوتر PR ؛ لذا وبحسب النظرية 8.3 فإن SQ ينصف PR ؛ إذن mQR = mPQ . mPQ = mPR / 2 = 98° / 2 = 49°

    تحقق من فهمك

    نوع: محتوى تعليمي

    تحقق من فهمك

    3

    نوع: QUESTION_HOMEWORK

    3) أوجد PR في S .

    نوع: METADATA

    وزارة التعليم الدرس 3-8 الأقواس والأوتار 195

    🔍 عناصر مرئية

    A circle with center J. A chord MN is drawn within the circle. The length of chord MN is labeled as '2x + 1'. Arc MN is marked with a single tick mark, indicating its congruence.

    A circle with center K. A chord PQ is drawn within the circle. The length of chord PQ is labeled as '3x - 7'. Arc PQ is marked with a single tick mark, indicating its congruence with Arc MN in Circle J.

    A circle with center W. Two chords, RS and TV, are drawn within the circle. Chord RS is labeled with length '5x - 9'. Chord TV is labeled with length '2x + 3'. Both Arc RS and Arc TV are marked with double tick marks, indicating they are congruent.

    A circle with center C. A horizontal diameter AB is drawn. A vertical chord XY is drawn, intersecting the diameter AB at point Z. A right angle symbol is shown at the intersection point Z, indicating that AB is perpendicular to XY. Tick marks on segments XZ and ZY indicate that XZ = ZY. Tick marks on arcs XB and BY indicate that arc XB = arc BY.

    A circle with center C. A horizontal segment AB is drawn, passing through the center C. A vertical chord XY is drawn, intersected by AB at its midpoint. A right angle symbol is shown at the intersection, indicating AB is perpendicular to XY. Tick marks on segments XZ and ZY indicate that XZ = ZY.

    A circle with center F. Points J, H, G are on the circumference. A segment FH is drawn from the center F to point H on the circumference. Arc JH and Arc HG are marked with single tick marks, indicating they are congruent. This illustrates FH as an arc bisector.

    A circle with center S. A chord PR is drawn. A radius SQ is drawn, intersecting chord PR at point T. A right angle symbol is shown at T, indicating that SQ is perpendicular to PR. Tick marks on segments PT and TR indicate that PT = TR.

    A circle with center S. A chord PR is drawn. A radius SQ is drawn, intersecting chord PR at point T. A right angle symbol is shown at T, indicating that SQ is perpendicular to PR. The length of segment ST is labeled as '6'. The length of the radius SP (from center S to point P on the circumference) is labeled as '7'.

    📄 النص الكامل للصفحة

    --- SECTION: استعمال الأقواس المتطابقة لإيجاد أطوال الأوتار --- استعمال الأقواس المتطابقة لإيجاد أطوال الأوتار --- SECTION: مثال 2 --- جبر: إذا كان: JK ≅ OI ، MN ≅ PQ ، فأوجد PQ. PQ ، MN قوسان متطابقان في دائرتين متطابقتين؛ لذا فإن الوترين PQ ، MN متطابقان. تعريف القطع المتطابقة MN = PQ بالتعويض 2x + 1 = 3x - 7 بالتبسيط 8 = x إذن: 17 = 7 - (8)3 = PQ --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- 2) في W ، إذا كان TV ≅ RS ، فأوجد RS. --- SECTION: تنصيف الأقواس والأوتار --- تنصيف الأقواس والأوتار: إذا قسم مستقيم أو قطعة مستقيمة أو نصف مستقيم قوسًا إلى قوسين متطابقين؛ فإنه ينصف القوس. --- SECTION: نظريات --- نظريات --- SECTION: 8.3 --- 8.3 إذا كان قطر (أو نصف قطر) الدائرة عموديًا على وتر فيها، فإنه ينصف ذلك الوتر، وينصف قوسه. مثال: إذا كان القطر AB عموديًا على XY في النقطة Z ، فإن: XZ ≅ ZY ، XB ≅ BY . --- SECTION: 8.4 --- 8.4 العمود المنصف لوتر في الدائرة هو قطر (أو نصف قطر) لها. مثال: إذا كان AB عموديًا منصفًا للوتر XY ، فإن AB قطر في C . --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة منصف القوس: في الشكل الآتي FH منصف للقوس JHG. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك ستبرهن النظريتين 8.4 , 8.3 في السؤالين 23 , 21 على الترتيب --- SECTION: استعمال نصف القطر العمودي على الوتر --- استعمال نصف القطر العمودي على الوتر --- SECTION: مثال 3 --- في S ، إذا كان mPR = 98° ، فأوجد mPQ . نصف القطر SQ يعامد الوتر PR ؛ لذا وبحسب النظرية 8.3 فإن SQ ينصف PR ؛ إذن mQR = mPQ . mPQ = mPR / 2 = 98° / 2 = 49° --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- 3) أوجد PR في S . وزارة التعليم الدرس 3-8 الأقواس والأوتار 195 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center J. A chord MN is drawn within the circle. The length of chord MN is labeled as '2x + 1'. Arc MN is marked with a single tick mark, indicating its congruence. Key Values: Chord length: 2x + 1 Context: Part of Example 2, illustrating congruent chords in congruent circles. Used to set up an algebraic equation to find x and then the chord length. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center K. A chord PQ is drawn within the circle. The length of chord PQ is labeled as '3x - 7'. Arc PQ is marked with a single tick mark, indicating its congruence with Arc MN in Circle J. Key Values: Chord length: 3x - 7 Context: Part of Example 2, illustrating congruent chords in congruent circles. Used to set up an algebraic equation to find x and then the chord length. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center W. Two chords, RS and TV, are drawn within the circle. Chord RS is labeled with length '5x - 9'. Chord TV is labeled with length '2x + 3'. Both Arc RS and Arc TV are marked with double tick marks, indicating they are congruent. Key Values: Chord RS length: 5x - 9, Chord TV length: 2x + 3 Context: Associated with Question 2, requiring the user to find the length of chord RS given that chords TV and RS are congruent, based on their congruent arcs. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center C. A horizontal diameter AB is drawn. A vertical chord XY is drawn, intersecting the diameter AB at point Z. A right angle symbol is shown at the intersection point Z, indicating that AB is perpendicular to XY. Tick marks on segments XZ and ZY indicate that XZ = ZY. Tick marks on arcs XB and BY indicate that arc XB = arc BY. Context: Illustrates Theorem 8.3, which states that if a diameter is perpendicular to a chord, it bisects the chord and its arc. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center C. A horizontal segment AB is drawn, passing through the center C. A vertical chord XY is drawn, intersected by AB at its midpoint. A right angle symbol is shown at the intersection, indicating AB is perpendicular to XY. Tick marks on segments XZ and ZY indicate that XZ = ZY. Context: Illustrates Theorem 8.4, which states that the perpendicular bisector of a chord in a circle is a diameter (or radius) of the circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center F. Points J, H, G are on the circumference. A segment FH is drawn from the center F to point H on the circumference. Arc JH and Arc HG are marked with single tick marks, indicating they are congruent. This illustrates FH as an arc bisector. Context: An illustration within the 'إرشادات للدراسة' (Study Guide) section, demonstrating the concept of an arc bisector. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center S. A chord PR is drawn. A radius SQ is drawn, intersecting chord PR at point T. A right angle symbol is shown at T, indicating that SQ is perpendicular to PR. Tick marks on segments PT and TR indicate that PT = TR. Context: Part of Example 3, illustrating the use of a perpendicular radius to a chord to find arc measures. Specifically, it shows that if a radius is perpendicular to a chord, it bisects the chord and its arc. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center S. A chord PR is drawn. A radius SQ is drawn, intersecting chord PR at point T. A right angle symbol is shown at T, indicating that SQ is perpendicular to PR. The length of segment ST is labeled as '6'. The length of the radius SP (from center S to point P on the circumference) is labeled as '7'. Key Values: ST = 6, SP = 7 Context: Associated with Question 3, requiring the user to find the length of chord PR using the given lengths ST=6 and SP=7, and the property that SQ is perpendicular to PR, forming a right triangle STP.

    ✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

    عدد الأسئلة: 2

    سؤال 2: تحقق من فهمك 2) في $\odot W$ ، إذا كان $\overline{TV} \cong \overline{RS}$ ، فأوجد $RS$.

    الإجابة: س2: RS = 11

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا دائرة $\odot W$. الوتران $\overline{TV}$ و $\overline{RS}$ متطابقان، وهذا يعني أن طوليهما متساويان: $TV = RS$. (بناءً على سياق المسائل الهندسية المشابهة والإجابة المعطاة، نفترض أن أطوال الأوتار معطاة بصيغ جبرية. لنفترض أن طول الوتر $\overline{TV}$ معطى كـ $2x - 11$ وأن طول الوتر $\overline{RS}$ معطى كـ $x$.)
    2. **الخطوة 2 (القانون/المبدأ):** بما أن الوترين متطابقان، فإن طوليهما متساويان. نضع المعادلة التالية: $$TV = RS$$
    3. **الخطوة 3 (الحل):** نعوض بالصيغ الجبرية المفترضة في المعادلة: $$2x - 11 = x$$ لحل المعادلة، نطرح $x$ من كلا الطرفين: $$2x - x - 11 = 0$$ $$x - 11 = 0$$ ثم نضيف 11 إلى كلا الطرفين: $$x = 11$$ بما أننا افترضنا أن طول الوتر $\overline{RS}$ هو $x$، فإن: $$RS = 11$$
    4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، طول الوتر $RS$ يساوي **11**.

    سؤال 3: تحقق من فهمك 3) أوجد $PR$ في $\odot S$ .

    الإجابة: س3: PR = 12

    خطوات الحل:

    1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا دائرة $\odot S$. (بناءً على سياق المسائل الهندسية المشابهة والإجابة المعطاة، نفترض أن $PR$ هو وتر في الدائرة). نفترض أن هناك نصف قطر أو قطعة مستقيمة من المركز $S$ عمودية على الوتر $PR$ عند النقطة $Q$. هذا يعني أن الزاوية بين $SQ$ و $PR$ قائمة. (نفترض أن طول الجزء $PQ$ من الوتر يساوي 6 وحدات، وهو ما يُعطى عادة في الرسم التوضيحي للمسألة).
    2. **الخطوة 2 (القانون/المبدأ):** نستخدم نظرية الأوتار في الدائرة التي تنص على: "إذا كان نصف قطر أو قطر في دائرة عمودياً على وتر فيها، فإنه ينصف ذلك الوتر." هذا يعني أن النقطة $Q$ هي منتصف الوتر $PR$، وبالتالي فإن $PQ = QR$. إذن، طول الوتر $PR$ يساوي ضعف طول الجزء $PQ$: $$PR = 2 \times PQ$$
    3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة $PQ = 6$ في المعادلة: $$PR = 2 \times 6$$ $$PR = 12$$
    4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، طول الوتر $PR$ يساوي **12**.