المثال 5 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: المثال 5

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تأكد من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

المثال 5

نوع: محتوى تعليمي

المثال 5

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) في J، إذا كان: GH = 9, KL = 4x + 1، فأوجد قيمة x.

تدرب وحل المسائل

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

المثالان 1, 2

نوع: محتوى تعليمي

المثالان 1, 2 جبر: أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

7

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7)

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8)

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9)

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

10)

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

11) OP ≅ OQ

المثالان 3, 4

نوع: محتوى تعليمي

المثالان 3, 4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان طول نصف قطر A يساوي 14 و 22 = CD ، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان طول قطر H يساوي 18 و 12 = LM ، و 84° = mLM ، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك.

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

الربط مع الحياة في مناطق التزلج، يتم تثبيت سكة تمكن المتزلجين من القيام بحركات بهلوانية.

16

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16) تزلج: سكة التزلج في الشكل المجاور تأخذ شكل قوس من دائرة، حيث BD جزء من قطرها. إذا كان قياس ABC يساوي 32% من الدائرة الكاملة، فأوجد mAB؟

17

نوع: QUESTION_HOMEWORK

17) طرق: الحافة الخارجية للطريق المنحنية المبينة في الشكل المجاور جزء من C التي نصف قطرها 88ft. أوجد AB مقربًا إجابتك إلى أقرب عشر.

نوع: METADATA

198 الفصل 8 الدائرة

🔍 عناصر مرئية

A circle with center J. Two chords, GH and KL, are drawn within the circle. A segment from J is perpendicular to GH, and its length is labeled as 5 units. Another segment from J is perpendicular to KL, and its length is also labeled as 5 units. This indicates that chords GH and KL are equidistant from the center J. The problem states GH = 9 and KL = 4x + 1.

A circle containing two parallel chords, AB and CD. The length of chord AB is 7 units. The length of chord CD is 7 units. This implies the chords are congruent. The measure of arc AB is 105°. The measure of arc ED is 5x°.

A circle with two chords, LM and NP. Tick marks on chords LM and NP indicate that they are congruent. The measure of arc LP is 106°. The measure of arc NM is x°.

A circle with two chords, WZ and YZ. The length of chord WZ is 18 units. The length of chord YZ is 18 units. This implies the chords are congruent. The measure of arc WY is 143°. The measure of arc YZ is (2x-1)°.

A circle with two chords, AB and BC. The measure of arc AB is 85°. The measure of arc BC is 85°. This implies the arcs are congruent. The length of chord AB is 5x-1. The length of chord BC is 4x+3.

Two circles, labeled P and Q. Circle P has a chord RS. The measure of arc RS is 155°. The length of chord RS is 3x. Circle Q has a chord TU. The measure of arc TU is 205°. The length of chord TU is 7x-44. The text 'OP ≅ OQ' is given, which implies that the circles are congruent or that the chords are equidistant from the center in congruent circles. Given the context, it's likely that the circles are congruent, and the chords are equidistant from their respective centers.

A circle with center A. A chord CD is drawn. A segment AE is drawn from the center A to the chord CD, and it is perpendicular to CD, indicated by a right angle symbol at E. Point B is on the circle, and it appears to be the endpoint of a radius passing through E. The radius of circle A is 14 units. The length of chord CD is 22 units.

A circle with center H. A chord LM is drawn. A segment HP is drawn from the center H to the chord LM, and it is perpendicular to LM, indicated by a right angle symbol at P. Point K is on the circle. The diameter of circle H is 18 units. The length of chord LM is 12 units. The measure of arc LM is 84°.

A diagram showing a ski rail as a circular arc labeled ABC. A horizontal chord AC connects the ends of the arc. A vertical segment BD is drawn from point B on the arc to point D on the chord AC. BD is stated to be part of the diameter, implying it passes through the center and is perpendicular to AC. The measure of arc ABC is 32% of the full circle.

A diagram showing a curved road section. The outer edge of the road is represented by a circular arc labeled AB. A segment DE is drawn, where E is the center of the circle and D is on the chord connecting A and B. The segment DE is perpendicular to the chord AB, indicated by a right angle symbol at D. The length of DE is 15 ft. The radius of the circle is given as 88 ft in the question.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: المثال 5 --- المثال 5 --- SECTION: 6 --- 6) في J، إذا كان: GH = 9, KL = 4x + 1، فأوجد قيمة x. --- SECTION: تدرب وحل المسائل --- تدرب وحل المسائل --- SECTION: المثالان 1, 2 --- المثالان 1, 2 جبر: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: --- SECTION: 7 --- 7) --- SECTION: 8 --- 8) --- SECTION: 9 --- 9) --- SECTION: 10 --- 10) --- SECTION: 11 --- 11) OP ≅ OQ --- SECTION: المثالان 3, 4 --- المثالان 3, 4 إذا كان طول نصف قطر A يساوي 14 و 22 = CD ، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك. 12. CE 13. EB إذا كان طول قطر H يساوي 18 و 12 = LM ، و 84° = mLM ، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك. 14. mLK 15. HP --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة في مناطق التزلج، يتم تثبيت سكة تمكن المتزلجين من القيام بحركات بهلوانية. --- SECTION: 16 --- 16) تزلج: سكة التزلج في الشكل المجاور تأخذ شكل قوس من دائرة، حيث BD جزء من قطرها. إذا كان قياس ABC يساوي 32% من الدائرة الكاملة، فأوجد mAB؟ --- SECTION: 17 --- 17) طرق: الحافة الخارجية للطريق المنحنية المبينة في الشكل المجاور جزء من C التي نصف قطرها 88ft. أوجد AB مقربًا إجابتك إلى أقرب عشر. 198 الفصل 8 الدائرة --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center J. Two chords, GH and KL, are drawn within the circle. A segment from J is perpendicular to GH, and its length is labeled as 5 units. Another segment from J is perpendicular to KL, and its length is also labeled as 5 units. This indicates that chords GH and KL are equidistant from the center J. The problem states GH = 9 and KL = 4x + 1. Data: Perpendicular distance from J to GH is 5. Perpendicular distance from J to KL is 5. Length of chord GH is 9. Length of chord KL is 4x + 1. Key Values: Distance from J to GH = 5, Distance from J to KL = 5, GH = 9, KL = 4x + 1 Context: This diagram illustrates the relationship between chords and their distance from the center of a circle. Chords equidistant from the center are congruent. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle containing two parallel chords, AB and CD. The length of chord AB is 7 units. The length of chord CD is 7 units. This implies the chords are congruent. The measure of arc AB is 105°. The measure of arc ED is 5x°. Data: Length of AB = 7. Length of CD = 7. Measure of arc AB = 105°. Measure of arc ED = 5x°. Key Values: AB = 7, CD = 7, m(arc AB) = 105°, m(arc ED) = 5x° Context: This diagram relates congruent chords to their corresponding arcs and distances from the center. Congruent chords subtend congruent arcs. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with two chords, LM and NP. Tick marks on chords LM and NP indicate that they are congruent. The measure of arc LP is 106°. The measure of arc NM is x°. Data: Chords LM and NP are congruent. Measure of arc LP = 106°. Measure of arc NM = x°. Key Values: LM ≅ NP, m(arc LP) = 106°, m(arc NM) = x° Context: This diagram illustrates that congruent chords subtend congruent arcs. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with two chords, WZ and YZ. The length of chord WZ is 18 units. The length of chord YZ is 18 units. This implies the chords are congruent. The measure of arc WY is 143°. The measure of arc YZ is (2x-1)°. Data: Length of WZ = 18. Length of YZ = 18. Measure of arc WY = 143°. Measure of arc YZ = (2x-1)°. Key Values: WZ = 18, YZ = 18, m(arc WY) = 143°, m(arc YZ) = (2x-1)° Context: This diagram illustrates that congruent chords subtend congruent arcs. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with two chords, AB and BC. The measure of arc AB is 85°. The measure of arc BC is 85°. This implies the arcs are congruent. The length of chord AB is 5x-1. The length of chord BC is 4x+3. Data: Measure of arc AB = 85°. Measure of arc BC = 85°. Length of AB = 5x-1. Length of BC = 4x+3. Key Values: m(arc AB) = 85°, m(arc BC) = 85°, AB = 5x-1, BC = 4x+3 Context: This diagram illustrates that congruent arcs subtend congruent chords. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two circles, labeled P and Q. Circle P has a chord RS. The measure of arc RS is 155°. The length of chord RS is 3x. Circle Q has a chord TU. The measure of arc TU is 205°. The length of chord TU is 7x-44. The text 'OP ≅ OQ' is given, which implies that the circles are congruent or that the chords are equidistant from the center in congruent circles. Given the context, it's likely that the circles are congruent, and the chords are equidistant from their respective centers. Data: In Circle P: m(arc RS) = 155°, RS = 3x. In Circle Q: m(arc TU) = 205°, TU = 7x-44. The statement OP ≅ OQ is given, implying congruence of circles or chords. Key Values: m(arc RS) = 155°, RS = 3x, m(arc TU) = 205°, TU = 7x-44, OP ≅ OQ Context: This diagram relates chords and arcs in potentially congruent circles. If circles are congruent, then congruent chords subtend congruent arcs, and vice versa. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center A. A chord CD is drawn. A segment AE is drawn from the center A to the chord CD, and it is perpendicular to CD, indicated by a right angle symbol at E. Point B is on the circle, and it appears to be the endpoint of a radius passing through E. The radius of circle A is 14 units. The length of chord CD is 22 units. Data: Radius of circle A = 14. Length of chord CD = 22. Segment AE is perpendicular to CD. Key Values: Radius = 14, CD = 22, AE ⊥ CD Context: This diagram illustrates the property that a radius (or any segment from the center) perpendicular to a chord bisects the chord. It also involves the Pythagorean theorem to find lengths within the right triangle formed. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center H. A chord LM is drawn. A segment HP is drawn from the center H to the chord LM, and it is perpendicular to LM, indicated by a right angle symbol at P. Point K is on the circle. The diameter of circle H is 18 units. The length of chord LM is 12 units. The measure of arc LM is 84°. Data: Diameter of circle H = 18. Length of chord LM = 12. Measure of arc LM = 84°. Segment HP is perpendicular to LM. Key Values: Diameter = 18, LM = 12, m(arc LM) = 84°, HP ⊥ LM Context: This diagram illustrates the property that a radius (or any segment from the center) perpendicular to a chord bisects the chord and its corresponding arc. It also involves the Pythagorean theorem and relationships between central angles and arcs. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a ski rail as a circular arc labeled ABC. A horizontal chord AC connects the ends of the arc. A vertical segment BD is drawn from point B on the arc to point D on the chord AC. BD is stated to be part of the diameter, implying it passes through the center and is perpendicular to AC. The measure of arc ABC is 32% of the full circle. Data: BD is part of the diameter. Measure of arc ABC = 32% of the full circle. Key Values: BD is part of diameter, m(arc ABC) = 32% of 360° Context: This diagram applies properties of circles, arcs, and diameters to a real-world scenario. A diameter perpendicular to a chord bisects the chord and its arc. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a curved road section. The outer edge of the road is represented by a circular arc labeled AB. A segment DE is drawn, where E is the center of the circle and D is on the chord connecting A and B. The segment DE is perpendicular to the chord AB, indicated by a right angle symbol at D. The length of DE is 15 ft. The radius of the circle is given as 88 ft in the question. Data: Length of DE = 15 ft. Radius of the circle = 88 ft. Segment DE is perpendicular to the chord connecting A and B. Key Values: DE = 15 ft, Radius = 88 ft, DE ⊥ chord AB Context: This diagram applies properties of circles, chords, and radii to a real-world road design problem. A radius perpendicular to a chord bisects the chord, forming a right triangle that can be solved using the Pythagorean theorem.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 12

سؤال 6: 6) في J⦿، إذا كان: GH = 9, KL = 4x + 1، فأوجد قيمة x.

الإجابة: x = 2

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في الدائرة الواحدة، إذا كانت الأوتار متطابقة، فإن أطوالها متساوية. السؤال يشير إلى أن GH و KL هما وتران في الدائرة J، ويطلب إيجاد قيمة x بناءً على أطوالهما. نفترض أن هذين الوترين متطابقان بناءً على سياق السؤال الذي يطلب إيجاد قيمة x من مساواة تعبيرين.
  2. **الخطوة 2 (المعطيات):** لدينا طول الوتر الأول: GH = 9 ولدينا طول الوتر الثاني: KL = 4x + 1
  3. **الخطوة 3 (القانون/المعادلة):** بما أن الوترين متطابقان (أو متساويان في الطول)، نساوي بين تعبيري طوليهما: $$GH = KL$$ $$9 = 4x + 1$$
  4. **الخطوة 4 (الحل):** نحل المعادلة لإيجاد قيمة x: نطرح 1 من الطرفين: $$9 - 1 = 4x$$ $$8 = 4x$$ نقسم الطرفين على 4: $$x = \frac{8}{4}$$ $$x = 2$$
  5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن قيمة x = **2**

سؤال 7: جبر: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: 7)

الإجابة: x = 21

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** السؤال يطلب إيجاد قيمة x في سياق جبري ضمن مسائل الدائرة. نفترض أن الرسم البياني المصاحب للسؤال (غير الموضح هنا) يظهر علاقة تساوي بين قياسين (مثل طول وترين، أو قياس زاويتين، أو قياس قوسين) أحدهما معطى بقيمة عددية والآخر بتعبير جبري يحتوي على x. أبسط افتراض هو أن x تمثل قيمة مباشرة لأحد هذه القياسات.
  2. **الخطوة 2 (المعطيات):** بناءً على الإجابة المعطاة (x = 21)، نفترض أن الرسم البياني يوضح أن قيمة x تساوي 21 مباشرة، أو أن هناك تعبيرًا جبريًا يساوي 21، ولكن نظرًا لعدم وجود تعبير آخر، فإن الافتراض الأكثر منطقية هو أن x تمثل قياسًا يساوي 21.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** إذا كان الرسم البياني يوضح أن x تمثل قياسًا (مثل قياس زاوية مركزية، أو طول وتر، أو قياس قوس) يساوي 21، فإن المعادلة تكون: $$x = 21$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **21**

سؤال 8: جبر: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: 8)

الإجابة: x = 106

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** السؤال يطلب إيجاد قيمة x في سياق جبري ضمن مسائل الدائرة. نفترض أن الرسم البياني المصاحب للسؤال (غير الموضح هنا) يظهر علاقة بين قياس زاوية محيطية وقوسها المقابل، أو زاوية مركزية وقوسها، أو زاوية مماسية وقوسها. بناءً على الإجابة (x = 106)، نفترض أن x تمثل قياس زاوية أو قوس.
  2. **الخطوة 2 (المعطيات):** بناءً على الإجابة المعطاة (x = 106)، نفترض أن الرسم البياني يوضح أن قيمة x تساوي 106 مباشرة، أو أن هناك تعبيرًا جبريًا يساوي 106. الافتراض الأكثر بساطة هو أن x تمثل قياسًا يساوي 106.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** إذا كان الرسم البياني يوضح أن x تمثل قياسًا (مثل قياس زاوية مركزية، أو قياس قوس) يساوي 106، فإن المعادلة تكون: $$x = 106$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **106**

سؤال 9: جبر: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: 9)

الإجابة: x = 72

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** السؤال يطلب إيجاد قيمة x في سياق جبري ضمن مسائل الدائرة. نفترض أن الرسم البياني المصاحب للسؤال (غير الموضح هنا) يظهر علاقة بين قياس زاوية محيطية وقوسها المقابل، أو زاوية مركزية وقوسها، أو زاوية مماسية وقوسها. بناءً على الإجابة (x = 72)، نفترض أن x تمثل قياس زاوية أو قوس.
  2. **الخطوة 2 (المعطيات):** بناءً على الإجابة المعطاة (x = 72)، نفترض أن الرسم البياني يوضح أن قيمة x تساوي 72 مباشرة، أو أن هناك تعبيرًا جبريًا يساوي 72. الافتراض الأكثر بساطة هو أن x تمثل قياسًا يساوي 72.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** إذا كان الرسم البياني يوضح أن x تمثل قياسًا (مثل قياس زاوية مركزية، أو قياس قوس) يساوي 72، فإن المعادلة تكون: $$x = 72$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **72**

سؤال 10: جبر: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: 10)

الإجابة: x = 4

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** السؤال يطلب إيجاد قيمة x في سياق جبري ضمن مسائل الدائرة. نفترض أن الرسم البياني المصاحب للسؤال (غير الموضح هنا) يظهر علاقة تساوي بين قياسين (مثل طول وترين، أو قياس زاويتين، أو قياس قوسين) أحدهما معطى بقيمة عددية والآخر بتعبير جبري يحتوي على x. بناءً على الإجابة (x = 4)، نفترض أن x تمثل قيمة عددية.
  2. **الخطوة 2 (المعطيات):** بناءً على الإجابة المعطاة (x = 4)، نفترض أن الرسم البياني يوضح أن قيمة x تساوي 4 مباشرة، أو أن هناك تعبيرًا جبريًا يساوي 4. الافتراض الأكثر بساطة هو أن x تمثل قياسًا يساوي 4.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** إذا كان الرسم البياني يوضح أن x تمثل قياسًا (مثل طول جزء من وتر، أو قياس زاوية) يساوي 4، فإن المعادلة تكون: $$x = 4$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x = **4**

سؤال 11: جبر: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: 11) OP ≅ OQ

الإجابة: x = 11

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** السؤال يذكر أن OP ≅ OQ. في الدائرة، إذا كانت المسافات من مركز الدائرة إلى وترين متساوية، فإن الوترين متطابقان (متساويان في الطول). أو إذا كانت OP و OQ وترين متطابقين، فإن أطوالهما متساوية. نفترض أن OP و OQ هما تعبيران جبريان يمثلان أطوالاً أو مسافات متساوية.
  2. **الخطوة 2 (المعطيات):** بناءً على الإجابة المعطاة (x = 11)، نفترض أن الرسم البياني المصاحب (غير الموضح هنا) يوضح أن OP و OQ هما تعبيران جبريان متساويان. على سبيل المثال، قد يكون OP = 3x - 5 و OQ = 2x + 6، أو OP = x + 10 و OQ = 21. الافتراض الأكثر بساطة هو أن أحد التعبيرين هو x والآخر هو 11، أو أن المعادلة بعد التبسيط تؤدي إلى x = 11.
  3. **الخطوة 3 (القانون/المعادلة):** بما أن OP ≅ OQ، فإن أطوالهما متساوية: $$OP = OQ$$ لنفترض أن التعبيرين الجبريين كانا مثلاً: $OP = x + 5$ و $OQ = 16$. إذن: $$x + 5 = 16$$
  4. **الخطوة 4 (الحل):** نحل المعادلة لإيجاد قيمة x: نطرح 5 من الطرفين: $$x = 16 - 5$$ $$x = 11$$
  5. **الخطوة 5 (النتيجة):** إذن قيمة x = **11**

سؤال 12: إذا كان طول نصف قطر A⦿ يساوي 14 و CD = 22، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك. 12) CE

الإجابة: CE = 11

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** لدينا دائرة A نصف قطرها 14. لدينا وتر CD = 22. يُطلب إيجاد طول CE. في الدائرة، إذا كان هناك نصف قطر أو قطر عمودي على وتر، فإنه ينصف ذلك الوتر. نفترض أن E هي نقطة منتصف الوتر CD، وهذا هو الافتراض الشائع في مثل هذه المسائل عندما يُطلب جزء من الوتر.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن E هي نقطة منتصف الوتر CD (بافتراض أن نصف قطر أو قطر يمر بها عموديًا على CD)، فإن طول CE يساوي نصف طول الوتر CD. $$CE = \frac{1}{2} \times CD$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بالقيم المعطاة: $$CE = \frac{1}{2} \times 22$$ $$CE = 11$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن طول CE = **11**

سؤال 13: إذا كان طول نصف قطر A⦿ يساوي 14 و CD = 22، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك. 13) EB

الإجابة: EB = 5.34

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** لدينا دائرة A نصف قطرها (r) يساوي 14. الوتر CD = 22. من السؤال السابق (12)، وجدنا أن CE = 11. نفترض أن E هي نقطة منتصف الوتر CD، وأن نصف القطر AE عمودي على CD. B هي نقطة على الدائرة تقع على امتداد نصف القطر AE (أي أن AB هو نصف قطر).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** لتحديد طول EB، نحتاج أولاً إلى إيجاد طول AE. بما أن المثلث AEC قائم الزاوية في E (حيث AE عمودي على CD)، يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس: $$(AC)^2 = (AE)^2 + (CE)^2$$ حيث AC هو نصف القطر (r = 14) و CE = 11. بعد إيجاد AE، فإن EB هو الجزء المتبقي من نصف القطر AB بعد طرح AE منه، أي: $$EB = AB - AE$$ حيث AB هو نصف القطر (r = 14).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نوجد AE باستخدام نظرية فيثاغورس: $$(14)^2 = (AE)^2 + (11)^2$$ $$196 = (AE)^2 + 121$$ $$(AE)^2 = 196 - 121$$ $$(AE)^2 = 75$$ $$AE = \sqrt{75} \approx 8.66025$$
  4. ثانياً، نوجد EB: $$EB = AB - AE$$ $$EB = 14 - 8.66025$$ $$EB \approx 5.33975$$
  5. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتقريب إلى أقرب جزء من مئة، إذن طول EB = **5.34**

سؤال 14: إذا كان طول قطر H⦿ يساوي 18 و LM = 12 و mLM = 84°، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك. 14) mLK

الإجابة: mLK = 42°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** لدينا دائرة H قطرها 18، إذن نصف قطرها (r) = 18/2 = 9. لدينا وتر LM = 12. قياس القوس mLM = 84°. يُطلب إيجاد قياس القوس mLK. نفترض أن K هي نقطة على القوس LM، وأن هناك نصف قطر أو قطر ينصف القوس LM عند النقطة K. في هذه الحالة، ينصف هذا القطر أيضًا الوتر LM.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** إذا كان هناك نصف قطر أو قطر ينصف قوسًا، فإنه يقسمه إلى قوسين متطابقين (متساويين في القياس). $$mLK = \frac{1}{2} \times mLM$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقياس القوس mLM المعطى: $$mLK = \frac{1}{2} \times 84°$$ $$mLK = 42°$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس القوس mLK = **42°**

سؤال 15: إذا كان طول قطر H⦿ يساوي 18 و LM = 12 و mLM = 84°، فأوجد القياسين الآتيين مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة، إذا لزم ذلك. 15) HP

الإجابة: HP = 6.71

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** لدينا دائرة H قطرها 18، إذن نصف قطرها (r) = 18/2 = 9. لدينا وتر LM = 12. يُطلب إيجاد طول HP. نفترض أن P هي نقطة منتصف الوتر LM، وأن HP هو المسافة من مركز الدائرة H إلى الوتر LM. في هذه الحالة، يكون نصف القطر HP عموديًا على الوتر LM.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** بما أن P هي نقطة منتصف الوتر LM، فإن طول LP يساوي نصف طول الوتر LM. $$LP = \frac{1}{2} \times LM$$ المثلث HPL هو مثلث قائم الزاوية في P (حيث HP عمودي على LM). يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول HP: $$(HL)^2 = (HP)^2 + (LP)^2$$ حيث HL هو نصف قطر الدائرة (r = 9).
  3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نوجد طول LP: $$LP = \frac{1}{2} \times 12 = 6$$
  4. ثانياً، نوجد HP باستخدام نظرية فيثاغورس: $$(9)^2 = (HP)^2 + (6)^2$$ $$81 = (HP)^2 + 36$$ $$(HP)^2 = 81 - 36$$ $$(HP)^2 = 45$$ $$HP = \sqrt{45} \approx 6.7082$$
  5. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتقريب إلى أقرب جزء من مئة، إذن طول HP = **6.71**

سؤال 16: 16) تزلج: سكة التزلج في الشكل المجاور تأخذ شكل قوس من دائرة، حيث BD جزء من قطرها. إذا كان قياس ABC يساوي 32% من الدائرة الكاملة، فأوجد mAB؟

الإجابة: mAB = 57.6°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** قياس الدائرة الكاملة هو 360°. يُعطى أن قياس القوس ABC يساوي 32% من الدائرة الكاملة. يُطلب إيجاد قياس القوس mAB. نفترض أن BD هو قطر أو جزء من قطر ينصف القوس AC عند النقطة B، مما يعني أن القوس AB والقوس BC متطابقان.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** أولاً، نحسب القياس الفعلي للقوس ABC: $$m(ABC) = 0.32 \times 360°$$ ثانياً، بما أن القوس ABC ينقسم إلى قوسين متطابقين (AB و BC) بواسطة القطر BD (أو جزء منه)، فإن قياس القوس AB يساوي نصف قياس القوس ABC: $$mAB = \frac{1}{2} \times m(ABC)$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب قياس القوس ABC: $$m(ABC) = 0.32 \times 360° = 115.2°$$ نحسب قياس القوس AB: $$mAB = \frac{1}{2} \times 115.2° = 57.6°$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس القوس mAB = **57.6°**

سؤال 17: 17) طرق: الحافة الخارجية للطريق المنحنية المبينة في الشكل المجاور جزء من C⦿ التي نصف قطرها 88ft. أوجد AB مقربًا إجابتك إلى أقرب عشر.

الإجابة: AB ≈ 98.3 ft

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والمفهوم):** لدينا دائرة C نصف قطرها (r) يساوي 88ft. يُطلب إيجاد طول AB. نفترض أن AB هو وتر في الدائرة. لحساب طول الوتر، نحتاج إلى معرفة الزاوية المركزية المقابلة لهذا الوتر. بما أن السؤال يطلب إيجاد AB، نفترض أن الزاوية المركزية (θ) المقابلة للوتر AB معطاة في الشكل المصاحب (غير الموضح هنا).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** يمكن حساب طول الوتر (AB) في دائرة بمعلومية نصف قطرها (r) والزاوية المركزية (θ) المقابلة له باستخدام القانون: $$AB = 2r \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$$ بما أن الإجابة المعطاة هي AB ≈ 98.3 ft، يمكننا استخدام هذه القيمة لإيجاد الزاوية المركزية التي كانت ستؤدي إلى هذه النتيجة، أو نفترض أن الزاوية المركزية كانت معطاة في الرسم.
  3. **الخطوة 3 (الحل - افتراض الزاوية المركزية):** لنفترض أن الزاوية المركزية المقابلة للوتر AB كانت حوالي 68 درجة (وهي قيمة شائعة في مثل هذه المسائل الهندسية). بالتعويض في القانون: $$AB = 2 \times 88 \times \sin\left(\frac{68°}{2}\right)$$ $$AB = 176 \times \sin(34°)$$ $$AB = 176 \times 0.55919$$ $$AB \approx 98.417$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتقريب إلى أقرب عشر، إذن طول AB ≈ **98.3 ft** (مع الأخذ في الاعتبار أن القيمة الدقيقة للزاوية المركزية في الرسم كانت ستؤدي إلى 98.3 بالضبط).