إنشاء مماس لدائرة من نقطة خارجية - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 إنشاء مماس لدائرة من نقطة خارجية

المفاهيم الأساسية

المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة: متطابقان.

خريطة المفاهيم

```markmap

المماسات

تعريفات

المماس

• مستقيم
• يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط
• نقطة التماس

المماس المشترك

• يمس دائرتين
• أنواعه: خارجي وداخلي

أهداف الدرس

استعمال خصائص المماسات

• لإيجاد قياسات تتعلق بالدائرة

حل مسائل تتضمن مضلعات محيطة بدائرة

عدد المماسات المشتركة

دائرتان متقاطعتان

• مماسان مشتركان (خارجيان)

دائرتان منفصلتان

• 4 مماسات مشتركة (2 خارجيان، 2 داخليان)

دائرتان متماستان من الخارج

• 3 مماسات مشتركة (2 خارجيان، 1 داخلي)

دائرتان متداخلتان (متحدتا المركز)

• لا يوجد مماس مشترك

النظرية 8.10

الشرط

• المستقيم مماس للدائرة

الشرط المكافئ (إذا وفقط إذا)

• المستقيم عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس

تطبيقات

• تحديد إذا ما كان مستقيم ما مماساً
• إيجاد قيم مجهولة باستخدام نظرية فيثاغورس

إنشاء مماس من نقطة خارجية

الخطوات الهندسية

• الخطوة 1: رسم الدائرة C والنقطة الخارجية A، ثم رسم القطعة CA
• الخطوة 2: إنشاء العمود المنصف لـ CA ووضع نقطة المنتصف X
• الخطوة 3: رسم دائرة مركزها X ونصف قطرها XC، وتحديد نقطتي التقاطع E و D
• الخطوة 4: رسم القطع AD و DC، حيث AD مماس للدائرة C

النظرية 8.11

خاصية التطابق

• المماسان المرسومان من نقطة خارجية إلى دائرة متطابقان

```

نقاط مهمة

• يمكن استعمال النظريتين 8.10 و 8.8 لإنشاء مماسات الدائرة.
• يمكن رسم مماسين للدائرة نفسها من نقطة واحدة خارجها.
• النظرية 8.11 (المماسان من نقطة خارجية متطابقان) ستُبرهن في سؤال لاحق.
• طريقة إنشاء المماس من نقطة على الدائرة ستُستنتج في سؤال لاحق.

---

حل مثال

مثال 4: استعمال المماسات المتطابقة لإيجاد قياسات

المسألة: إذا كان AB ، CB مماسان للدائرة D، فأوجد قيمة x.

(معطى: AB = x + 15 ، CB = 2x - 5)

الحل:

بما أن المماسين المرسومين من نقطة خارج الدائرة متطابقان، فإن:

AB = CB

x + 15 = 2x - 5

بطرح x من الطرفين: 15 = x - 5

بإضافة 5 للطرفين: 20 = x

إذن، قيمة x هي 20.

---

تحقق من فهمك

المطلوب: أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين، مفترضاً أن القطعة المستقيمة التي تبدو مماساً للدائرة هي مماساً فعلاً.

4A:

* المعطيات: QR مماس للدائرة عند R. QR = (3x + 8) cm، نصف القطر RS = 26 cm.

* الحل: بما أن QR مماس، فهو عمودي على نصف القطر RS عند نقطة التماس R. إذن المثلث QRS قائم الزاوية في R.

باستخدام نظرية فيثاغورس في المثلث QRS (حيث QS وتر):

(3x + 8)^2 + 26^2 = (QS)^2

لا يمكن إيجاد x مباشرة من هذه المعادلة بدون طول QS. يبدو أن الشكل يحتوي على معلومات إضافية (مثل كون QS = Q? + ?S) غير موجودة في النص المقدم. لحل هذه المسألة، يلزم الرجوع إلى الشكل 4A للحصول على جميع الأطوال المعطاة.

4B:

* المعطيات: WX مماس للدائرة عند W. WX = (2x + 9)، XY = (3x + 6).

* الحل: بالنظر إلى الشكل (المرسوم)، يبدو أن النقطتين X و Y تقعان خارج الدائرة ومرتبطتان بمركزها Z. لا توجد علاقة مباشرة معروفة بين طول المماس WX والقطعة XY. لحل هذه المسألة، يلزم الرجوع إلى الشكل 4B لفهم العلاقة الهندسية الكاملة بين الأجزاء (مثل هل XYZ مثلث؟ هل هناك مماس آخر من Y؟).

(ملاحظة: الحلان أعلاه يوضحان المنهج، لكن الإجابة العددية تتطلب بيانات كاملة من الأشكال 4A و 4B والتي لم ترد كل تفاصيلها النصية في البيانات المقدمة).

يمكنك استعمال النظريتين 8.10 ، 8.8 لإنشاء مماسات الدائرة.

يمكنك استعمال النظريتين 8.10 ، 8.8 لإنشاء مماسات الدائرة.

ارسم الدائرة C ، مستعملًا الفرجار، وحدد نقطة A خارجها، ثم ارسم ¯¬CA.

أنشئ العمود المنصف لـ CA وسمّه l ، وسم نقطة منتصفه X نقطة تقاطع l مع ¬CA.

أنشئ الدائرة X بنصف قطر ¬XC ، وسم نقطتي تقاطع الدائرتين E ، D.

ارسم ¬AD ، ¬DC . بما أن ¬ADC زاوية قائمة؛ لذا فإن ¬AD مماس للدائرة C.

ستستنتج مماساً لدائرة من نقطة عليها في السؤال 26

يمكنك أن ترسم مماسين للدائرة نفسها من نقطة واحدة خارجها.

ستبرهن النظرية 8.11 في السؤال 22

استعمال المماسات المتطابقة لإيجاد قياسات

إذا كان ¬AB ، ¬CB مماسان للدائرة D ، فأوجد قيمة x . المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متطابقان

جبر: أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين، مفترضاً أن القطعة المستقيمة التي تبدو مماساً للدائرة هي مماساً فعلاً.

4B

4A

يمكنك استعمال النظريتين 8.10 ، 8.8 لإنشاء مماسات الدائرة. --- SECTION: إنشاء مماس لدائرة من نقطة خارجية --- يمكنك استعمال النظريتين 8.10 ، 8.8 لإنشاء مماسات الدائرة. --- SECTION: الخطوة 1 --- ارسم الدائرة C ، مستعملًا الفرجار، وحدد نقطة A خارجها، ثم ارسم ¯¬CA. --- SECTION: الخطوة 2 --- أنشئ العمود المنصف لـ CA وسمّه l ، وسم نقطة منتصفه X نقطة تقاطع l مع ¬CA. --- SECTION: الخطوة 3 --- أنشئ الدائرة X بنصف قطر ¬XC ، وسم نقطتي تقاطع الدائرتين E ، D. --- SECTION: الخطوة 4 --- ارسم ¬AD ، ¬DC . بما أن ¬ADC زاوية قائمة؛ لذا فإن ¬AD مماس للدائرة C. ستستنتج مماساً لدائرة من نقطة عليها في السؤال 26 --- SECTION: أضف إلى معلوماتك --- يمكنك أن ترسم مماسين للدائرة نفسها من نقطة واحدة خارجها. ستبرهن النظرية 8.11 في السؤال 22 --- SECTION: مثال 4 --- استعمال المماسات المتطابقة لإيجاد قياسات --- SECTION: جبر --- إذا كان ¬AB ، ¬CB مماسان للدائرة D ، فأوجد قيمة x . المماسان المرسومان من نقطة خارج الدائرة متطابقان بالتعويض. x + 15 = 2x - 5 بطرح x من كلا الطرفين. 15 = x - 5 بإضافة 5 لكلا الطرفين. 20 = x --- SECTION: تحقق من فهمك --- جبر: أوجد قيمة x في كل من الشكلين الآتيين، مفترضاً أن القطعة المستقيمة التي تبدو مماساً للدائرة هي مماساً فعلاً. --- SECTION: جبر --- 4B --- SECTION: جبر --- 4A --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle labeled C with a point A outside it. A line segment connects A to C. Context: Illustrates the first step in constructing a tangent to a circle from an external point. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle labeled C with point A outside. Line segment AC has a perpendicular bisector labeled l, intersecting AC at point X. Context: Illustrates the second step: finding the midpoint of the segment AC. **DIAGRAM**: Untitled Description: Circle C with point A outside. Circle centered at X (midpoint of AC) passes through C and intersects circle C at points E and D. Context: Illustrates the third step: drawing a circle centered at the midpoint X to find intersection points. **DIAGRAM**: Untitled Description: Circle C with center X. Points E and D are intersection points. Line segments AD and CD are drawn, forming tangents to circle C. Context: Illustrates the fourth step: drawing the tangent segments AD and CD. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center D. Point B is outside the circle. Segments AB and CB are tangent to the circle at points A and C respectively. AB = CB is indicated. Context: Illustrates the property that tangent segments from an external point to a circle are congruent. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center D. Point B is outside. Segments AB and CB are tangent. AB is labeled x + 15, and CB is labeled 2x - 5. Context: Used in Example 4 to demonstrate finding the value of x using the property of congruent tangent segments. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center Z. A point X is outside. A segment WX is tangent to the circle at W, with length labeled (2x + 9). A segment XY is also shown, with length labeled (3x + 6). Context: Part of 'تحقق من فهمك' exercise 4B, requiring calculation of x assuming WX is a tangent. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center T. A point Q is outside. A segment QR is tangent to the circle at R, with length labeled (3x + 8) cm. The segment RS is a radius, labeled 26 cm. Context: Part of 'تحقق من فهمك' exercise 4A, requiring calculation of x assuming QR is a tangent.