تنبيه ! - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المضلعات المحيطة بدائرة

المفاهيم الأساسية

المضلع المحيط بدائرة: يُحيط المضلع بالدائرة، إذا كان كل ضلع من أضلاعه مماساً للدائرة.

خريطة المفاهيم

```markmap

المماسات

تعريفات

المماس

• مستقيم
• يقطع الدائرة في نقطة واحدة فقط
• نقطة التماس

المماس المشترك

• يمس دائرتين
• أنواعه: خارجي وداخلي

أهداف الدرس

استعمال خصائص المماسات

• لإيجاد قياسات تتعلق بالدائرة

حل مسائل تتضمن مضلعات محيطة بدائرة

عدد المماسات المشتركة

دائرتان متقاطعتان

• مماسان مشتركان (خارجيان)

دائرتان منفصلتان

• 4 مماسات مشتركة (2 خارجيان، 2 داخليان)

دائرتان متماستان من الخارج

• 3 مماسات مشتركة (2 خارجيان، 1 داخلي)

دائرتان متداخلتان (متحدتا المركز)

• لا يوجد مماس مشترك

النظرية 8.10

الشرط

• المستقيم مماس للدائرة

الشرط المكافئ (إذا وفقط إذا)

• المستقيم عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس

تطبيقات

• تحديد إذا ما كان مستقيم ما مماساً
• إيجاد قيم مجهولة باستخدام نظرية فيثاغورس

إنشاء مماس من نقطة خارجية

الخطوات الهندسية

• الخطوة 1: رسم الدائرة C والنقطة الخارجية A، ثم رسم القطعة CA
• الخطوة 2: إنشاء العمود المنصف لـ CA ووضع نقطة المنتصف X
• الخطوة 3: رسم دائرة مركزها X ونصف قطرها XC، وتحديد نقطتي التقاطع E و D
• الخطوة 4: رسم القطع AD و DC، حيث AD مماس للدائرة C

النظرية 8.11

خاصية التطابق

• المماسان المرسومان من نقطة خارجية إلى دائرة متطابقان

المضلعات المحيطة بدائرة

التعريف

• مضلع يحيط بدائرة إذا كان كل ضلع من أضلاعه مماساً للدائرة

تنبيه

• إذا مست الدائرة بعض أضلاع المضلع ولم تمسها جميعها، فلا يُعد المضلع محيطًا بالدائرة

تطبيق النظرية 8.11

• لإيجاد قياسات مجهولة في المضلعات المحيطة بدائرة

```

نقاط مهمة

• شرط الإحاطة: حتى يُعتبر المضلع محيطاً بالدائرة، يجب أن يكون كل ضلع من أضلاعه مماساً للدائرة.
• تطبيق النظرية 8.11: في المضلع المحيط، المماسات المرسومة من كل رأس (نقطة خارجية) إلى نقطتي التماس على الضلعين المجاورين له متطابقة. هذا يساعد في إيجاد أطوال مجهولة.
• إيجاد المحيط: يمكن إيجاد محيط المضلع المحيط بجمع أطوال جميع أجزاء أضلاعه، باستخدام خاصية تطابق القطع المماسة من نفس النقطة.

---

حل مثال

المثال 5 (تصميم مصور): مثلث ABC يحيط بالدائرة G. المعطيات: AD = AE = 8 ft، BE = BF = 7 ft، BC = 10 ft. المطلوب: إيجاد محيط المثلث ABC.

الخطوة 1: إيجاد القياسات المجهولة.

• نظراً لأن المثلث يحيط بالدائرة، فإن المماسات من نفس النقطة متطابقة: AE ≅ AD، BF ≅ BE، CF ≅ CD.
• إذن: AE = AD = 8 ft، BF = BE = 7 ft.
• بتطبيق مسلمة جمع القطع المستقيمة: CB = CF + FB.
• إذن: CF = CB - FB = 10 - 7 = 3 ft.
• وبالتالي: CD = CF = 3 ft.

الخطوة 2: إيجاد محيط ABC△.

• المحيط = AE + EB + BC + CD + DA
• المحيط = 8 + 7 + 10 + 3 + 8 = 36 ft.
• الجواب النهائي: محيط المثلث ABC يساوي 36 قدمًا.

---

تحقق من فهمك

السؤال 5: الشكل الرباعي RSTU محيط بالدائرة J، ومحيطه 18 وحدة. المعطيات في الرسم: SA = SD = 3، RD = RC = 3، UC = UB = TB = TA = x. المطلوب: إيجاد قيمة x.

الحل:

• نظراً لأن الشكل الرباعي محيط بالدائرة، فإن المماسات من نفس الرأس متطابقة.
• محيط RSTU = (SA + SD) + (RD + RC) + (UC + UB) + (TB + TA)
• المحيط = (3+3) + (3+3) + (x+x) + (x+x) = 6 + 6 + 2x + 2x = 12 + 4x.
• المعطى أن المحيط = 18 وحدة.
• إذن: 12 + 4x = 18
• 4x = 18 - 12 = 6
• x = 6 / 4 = 1.5
• الجواب النهائي: قيمة x تساوي 1.5 وحدة.

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

المضلعات المحيطة بدائرة: يُحيط المضلع بالدائرة، إذا كان كل ضلع من أضلاعه مماسا للدائرة.

تحديد المضلعات المحيطة بدائرة: إذا مست الدائرة بعض أضلاع المضلع ولم تمسها جميعها، فلا يُعد المضلع محيطًا بالدائرة، وهذا ما يتضح في الجدول.

يمكنك استعمال النظرية 8.11؛ لإيجاد قياسات مجهولة في المضلعات المحيطة بدائرة.

مثال 5 من واقع الحياة

إيجاد قياسات في المضلعات المحيطة بدائرة

تصميم مصور: صمم منصور الشعار المبين في الشكل المجاور، إذا كان ABC△ محيطًا بالدائرة G، فأوجد محيطه.

الخطوة 1: أوجد القياسات المجهولة. بما أن ABC△ يحيط بالدائرة G، فإن AD, AE مماسان للدائرة G، وكذلك BF, BE مماسان للدائرة G، و CD, CF مماسات أيضًا. إذن: AE ≅ AD, BF ≅ BE, CF ≅ CD لذا فإن: AE = AD = 8 ft, BF = BE = 7 ft وبتطبيق مسلمة جمع القطع المستقيمة ينتج أن CB = CF + FB إذن: CF = CB - FB = 10 - 7 = 3 ft ؛ لذا فإن: CD = CF = 3 ft

الخطوة 2: أوجد محيط ABC△. المحيط يساوي: AE + EB + BC + CD + DA = 8 + 7 + 10 + 3 + 8 = 36 إذن محيط ABC△ يساوي 36 ft.

تحقق من فهمك

الشكل الرباعي RSTU محيط بالدائرة J، إذا كان محيطه 18 وحدة، فأوجد قيمة x.

تأكد

ارسم المماسات المشتركة للدائرتين المجاورتين، وإذا لم يوجد مماس مشترك، فاكتب "لا يوجد مماس مشترك".

مثال 1

مثال 2

حدد ما إذا كانت FG في كل من الشكلين الآتيين مماسا للدائرة E أم لا، وبرر إجابتك.

212 الفصل 8 الدائرة

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

المضلعات المحيطة بدائرة: يُحيط المضلع بالدائرة، إذا كان كل ضلع من أضلاعه مماسا للدائرة. --- SECTION: تنبيه ! --- تحديد المضلعات المحيطة بدائرة: إذا مست الدائرة بعض أضلاع المضلع ولم تمسها جميعها، فلا يُعد المضلع محيطًا بالدائرة، وهذا ما يتضح في الجدول. يمكنك استعمال النظرية 8.11؛ لإيجاد قياسات مجهولة في المضلعات المحيطة بدائرة. --- SECTION: مثال 5 من واقع الحياة --- مثال 5 من واقع الحياة --- SECTION: إيجاد قياسات في المضلعات المحيطة بدائرة --- إيجاد قياسات في المضلعات المحيطة بدائرة --- SECTION: تصميم مصور --- تصميم مصور: صمم منصور الشعار المبين في الشكل المجاور، إذا كان ABC△ محيطًا بالدائرة G، فأوجد محيطه. --- SECTION: الخطوة 1 --- الخطوة 1: أوجد القياسات المجهولة. بما أن ABC△ يحيط بالدائرة G، فإن AD, AE مماسان للدائرة G، وكذلك BF, BE مماسان للدائرة G، و CD, CF مماسات أيضًا. إذن: AE ≅ AD, BF ≅ BE, CF ≅ CD لذا فإن: AE = AD = 8 ft, BF = BE = 7 ft وبتطبيق مسلمة جمع القطع المستقيمة ينتج أن CB = CF + FB إذن: CF = CB - FB = 10 - 7 = 3 ft ؛ لذا فإن: CD = CF = 3 ft --- SECTION: الخطوة 2 --- الخطوة 2: أوجد محيط ABC△. المحيط يساوي: AE + EB + BC + CD + DA = 8 + 7 + 10 + 3 + 8 = 36 إذن محيط ABC△ يساوي 36 ft. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك الشكل الرباعي RSTU محيط بالدائرة J، إذا كان محيطه 18 وحدة، فأوجد قيمة x. --- SECTION: تأكد --- تأكد ارسم المماسات المشتركة للدائرتين المجاورتين، وإذا لم يوجد مماس مشترك، فاكتب "لا يوجد مماس مشترك". --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 حدد ما إذا كانت FG في كل من الشكلين الآتيين مماسا للدائرة E أم لا، وبرر إجابتك. 2. الشكل (2) يوضح دائرة E مع خط FG. نصف قطر الدائرة EG = 6. طول EF = 10. طول GF = 12. 3. الشكل (3) يوضح دائرة E مع خط FG. نصف قطر الدائرة EG = 15. طول EF = 24. طول GF = 36. 212 الفصل 8 الدائرة وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: مضلعات محيطة بدائرة / مضلعات ليست محيطة بدائرة Description: A table with two columns. The left column, 'مضلعات محيطة بدائرة' (Polygons circumscribed about a circle), shows three diagrams: a triangle, a square, and a hexagon, each with an inscribed circle tangent to all sides. The right column, 'مضلعات ليست محيطة بدائرة' (Polygons not circumscribed about a circle), shows three similar polygons (triangle, square, hexagon) with an inscribed circle that is not tangent to all sides, illustrating cases where the polygon does not circumscribe the circle. Table Structure: Headers: مضلعات محيطة بدائرة | مضلعات ليست محيطة بدائرة Rows: Row 1: Diagram of triangle with inscribed circle tangent to all sides | Diagram of triangle with inscribed circle not tangent to all sides Row 2: Diagram of square with inscribed circle tangent to all sides | Diagram of square with inscribed circle not tangent to all sides Row 3: Diagram of hexagon with inscribed circle tangent to all sides | Diagram of hexagon with inscribed circle not tangent to all sides Context: Illustrates the definition of a polygon circumscribed about a circle by showing examples and counter-examples. **DIAGRAM**: الشعار المبين Description: A triangle labeled ABC with a circle G inscribed within it. The circle is tangent to the sides of the triangle at points D, E, and F. Side AB has tangent point E, side BC has tangent point F, and side AC has tangent point D. The lengths of the segments are given: AD = 8 ft, AE = 8 ft, BE = 7 ft, BF = 7 ft, BC = 10 ft. The segments CF and CD are not explicitly labeled with a number but are implied to be equal. Key Values: AD = 8 ft, AE = 8 ft, BE = 7 ft, BF = 7 ft, BC = 10 ft Context: Used to demonstrate finding unknown measurements and the perimeter of a polygon circumscribed about a circle, applying the property that tangent segments from an external point to a circle are congruent. **DIAGRAM**: الشكل الرباعي RSTU Description: A quadrilateral labeled RSTU with a circle J inscribed within it. The circle is tangent to the sides of the quadrilateral. The tangent points divide the sides into segments. The lengths of some segments are given: SA = 3, SD = 3, RD = 3, RC = 3. The segments UC, UB, TB, TA are all labeled with the variable 'x'. Key Values: SA = 3, SD = 3, RD = 3, RC = 3, UC = x, UB = x, TB = x, TA = x Context: Used to solve for an unknown variable 'x' given the perimeter of a circumscribed quadrilateral, applying the property of congruent tangent segments. **DIAGRAM**: الدائرتين المجاورتين Description: A diagram showing two circles that share the same center (concentric circles). The inner circle is smaller than the outer circle. No specific measurements are given. This visual is intended for a problem asking to draw common tangents. Context: Used to illustrate a scenario for drawing common tangents between two circles, specifically concentric circles where no common tangents exist. **DIAGRAM**: الشكل (2) Description: A circle labeled E with a line segment FG. Point G is on the circumference of the circle. A radius is drawn from the center E to point G, with length EG = 6. The distance from the center E to point F is EF = 10. The length of the segment FG is 12. This diagram is used to determine if FG is tangent to circle E. Key Values: EG = 6, EF = 10, GF = 12 Context: Used to apply the Pythagorean theorem to determine if a line segment is tangent to a circle. If EG² + GF² = EF², then FG is tangent to the circle at G. **DIAGRAM**: الشكل (3) Description: A circle labeled E with a line segment FG. Point G is on the circumference of the circle. A radius is drawn from the center E to point G, with length EG = 15. The distance from the center E to point F is EF = 24. The length of the segment FG is 36. This diagram is used to determine if FG is tangent to circle E. Key Values: EG = 15, EF = 24, GF = 36 Context: Used to apply the Pythagorean theorem to determine if a line segment is tangent to a circle. If EG² + GF² = EF², then FG is tangent to the circle at G.