المثال 5 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

المثال 5

إرشادات للدراسة تحديد المماسات: لا تفترض أن القطع المستقيمة مماسات لمجرد أنها تبدو في الشكل كذلك إلا إذا طلب إليك ذلك في السؤال. أو أن الشكل يحتوي على رمز الزاوية القائمة أو أن تكون الأطوال المبينة على الشكل تؤكد أن الزاوية قائمة.

إذا كان المضلع يحيط بالدائرة، فأوجد قيمة x، ثم أوجد محيط المضلع في كل من السؤالين الآتيين:

أوجد قيمة x، ثم أوجد محيط المضلع في كل من السؤالين الآتيين: (18)

أوجد قيمة x، ثم أوجد محيط المضلع في كل من السؤالين الآتيين: (19)

أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. (20)

أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. (21)

اكتب برهانًا من النوع المحدد في كل من السؤالين الآتيين:

اكتب برهانًا ذا عمودين للنظرية 8.11. المعطيات: AC مماس لـ H عند النقطة C. AB مماس لـ H عند النقطة B. المطلوب: AC ≅ AB.

الربط مع الحياة يوجد أكثر من 8000 قطعة كبيرة من الركام المداري كالأقمار الاصطناعية ومخلفاتها التي تدور حول الأرض بسرعة 8km في الثانية تقريبًا.

أقمار اصطناعية: يرتفع قمر اصطناعي مسافة 720km عن سطح الأرض التي نصف قطرها 6360km، ويمكن منه رؤية المنطقة التي تقع بين المماسين BA, BC من سطح الأرض. أوجد BA مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة.

برهان: اكتب برهانًا غير مباشر؛ لإثبات أنه إذا كان المستقيم l مماسًا للدائرة S عند T، فإنه يكون عموديًا على نصف قطرها ST (الجزء 1 من النظرية 8.10). المعطيات: l مماس للدائرة S عند T؛ ST نصف قطر في S. المطلوب: l ⊥ ST. (إرشاد: افترض أن l ليس عموديًا على ST).

برهان: اكتب برهانًا غير مباشر؛ لإثبات أنه إذا كان المستقيم عموديًا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التقائهما على الدائرة؛ فإنه مماس لهذه الدائرة. (الجزء 2 من النظرية 8.10). المعطيات: ST ⊥ l؛ ST نصف قطر في S. المطلوب: إثبات أن l مماس للدائرة S. (إرشاد: افترض أن l ليس مماسًا للدائرة S).

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

214 الفصل 8 الدائرة

--- SECTION: المثال 5 --- المثال 5 --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة تحديد المماسات: لا تفترض أن القطع المستقيمة مماسات لمجرد أنها تبدو في الشكل كذلك إلا إذا طلب إليك ذلك في السؤال. أو أن الشكل يحتوي على رمز الزاوية القائمة أو أن تكون الأطوال المبينة على الشكل تؤكد أن الزاوية قائمة. إذا كان المضلع يحيط بالدائرة، فأوجد قيمة x، ثم أوجد محيط المضلع في كل من السؤالين الآتيين: --- SECTION: 18 --- أوجد قيمة x، ثم أوجد محيط المضلع في كل من السؤالين الآتيين: (18) --- SECTION: 19 --- أوجد قيمة x، ثم أوجد محيط المضلع في كل من السؤالين الآتيين: (19) أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. --- SECTION: 20 --- أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. (20) --- SECTION: 21 --- أوجد قيمة x في كل من السؤالين الآتيين، مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، وقرب إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. (21) اكتب برهانًا من النوع المحدد في كل من السؤالين الآتيين: --- SECTION: 22 --- اكتب برهانًا ذا عمودين للنظرية 8.11. المعطيات: AC مماس لـ H عند النقطة C. AB مماس لـ H عند النقطة B. المطلوب: AC ≅ AB. --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة يوجد أكثر من 8000 قطعة كبيرة من الركام المداري كالأقمار الاصطناعية ومخلفاتها التي تدور حول الأرض بسرعة 8km في الثانية تقريبًا. --- SECTION: 23 --- أقمار اصطناعية: يرتفع قمر اصطناعي مسافة 720km عن سطح الأرض التي نصف قطرها 6360km، ويمكن منه رؤية المنطقة التي تقع بين المماسين BA, BC من سطح الأرض. أوجد BA مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة. --- SECTION: 24 --- برهان: اكتب برهانًا غير مباشر؛ لإثبات أنه إذا كان المستقيم l مماسًا للدائرة S عند T، فإنه يكون عموديًا على نصف قطرها ST (الجزء 1 من النظرية 8.10). المعطيات: l مماس للدائرة S عند T؛ ST نصف قطر في S. المطلوب: l ⊥ ST. (إرشاد: افترض أن l ليس عموديًا على ST). --- SECTION: 25 --- برهان: اكتب برهانًا غير مباشر؛ لإثبات أنه إذا كان المستقيم عموديًا على نصف قطر الدائرة عند نقطة التقائهما على الدائرة؛ فإنه مماس لهذه الدائرة. (الجزء 2 من النظرية 8.10). المعطيات: ST ⊥ l؛ ST نصف قطر في S. المطلوب: إثبات أن l مماس للدائرة S. (إرشاد: افترض أن l ليس مماسًا للدائرة S). وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 214 الفصل 8 الدائرة --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A triangle QRS with vertices Q, R, S. A circle W is inscribed within the triangle, tangent to sides QR, RS, and SQ at points U, V, T respectively. The lengths of the segments from the vertices to the tangent points are given. Data: Tangent segments from vertex Q are QU and QT. Tangent segments from vertex R are RU and RV. Tangent segments from vertex S are SV and ST. By tangent properties, QU = QT, RV = RU, ST = SV. Context: Illustrates the property that tangent segments from an external point to a circle are congruent, used to find unknown lengths and perimeter. **DIAGRAM**: Untitled Description: A quadrilateral ABCD with vertices A, B, C, D. A circle Q is inscribed within the quadrilateral, tangent to sides AB, BC, CD, and DA at points M, N, P, L respectively. The lengths of the segments from the vertices to the tangent points and the side lengths are labeled. Data: Tangent segments from vertex A are AL and AM. Tangent segments from vertex B are BM and BN. Tangent segments from vertex C are CN and CP. Tangent segments from vertex D are DP and DL. By tangent properties, AL = AM, BM = BN, CN = CP, DP = DL. The diagram labels AL=5, DL=6, CP=7, BN=x. It also labels side lengths AB=13, BC=x, CD=7, DA=6. Note: There is an apparent contradiction in the labeling if all given lengths are to be simultaneously true based on standard geometric properties (e.g., if AL=AM=5 and BN=BM=x, then AB=5+x. If AB is also labeled 13, then 5+x=13. If BC is labeled x, and BN=x, CN=7, then BC=x+7, leading to x=x+7 which is a contradiction). Context: Illustrates the property that tangent segments from an external point to a circle are congruent, used to find unknown lengths and perimeter of a circumscribed polygon. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two circles, A and B, are tangent to each other at point R. A common external tangent line passes through point T and is tangent to circle A at point Q and to circle B at point S. The length of segment TQ is 3x - 8 and the length of segment TS is x + 10. Data: Tangent segments from external point T to circle A are TQ and TR. Tangent segments from external point T to circle B are TS and TR. By tangent properties, TQ = TR and TS = TR, therefore TQ = TS. Context: Illustrates the property that tangent segments from an external point to a circle are congruent, applied to two circles tangent to each other and a common external tangent. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle Q with radius 4. An external point S is connected to the center Q. Two tangent segments from S to the circle are shown, tangent at points R and T. The length of segment SR is 5 and the length of segment ST is x. Data: Tangent segments from external point S to circle Q are SR and ST. By tangent properties, SR = ST. Context: Illustrates the property that tangent segments from an external point to a circle are congruent, used to find an unknown length. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle H with an external point A. Two tangent segments from A to the circle are shown, tangent at points B and C. Segments HB and HC are radii. Context: Visual aid for a proof demonstrating that tangent segments from an external point to a circle are congruent. **IMAGE**: Untitled Description: An image of a satellite in space, with Earth's atmosphere and stars in the background. The satellite appears to be orbiting Earth. Context: Provides a visual context for the satellite problem in question 23, illustrating a real-world application of geometry. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing Earth (represented as a circle with center E and radius 6360 km) and a satellite (point B) orbiting at a distance of 720 km from Earth's surface. Two tangent lines, BA and BC, are drawn from the satellite B to the Earth, tangent at points A and C respectively. These lines represent the lines of sight from the satellite to the Earth's surface. Context: Applies geometric properties of tangents and the Pythagorean theorem to a real-world scenario involving satellites and Earth's line of sight. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle S with a radius ST drawn to a point T on a line l. The line l appears to be tangent to the circle at T, and ST appears perpendicular to l, but no right angle symbol is explicitly shown. Context: Visual aid for a proof related to the perpendicularity of a radius to a tangent line. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle S with a radius ST drawn to a point T on a line l. A right angle symbol is shown at point T, indicating that the radius ST is perpendicular to the line l. Context: Visual aid for a proof related to the converse of the theorem about the perpendicularity of a radius to a tangent line.