📝 ملخص الصفحة
📚 استعمال القاطعين أو الوترين المتقاطعين
المفاهيم الأساسية
نظرية 8.12 (القاطعين أو الوترين المتقاطعين): قياس الزاوية المتكونة من تقاطع قاطعين أو وترين داخل أو خارج الدائرة يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها.
نظرية 8.13 (الزاوية المماسية): إذا تقاطع مماس وقاطع عند نقطة التماس، فإن قياس كل زاوية متكونة من التقاطع يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
خريطة المفاهيم
```markmap
القاطع والمماس وقياسات الزوايا
التقاطع داخل الدائرة أو عليها
حالة تقاطع قاطعين (أو وترين)
#### نظرية 8.12
##### الصيغة
m∠1 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{CD})m∠2 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{DA} + m\overset{\frown}{BC})
##### التعبير اللفظي
- قياس الزاوية المتكونة = نصف مجموع قياسي القوس المقابل لها والقوس المقابل للزاوية الرأسية لها.
التقاطع خارج الدائرة
حالة تقاطع قاطعين خارج الدائرة
#### تطبق نفس نظرية 8.12
##### الصيغة: m∠ = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{CD})
##### مثال: x° = \frac{1}{2}(84° + 130°) = 107°
الزاوية المماسية
حالة تقاطع مماس وقاطع عند نقطة التماس
#### نظرية 8.13
##### الصيغة
m∠1 = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{AB}m∠2 = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{ACB}
##### التعبير اللفظي
- قياس الزاوية = نصف قياس القوس المقابل.
```
نقاط مهمة
- نظرية 8.12 تنطبق على الزوايا المتكونة من تقاطع قاطعين (أو وترين) سواء كان التقاطع داخل أو خارج الدائرة.
- في حالة التقاطع خارج الدائرة، قد تحتاج أحياناً إلى استخدام مفهوم الزوايا المتكاملة (مجموعها 180°) لحل المسألة، كما في المثال 1ب.
- نظرية الزاوية المحيطية (8.6) تبقى صحيحة حتى لو كان أحد ضلعي الزاوية مماساً للدائرة، وتسمى في هذه الحالة الزاوية المماسية.
- إثبات نظرية 8.13 موجود في السؤال 27.
---
حل مثال
المثال 1: أوجد قيمة x
* (أ): تطبيق نظرية 8.12 مباشرة.
x° = \frac{1}{2}(84° + 130°) = \frac{1}{2}(214°) = 107°
* (ب): تطبيق نظرية 8.12 ثم استخدام الزوايا المتكاملة.
1. أوجد `m∠AEB`:
m∠AEB = \frac{1}{2}(143° + 75°) = \frac{1}{2}(218°) = 109°
2. أوجد `x` (قياس `∠DEB`):
x° = 180° - 109° = 71°
* طريقة بديلة: أوجد `x` مباشرة باستخدام نظرية 8.12 على الأقواس الأخرى.
m∠DEB = \frac{1}{2}(mAC + mBD) = \frac{1}{2}[360° - (143° + 75°)] = \frac{1}{2}(142°) = 71°
* (ج): تطبيق نظرية 8.12 لإيجاد قوس مجهول.
110° = \frac{1}{2}(x° + 97°)
220° = x° + 97°
x° = 123°
---
تحقق من فهمك
أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية:
* (1A): تطبيق نظرية 8.12 على وترين متقاطعين داخل الدائرة.
x° = \frac{1}{2}(47° + 116°) = \frac{1}{2}(163°) = 81.5°
* (1B): تطبيق نظرية 8.12 على قاطعين متقاطعين خارج الدائرة.
75° = \frac{1}{2}(x° + 55°)
150° = x° + 55°
x° = 95°
* (1C): تطبيق نظرية 8.12 على قاطعين متقاطعين خارج الدائرة.
154° = \frac{1}{2}(x° + 128°)
308° = x° + 128°
x° = 180°
📋 المحتوى المنظم
📖 محتوى تعليمي مفصّل
نوع: محتوى تعليمي
استعمال القاطعين أو الوترين المتقاطعين
مثال 1
نوع: محتوى تعليمي
مثال 1
نوع: محتوى تعليمي
أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية:
Example 1a Solution
نوع: محتوى تعليمي
النظرية 8.12
m∠TVU = ½ (mRS + mUT)
بالتعويض
x° = ½ (84° + 130°)
بالتبسيط
= ½ (214°) = 107°
Example 1b Solution
نوع: محتوى تعليمي
الخطوة 1: أوجد m∠AEB
النظرية 8.12
m∠AEB = ½ (mAB + mDC)
بالتعويض
= ½ (143° + 75°)
بالتبسيط
= ½ (218°) = 109°
الخطوة 2: أوجد قيمة x: أي قياس ∠DEB
∠AEB, ∠DEB زاويتان متكاملتان.
x° = 180° - 109° = 71°
إرشادات للدراسة
نوع: محتوى تعليمي
طريقة بديلة:
في المثال 1b، يمكنك إيجاد m∠DEB بحساب مجموع قياسي AC, BD أولاً.
mAC + mBD
= 360° - (mAB + mCD)
= 360° - (143° + 75°)
= 142°
m∠DEB
= ½ (mAC + mBD)
= ½ (142°) = 71°
Example 1c Solution
نوع: محتوى تعليمي
النظرية 8.12
m∠GLH = ½ (mHG + mKJ)
بالتعويض
110° = ½ (x° + 97°)
بضرب كلا الطرفين في 2
220° = (x° + 97°)
بطرح 97 من كلا الطرفين
123° = x°
تحقق من فهمك
نوع: محتوى تعليمي
تحقق من فهمك
نوع: محتوى تعليمي
أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية:
1A
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد قيمة x في الشكل 1A.
1B
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد قيمة x في الشكل 1B.
1C
نوع: QUESTION_HOMEWORK
أوجد قيمة x في الشكل 1C.
نوع: محتوى تعليمي
تذكر النظرية 8.6، والتي تنص على أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها، وتبقى هذه النظرية صحيحة إذا كان أحد ضلعي الزاوية مماسا للدائرة، وتسمى الزاوية في هذه الحالة الزاوية المماسية.
نظرية 8.13 نظرية الزاوية المماسية
نوع: محتوى تعليمي
التعبير اللفظي: إذا تقاطع مماس وقاطع عند نقطة التماس، فإن قياس كل زاوية متكونة من التقاطع يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
مثال:
m∠1 = ½ mAB و m∠2 = ½ mACB
نوع: محتوى تعليمي
ستبرهن النظرية 8.13 في السؤال 27
نوع: محتوى تعليمي
الدرس 8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا
نوع: METADATA
217
نوع: METADATA
وزارة التعليم
🔍 عناصر مرئية
A circle with center V. Two chords intersect inside the circle at V. Points R, S, T, U are on the circle. Arc RS measures 84°. Arc UT measures 130°. An angle labeled x° is formed by the intersecting chords at V.
A circle with two secants intersecting outside the circle at point E. Points A, B, C, D are on the circle. Arc AB measures 143°. Arc CD measures 75°. An angle labeled x° is formed by the intersecting secants outside the circle (angle DEB).
A circle with two secants intersecting outside the circle at point L. Points G, H, J, K are on the circle. Arc HG is labeled x°. Arc KJ measures 97°. The angle formed by the intersecting secants outside the circle (angle GLH) measures 110°.
A circle with two chords intersecting inside. Points G, H, J, K, L are on the circle. Arc HJ measures 47°. Arc GK measures 116°. An angle labeled x° is formed by the intersecting chords.
A circle with two secants intersecting outside the circle. Points M, N, P, Q are on the circle. Arc MN is labeled x°. Arc PQ measures 55°. The angle formed by the intersecting secants outside the circle measures 75°.
A circle with two secants intersecting outside the circle. Points W, X, Y, Z are on the circle. Arc WX is labeled x°. Arc YZ measures 128°. The angle formed by the intersecting secants outside the circle measures 154°.
A circle with a tangent line and a secant line intersecting at point A on the circle. Points B and C are on the circle. Angle 1 is formed by the tangent and chord AB. Angle 2 is formed by the tangent and chord AC. Arc AB is indicated. Arc ACB is indicated.
📄 النص الكامل للصفحة
استعمال القاطعين أو الوترين المتقاطعين
--- SECTION: مثال 1 ---
مثال 1
أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية:
--- SECTION: Example 1a Solution ---
النظرية 8.12
m∠TVU = ½ (mRS + mUT)
بالتعويض
x° = ½ (84° + 130°)
بالتبسيط
= ½ (214°) = 107°
--- SECTION: Example 1b Solution ---
الخطوة 1: أوجد m∠AEB
النظرية 8.12
m∠AEB = ½ (mAB + mDC)
بالتعويض
= ½ (143° + 75°)
بالتبسيط
= ½ (218°) = 109°
الخطوة 2: أوجد قيمة x: أي قياس ∠DEB
∠AEB, ∠DEB زاويتان متكاملتان.
x° = 180° - 109° = 71°
--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
طريقة بديلة:
في المثال 1b، يمكنك إيجاد m∠DEB بحساب مجموع قياسي AC, BD أولاً.
mAC + mBD
= 360° - (mAB + mCD)
= 360° - (143° + 75°)
= 142°
m∠DEB
= ½ (mAC + mBD)
= ½ (142°) = 71°
--- SECTION: Example 1c Solution ---
النظرية 8.12
m∠GLH = ½ (mHG + mKJ)
بالتعويض
110° = ½ (x° + 97°)
بضرب كلا الطرفين في 2
220° = (x° + 97°)
بطرح 97 من كلا الطرفين
123° = x°
--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك
أوجد قيمة x في كل من الأشكال الآتية:
--- SECTION: 1A ---
أوجد قيمة x في الشكل 1A.
--- SECTION: 1B ---
أوجد قيمة x في الشكل 1B.
--- SECTION: 1C ---
أوجد قيمة x في الشكل 1C.
تذكر النظرية 8.6، والتي تنص على أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها، وتبقى هذه النظرية صحيحة إذا كان أحد ضلعي الزاوية مماسا للدائرة، وتسمى الزاوية في هذه الحالة الزاوية المماسية.
--- SECTION: نظرية 8.13 نظرية الزاوية المماسية ---
التعبير اللفظي: إذا تقاطع مماس وقاطع عند نقطة التماس، فإن قياس كل زاوية متكونة من التقاطع يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
مثال:
m∠1 = ½ mAB و m∠2 = ½ mACB
ستبرهن النظرية 8.13 في السؤال 27
الدرس 8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا
217
وزارة التعليم
--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with center V. Two chords intersect inside the circle at V. Points R, S, T, U are on the circle. Arc RS measures 84°. Arc UT measures 130°. An angle labeled x° is formed by the intersecting chords at V.
Key Values: mRS = 84°, mUT = 130°, Angle formed by chords = x°
Context: Illustrates Theorem 8.12 for angles formed by intersecting chords inside a circle.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secants intersecting outside the circle at point E. Points A, B, C, D are on the circle. Arc AB measures 143°. Arc CD measures 75°. An angle labeled x° is formed by the intersecting secants outside the circle (angle DEB).
Key Values: mAB = 143°, mCD = 75°, Angle formed by secants = x°
Context: Illustrates Theorem 8.12 for angles formed by intersecting secants outside a circle.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secants intersecting outside the circle at point L. Points G, H, J, K are on the circle. Arc HG is labeled x°. Arc KJ measures 97°. The angle formed by the intersecting secants outside the circle (angle GLH) measures 110°.
Key Values: mHG = x°, mKJ = 97°, m∠GLH = 110°
Context: Illustrates Theorem 8.12 for finding an unknown arc measure when the angle and another arc are known.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two chords intersecting inside. Points G, H, J, K, L are on the circle. Arc HJ measures 47°. Arc GK measures 116°. An angle labeled x° is formed by the intersecting chords.
Key Values: mHJ = 47°, mGK = 116°, Angle formed by chords = x°
Context: Exercise applying Theorem 8.12 for angles formed by intersecting chords inside a circle.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secants intersecting outside the circle. Points M, N, P, Q are on the circle. Arc MN is labeled x°. Arc PQ measures 55°. The angle formed by the intersecting secants outside the circle measures 75°.
Key Values: mMN = x°, mPQ = 55°, Angle formed by secants = 75°
Context: Exercise applying Theorem 8.12 for angles formed by intersecting secants outside a circle.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with two secants intersecting outside the circle. Points W, X, Y, Z are on the circle. Arc WX is labeled x°. Arc YZ measures 128°. The angle formed by the intersecting secants outside the circle measures 154°.
Key Values: mWX = x°, mYZ = 128°, Angle formed by secants = 154°
Context: Exercise applying Theorem 8.12 for finding an unknown arc measure when the angle and another arc are known.
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with a tangent line and a secant line intersecting at point A on the circle. Points B and C are on the circle. Angle 1 is formed by the tangent and chord AB. Angle 2 is formed by the tangent and chord AC. Arc AB is indicated. Arc ACB is indicated.
Key Values: m∠1, m∠2, mAB, mACB
Context: Illustrates Theorem 8.13 (Tangent Angle Theorem) showing the relationship between the angle formed by a tangent and a chord, and its intercepted arc.