فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 القاطع والمماس وقياسات الزوايا

المفاهيم الأساسية

القاطع (Secant): مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين فقط.

خريطة المفاهيم

```markmap

القاطع والمماس وقياسات الزوايا

التقاطع داخل الدائرة أو عليها

حالة تقاطع قاطعين (أو وترين)

#### نظرية 8.12

##### الصيغة

• m∠1 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{CD})
• m∠2 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{DA} + m\overset{\frown}{BC})

##### التعبير اللفظي

• قياس الزاوية المتكونة = نصف مجموع قياسي القوس المقابل لها والقوس المقابل للزاوية الرأسية لها.

التقاطع خارج الدائرة

(مذكور كهدف للدرس)

```

نقاط مهمة

• الهدف من الدرس: إيجاد قياسات الزوايا الناتجة عن تقاطع مستقيمين (قاطعين أو مماسين) داخل الدائرة أو عليها أو خارجها.
• تطبيق واقعي: زاوية رؤية آلة التصوير (20° - 50°) أضيق من مجال رؤية الإنسان (~180°)، ويتم تحديدها بواسطة مماسات للجسم المنحني.
• تمهيد: في الدرس السابق (8-5) تم دراسة أطوال القطع المستقيمة الناتجة عن مماسات الدائرة.

---

حل مثال

تحليل المحتوى: تحتوي البيانات على قسم بعنوان "مثال" (order 11) وقسم بعنوان "برهان" (order 12). لا توجد بيانات فعلية لمسألة مثال (مثل معطيات رقمية أو شكل مع قياسات) لحلها. المحتوى الموجود تحت عنوان "مثال" هو بداية عرض برهان نظرية 8.12.

الاستنتاج: الصفحة 216 لا تحتوي على "مثال" تطبيقي لحل مسألة، بل تحتوي على برهان رياضي للنظرية. لذلك، لا يمكن تقديم "حل مثال" بالمعنى المعتاد.

ملخص البرهان الموجود في الصفحة:

* المعطيات: قاطعان للدائرة هما `BD` و `AC` يتقاطعان داخلها في النقطة `M`.

* المطلوب إثباته: m∠1 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{CD})

* خطوات البرهان:

1. رسم القطعة المساعدة `BC` لتكوين المثلث `MBC`.

2. الزاوية ∠1 هي زاوية خارجة للمثلث `MBC`، لذا: `m∠1 = m∠MBC + m∠MCB` (نظرية الزاوية الخارجة).

3. الزاويتان ∠MBC و ∠MCB زاويتان محيطيتان، قياس كل منهما يساوي نصف قياس القوس المقابل:

* `m∠MBC = ½ mDC`

* `m∠MCB = ½ mBA`

4. بالتعويض في الخطوة 2: `m∠1 = ½ mDC + ½ mBA`

5. بأخذ `½` عاملًا مشتركًا: `m∠1 = ½ (mDC + mBA)` وهو المطلوب إثباته (حيث `mDC + mBA = mAB + mCD`).

8-6

القاطع والمماس وقياسات الزوايا Secant, Tangent, and Angle Measures

درست إيجاد أطوال القطع المستقيمة المتكونة من مماسات للدائرة. (الدرس 8-5)

أجد قياسات الزوايا المتكونة من مستقيمين يتقاطعان داخل الدائرة أو عليها. أجد قياسات الزوايا المتكونة من مستقيمين يتقاطعان خارج الدائرة.

القاطع secant

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

معدل مجال الرؤية عند الإنسان يساوي 180° تقريبًا، ولكن زاوية الرؤية في معظم آلات التصوير أضيق من ذلك بكثير، فهي تتراوح بين 20° و 50°. وتُحدّد زاوية الرؤية في آلات التصوير مقدار ما يمكن أن تلتقطه آلة التصوير على الفيلم من الأجسام المنحنية.

المستقيم الذي يقطع الدائرة في نقطتين فقط، فالمستقيمان J, K هما قاطعان للدائرة C. عندما يتقاطع قاطعان داخل دائرة؛ فإن الزوايا المتكونة ترتبط بالأقواس التي تقابلها.

التعبير اللفظي: إذا تقاطع قاطعان أو وتران داخل دائرة، فإن قياس الزاوية المتكونة من التقاطع يساوي نصف مجموع قياسي القوس المقابل لهذه الزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس.

m∠1 = ½(mAB + mCD) و m∠2 = ½(mDA + mBC)

مثال

برهان

BD, AC قاطعان للدائرة ويتقاطعان داخلها في M.

m∠1 = ½(mAB + mCD)

تعلم أن BD, AC قاطعان للدائرة، وأنهما يتقاطعان داخلها في M. ارسم القطعة المستقيمة BC؛ لتحصل على المثلث MBC وهذا سيقودنا إلى ما يلي:

216 الفصل 8 الدائرة Ministry of Education 2025 - 1447

8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا Secant, Tangent, and Angle Measures --- SECTION: فيما سبق --- درست إيجاد أطوال القطع المستقيمة المتكونة من مماسات للدائرة. (الدرس 8-5) --- SECTION: والآن --- أجد قياسات الزوايا المتكونة من مستقيمين يتقاطعان داخل الدائرة أو عليها. أجد قياسات الزوايا المتكونة من مستقيمين يتقاطعان خارج الدائرة. --- SECTION: المفردات --- القاطع secant رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: لماذا؟ --- معدل مجال الرؤية عند الإنسان يساوي 180° تقريبًا، ولكن زاوية الرؤية في معظم آلات التصوير أضيق من ذلك بكثير، فهي تتراوح بين 20° و 50°. وتُحدّد زاوية الرؤية في آلات التصوير مقدار ما يمكن أن تلتقطه آلة التصوير على الفيلم من الأجسام المنحنية. --- SECTION: التقاطع على الدائرة أو داخلها --- المستقيم الذي يقطع الدائرة في نقطتين فقط، فالمستقيمان J, K هما قاطعان للدائرة C. عندما يتقاطع قاطعان داخل دائرة؛ فإن الزوايا المتكونة ترتبط بالأقواس التي تقابلها. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- التعبير اللفظي: إذا تقاطع قاطعان أو وتران داخل دائرة، فإن قياس الزاوية المتكونة من التقاطع يساوي نصف مجموع قياسي القوس المقابل لهذه الزاوية والقوس المقابل للزاوية التي تقابلها بالرأس. --- SECTION: نظرية 8.12 --- m∠1 = ½(mAB + mCD) و m∠2 = ½(mDA + mBC) --- SECTION: مثال --- مثال --- SECTION: برهان --- برهان --- SECTION: المعطيات --- BD, AC قاطعان للدائرة ويتقاطعان داخلها في M. --- SECTION: المطلوب --- m∠1 = ½(mAB + mCD) --- SECTION: البرهان --- تعلم أن BD, AC قاطعان للدائرة، وأنهما يتقاطعان داخلها في M. ارسم القطعة المستقيمة BC؛ لتحصل على المثلث MBC وهذا سيقودنا إلى ما يلي: --- SECTION: العبارات والمبررات --- 216 الفصل 8 الدائرة Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: Untitled Description: A square black and white QR code with the text 'رابط الدرس الرقمي' above it and 'www.ien.edu.sa' below it. It provides a digital link. Context: Provides a digital link for the lesson content. **IMAGE**: Untitled Description: An image showing two young men, possibly students, looking at a digital camera. One student is holding the camera and pointing at something, while the other is looking at the camera's screen or lens. They appear to be engaged in an activity related to photography or optics. Context: Illustrates the concept of 'زاوية الرؤية' (angle of view) mentioned in the 'لماذا؟' section. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a camera on the left, with two dashed lines extending from its lens towards a two-tiered cake on a stand on the right. The dashed lines are labeled 'خطا النظر هما مماسان للجسم المنحني' (The lines of sight are tangents to the curved object). The lines appear to be tangent to the top and bottom edges of the cake, illustrating how the camera captures a specific field of view. Context: Visually explains the concept of tangent lines in the context of a camera's angle of view, relating to the 'لماذا؟' section. **DIAGRAM**: Untitled Description: A blue circle with its center labeled 'C'. Two red lines, labeled 'J' and 'K', pass through the circle, intersecting it at two points each. These lines are secants to the circle and extend beyond its circumference. Context: Illustrates the definition of a secant line as described in the 'التقاطع على الدائرة أو داخلها' section. **DIAGRAM**: Untitled Description: A red circle with four points A, B, C, D on its circumference. Two chords, AC and BD, intersect inside the circle. The intersection creates four angles. Two of these angles are labeled '1' and '2'. Angle 1 is formed by arcs AB and CD. Angle 2 is formed by arcs DA and BC. This diagram visually represents the theorem that the measure of an angle formed by two intersecting chords inside a circle is half the sum of the measures of the arcs intercepted by the angle and its vertical angle. Context: Provides a visual aid for understanding 'نظرية 8.12' and the formulas m∠1 = ½(mAB + mCD) and m∠2 = ½(mDA + mBC). **DIAGRAM**: Untitled Description: A red circle with four points A, B, C, D on its circumference. Two chords, AC and BD, intersect inside the circle at point M. An angle formed by the intersection is labeled '1'. A dashed line segment connects points B and C, forming triangle MBC. This diagram is used to illustrate the proof steps for the theorem m∠1 = ½(mAB + mCD). Context: Provides a visual representation for the geometric proof presented in the 'برهان' section.