مثال 2 - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 التقاطع خارج الدائرة

المفاهيم الأساسية

نظرية 8.14: إذا تقاطع قاطعان أو قاطع ومماس أو مماسان في نقطة خارج دائرة، فإن قياس الزاوية المتكونة يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها.

خريطة المفاهيم

```markmap

القاطع والمماس وقياسات الزوايا

التقاطع داخل الدائرة أو عليها

حالة تقاطع قاطعين (أو وترين)

#### نظرية 8.12

##### الصيغة

• m∠1 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{CD})
• m∠2 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{DA} + m\overset{\frown}{BC})

##### التعبير اللفظي

• قياس الزاوية المتكونة = نصف مجموع قياسي القوس المقابل لها والقوس المقابل للزاوية الرأسية لها.

التقاطع خارج الدائرة

حالة تقاطع قاطعين خارج الدائرة

#### تطبق نفس نظرية 8.12

##### الصيغة: m∠ = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{CD})

##### مثال: x° = \frac{1}{2}(84° + 130°) = 107°

الزاوية المماسية

حالة تقاطع مماس وقاطع عند نقطة التماس

#### نظرية 8.13

##### الصيغة

• m∠1 = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{AB}
• m∠2 = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{ACB}

##### التعبير اللفظي

• قياس الزاوية = نصف قياس القوس المقابل.

التقاطع خارج الدائرة (نظرية 8.14)

الحالات

#### قاطعان

##### الصيغة: m∠A = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{DE} - m\overset{\frown}{BC})

#### قاطع ومماس

##### الصيغة: m∠A = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{DC} - m\overset{\frown}{BC})

#### مماسان

##### الصيغة: m∠A = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{BDC} - m\overset{\frown}{BC})

إرشادات للدراسة

#### القيمة المطلقة

• يمكن التعبير عن قياس ∠A في الحالات جميعها بنصف القيمة المطلقة للفرق بين قياسي القوسين.
• لا يؤثر ترتيب القوسين في نتيجة الحسابات.

```

نقاط مهمة

• نظرية 8.14 تغطي ثلاث حالات للتقاطع خارج الدائرة: قاطعان، قاطع ومماس، مماسان.
• القاعدة العامة: قياس الزاوية = نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين.
• يمكن استخدام القيمة المطلقة للفرق لضمان أن النتيجة موجبة، بغض النظر عن ترتيب طرح القوسين.

---

حل مثال

المثال 2: استعمال القاطع والمماس المتقاطعين

أ) أوجد m∠QPR

* المعطى: قوس PR = 148°.

* الحل: بتطبيق نظرية 8.13 (زاوية مماسية):

m∠QPR = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{PR} = \frac{1}{2} \times 148° = 74°

ب) أوجد mDEF

* المعطى: الزاوية المتكونة من تقاطع القاطعين m∠CDF = 64°.

* الحل:

1. بتطبيق نظرية 8.13 (زاوية متكونة من تقاطع قاطعين داخل الدائرة):

m∠CDF = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{FD}

64° = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{FD}

2. بضرب الطرفين في 2:

m\overset{\frown}{FD} = 128°

3. القوس DEF هو القوس الكبير المقابل للقوس FD:

m\overset{\frown}{DEF} = 360° - m\overset{\frown}{FD} = 360° - 128° = 232°

---

تحقق من فهمك

2A) أوجد m∠JLK

* المعطى: قوس JK = 116°.

* الحل: الزاوية JLK زاوية مماسية (مماس وقاطع يلتقيان عند نقطة التماس J).

m∠JLK = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{JK} = \frac{1}{2} \times 116° = 58°

2B) إذا كان mQTS = 238°، فأوجد m∠RQS

* المعطى: قوس QTS = 238°.

* الحل: الزاوية RQS زاوية محيطية تقابل القوس RS.

1. القوس QS هو مكمل القوس QTS:

m\overset{\frown}{QS} = 360° - m\overset{\frown}{QTS} = 360° - 238° = 122°

2. الزاوية RQS زاوية محيطية تقابل القوس QS:

m∠RQS = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{QS} = \frac{1}{2} \times 122° = 61°

مثال 2 استعمال القاطع والمماس المتقاطعين

أوجد كلاً من القياسات الآتية: m∠QPR

النظرية 8.13 m∠QPR = ½ mPR = ½ (148°) = 74°

mDEF

النظرية 8.13 m∠CDF = ½ mFD 64° = ½ mFD بضرب كلا الطرفين في 2 128° = mFD mDEF = 360° - mFD = 360° - 128° = 232°

تحقق من فهمك

أوجد m∠JLK

إذا كان: mQTS = 238°، فأوجد m∠RQS

التقاطع خارج الدائرة: يمكن أن يتقاطع قاطعان أو قاطع ومماس أو مماسان خارج الدائرة أيضًا، وهنا يرتبط قياس الزوايا المتكونة بقياسي القوسين المقابلين لها.

أضف إلى مطويتك

نظرية 8.14 التعبير اللفظي: إذا تقاطع قاطعان أو قاطع ومماس أو مماسان في نقطة خارج دائرة، فإن قياس الزاوية المتكونة يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها.

أمثلة:

قاطعان m∠A = ½ (mDE - mBC)

قاطع ومماس m∠A = ½ (mDC - mBC)

مماسان m∠A = ½ (mBDC - mBC)

ستبرهن النظرية 8.14 في الأسئلة 24-26

إرشادات للدراسة القيمة المطلقة: يمكن التعبير عن قياس ∠A في الحالات جميعها بنصف القيمة المطلقة للفرق بين قياسي القوسين، وهكذا لا يؤثر ترتيب القوسين في نتيجة الحسابات.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

218 الفصل 8 الدائرة

--- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 استعمال القاطع والمماس المتقاطعين --- SECTION: a --- أوجد كلاً من القياسات الآتية: m∠QPR a. m∠QPR النظرية 8.13 m∠QPR = ½ mPR = ½ (148°) = 74° --- SECTION: b --- mDEF b. mDEF النظرية 8.13 m∠CDF = ½ mFD 64° = ½ mFD بضرب كلا الطرفين في 2 128° = mFD mDEF = 360° - mFD = 360° - 128° = 232° --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 2A --- أوجد m∠JLK --- SECTION: 2B --- إذا كان: mQTS = 238°، فأوجد m∠RQS --- SECTION: التقاطع خارج الدائرة --- التقاطع خارج الدائرة: يمكن أن يتقاطع قاطعان أو قاطع ومماس أو مماسان خارج الدائرة أيضًا، وهنا يرتبط قياس الزوايا المتكونة بقياسي القوسين المقابلين لها. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: نظرية 8.14 --- نظرية 8.14 التعبير اللفظي: إذا تقاطع قاطعان أو قاطع ومماس أو مماسان في نقطة خارج دائرة، فإن قياس الزاوية المتكونة يساوي نصف الفرق الموجب بين قياسي القوسين المقابلين لها. --- SECTION: أمثلة --- أمثلة: --- SECTION: قاطعان --- قاطعان m∠A = ½ (mDE - mBC) --- SECTION: قاطع ومماس --- قاطع ومماس m∠A = ½ (mDC - mBC) --- SECTION: مماسان --- مماسان m∠A = ½ (mBDC - mBC) ستبرهن النظرية 8.14 في الأسئلة 24-26 --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة القيمة المطلقة: يمكن التعبير عن قياس ∠A في الحالات جميعها بنصف القيمة المطلقة للفرق بين قياسي القوسين، وهكذا لا يؤثر ترتيب القوسين في نتيجة الحسابات. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 218 الفصل 8 الدائرة --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center not explicitly marked. A tangent line passes through point P on the circle and extends to point Q. A secant line passes through point P and point S on the circle, extending to point R outside the circle. Arc PR is labeled as 148°. Angle QPR is formed by the tangent segment QP and the secant segment PR. Key Values: mPR = 148° Context: Illustrates Theorem 8.13 for an angle formed by a tangent and a secant intersecting on the circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center not explicitly marked. Two secant lines intersect inside the circle. One secant passes through points F and D on the circle. The other secant passes through points E and C on the circle. An angle formed by the intersection of the secants is labeled 64°. This angle is vertically opposite to the angle subtending arc FD. Key Values: Angle = 64° Context: Illustrates Theorem 8.13 for an angle formed by two secants intersecting inside the circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center not explicitly marked. A tangent line passes through point J on the circle and extends to point H. A secant line passes through point J and point K on the circle, extending to point L outside the circle. Arc JK is labeled as 116°. Angle JLK is formed by the tangent segment HL and the secant segment JL. Key Values: mJK = 116° Context: Problem to find the measure of an angle formed by a tangent and a secant intersecting on the circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with center not explicitly marked. Two secant lines intersect inside the circle. One secant passes through points Q and S on the circle. The other secant passes through points R and T on the circle. Arc QTS is labeled as 238°. Angle RQS is an inscribed angle. Key Values: mQTS = 238° Context: Problem to find the measure of an inscribed angle given the measure of its intercepted arc. **DIAGRAM**: قاطعان Description: A circle with center not explicitly marked. Two secant lines intersect at point A outside the circle. One secant passes through points B and C on the circle, extending to A. The other secant passes through points D and E on the circle, extending to A. Arc DE is the larger intercepted arc, and arc BC is the smaller intercepted arc. The angle formed at A is m∠A. Context: Illustrates the case of two secants intersecting outside a circle for Theorem 8.14. **DIAGRAM**: قاطع ومماس Description: A circle with center not explicitly marked. A secant line passes through points B and C on the circle, extending to point A outside the circle. A tangent line touches the circle at point D and extends to point A. Arc DC is the larger intercepted arc, and arc BC is the smaller intercepted arc. The angle formed at A is m∠A. Context: Illustrates the case of a secant and a tangent intersecting outside a circle for Theorem 8.14. **DIAGRAM**: مماسان Description: A circle with center not explicitly marked. Two tangent lines touch the circle at points B and C, and intersect at point A outside the circle. Arc BDC is the major intercepted arc, and arc BC is the minor intercepted arc. The angle formed at A is m∠A. Context: Illustrates the case of two tangents intersecting outside a circle for Theorem 8.14.