استعمال المماسات والقواطع التي تتقاطع خارج الدائرة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 استعمال المماسات والقواطع التي تتقاطع خارج الدائرة

المفاهيم الأساسية

نظرية 8.14: قياس الزاوية المتكونة من تقاطع قاطعين، أو قاطع ومماس، أو مماسين خارج الدائرة يساوي نصف الفرق بين قياسي القوسين المقابلين لها.

خريطة المفاهيم

```markmap

القاطع والمماس وقياسات الزوايا

التقاطع داخل الدائرة أو عليها

حالة تقاطع قاطعين (أو وترين)

#### نظرية 8.12

##### الصيغة

• m∠1 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{CD})
• m∠2 = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{DA} + m\overset{\frown}{BC})

##### التعبير اللفظي

• قياس الزاوية المتكونة = نصف مجموع قياسي القوس المقابل لها والقوس المقابل للزاوية الرأسية لها.

التقاطع خارج الدائرة

حالة تقاطع قاطعين خارج الدائرة

#### تطبق نفس نظرية 8.12

##### الصيغة: m∠ = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AB} + m\overset{\frown}{CD})

##### مثال: x° = \frac{1}{2}(84° + 130°) = 107°

الزاوية المماسية

حالة تقاطع مماس وقاطع عند نقطة التماس

#### نظرية 8.13

##### الصيغة

• m∠1 = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{AB}
• m∠2 = \frac{1}{2} m\overset{\frown}{ACB}

##### التعبير اللفظي

• قياس الزاوية = نصف قياس القوس المقابل.

التقاطع خارج الدائرة (نظرية 8.14)

الحالات

#### قاطعان

##### الصيغة: m∠A = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{DE} - m\overset{\frown}{BC})

#### قاطع ومماس

##### الصيغة: m∠A = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{DC} - m\overset{\frown}{BC})

#### مماسان

##### الصيغة: m∠A = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{BDC} - m\overset{\frown}{BC})

إرشادات للدراسة

#### القيمة المطلقة

• يمكن التعبير عن قياس ∠A في الحالات جميعها بنصف القيمة المطلقة للفرق بين قياسي القوسين.
• لا يؤثر ترتيب القوسين في نتيجة الحسابات.

تطبيق خصائص القواطع المتقاطعة خارج الدائرة

تطبيق في مسائل واقعية

#### مثال: انكسار الضوء في قطرة ماء

##### الصيغة المستخدمة: m∠D = \frac{1}{2}(m\overset{\frown}{AC} - m\overset{\frown}{XY})

```

نقاط مهمة

• نظرية 8.14 هي الأساس لحساب قياس الزاوية أو القوس عند التقاطع خارج الدائرة.
• يمكن تطبيق النظرية على مسائل من واقع الحياة، مثل حساب زاوية انحراف الضوء.
• عند حل المسائل، يتم التعويض المباشر في صيغة النظرية ثم إجراء العمليات الحسابية.

---

حل مثال

مثال 3:

* (أ) أوجد m∠L:

* المعطيات: m arc HK = 102°

* الحل:

1. m arc HJK = 360° - 102° = 258°

2. طبق نظرية 8.14: m∠L = ½ (mHJK - mHK)

3. بالتعويض: m∠L = ½ (258° - 102°)

4. بالتبسيط: m∠L = ½ × 156° = 78°

* (ب) أوجد mCD:

* المعطيات: m∠A = 56° ، m arc BC = 95°

* الحل:

1. طبق نظرية 8.14: m∠A = ½ (mCD - mBC)

2. بالتعويض: 56° = ½ (mCD - 95°)

3. بضرب الطرفين في 2: 112° = mCD - 95°

4. بإضافة 95° للطرفين: mCD = 207°

مثال 4 (علوم):

* المعطيات: m arc AC = 128° ، m arc XY = 84°

* المطلوب: m∠D

* الحل:

1. طبق نظرية 8.14: m∠D = ½ (mAC - mXY)

2. بالتعويض: m∠D = ½ (128° - 84°)

3. بالتبسيط: m∠D = ½ × 44° = 22°

---

تحقق من فهمك

3A) أوجد m∠S:

* المعطيات (من الرسم): m arc UT = 71° ، m arc URT = 179°

* الحل:

1. طبق نظرية 8.14 (حالة قاطع ومماس): m∠S = ½ (mURT - mUT)

2. بالتعويض: m∠S = ½ (179° - 71°)

3. بالتبسيط: m∠S = ½ × 108° = 54°

3B) أوجد mXZ:

* المعطيات (من الرسم): m∠Y = 68° ، m arc WZ = 224°

* الحل:

1. طبق نظرية 8.14 (حالة قاطعان): m∠Y = ½ (mXZ - mWZ)

2. بالتعويض: 68° = ½ (mXZ - 224°)

3. بضرب الطرفين في 2: 136° = mXZ - 224°

4. بإضافة 224° للطرفين: mXZ = 360°

* ملاحظة: نتيجة 360° تعني أن القوس XZ هو الدائرة بأكملها، وهو أمر ممكن هندسياً.

4) أوجد قيمة x:

* المعطيات (من الرسم): m∠V = 25° ، m arc WX = 110° ، m arc ZY = x°

* الحل:

1. طبق نظرية 8.14 (حالة قاطعان): m∠V = ½ (mWX - mZY)

2. بالتعويض: 25° = ½ (110° - x°)

3. بضرب الطرفين في 2: 50° = 110° - x°

4. بإعادة الترتيب: x° = 110° - 50°

5. بالتبسيط: x = 60

استعمال المماسات والقواطع التي تتقاطع خارج الدائرة

مثال 3

أوجد كلاً من القياسين الآتيين:

m∠L (a) نظرية 8.14: m∠L = ½ (mHJK - mHK) بالتعويض: = ½ [(360° - 102°) - 102°] بالتبسيط: = ½ (258° - 102°) = 78°

mCD (b) نظرية 8.14: m∠A = ½ (mCD - mBC) بالتعويض: 56° = ½ (mCD - 95°) بضرب كلا الطرفين في 2: 112° = mCD - 95° بإضافة 95 لكلا الطرفين: 207° = mCD

تحقق من فهمك

m∠S (3A)

mXZ (3B)

يمكنك تطبيق خصائص القواطع المتقاطعة، لحل مسائل من واقع الحياة.

مثال 4

تطبيق خصائص القواطع المتقاطعة خارج الدائرة

علوم: يبين الشكل أدناه انكسار شعاع ضوء في قطرة ماء، وانحرافه عن مساره عند النقاط C, B, A، إذا كان mXY = 84° و mAC = 128°، فما قيمة m∠D؟ نظرية 8.14: m∠D = ½ (mAC - mXY) بالتعويض: = ½ (128° - 84°) بالتبسيط: = ½ (44°) = 22°

تحقق من فهمك

4) أوجد قيمة x في الشكل المجاور.

الربط مع الحياة يتفاوت معامل الانكسار من وسط إلى آخر، ويعبر عن معامل الانكسار N لوسط شفاف ما بالصيغة N = c/v ، حيث c سرعة الضوء في الفراغ و v سرعة الضوء في ذلك الوسط.

الدرس 8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا 219 of 2025 - 1447

--- SECTION: استعمال المماسات والقواطع التي تتقاطع خارج الدائرة --- استعمال المماسات والقواطع التي تتقاطع خارج الدائرة --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3 أوجد كلاً من القياسين الآتيين: --- SECTION: a --- m∠L (a) نظرية 8.14: m∠L = ½ (mHJK - mHK) بالتعويض: = ½ [(360° - 102°) - 102°] بالتبسيط: = ½ (258° - 102°) = 78° --- SECTION: b --- mCD (b) نظرية 8.14: m∠A = ½ (mCD - mBC) بالتعويض: 56° = ½ (mCD - 95°) بضرب كلا الطرفين في 2: 112° = mCD - 95° بإضافة 95 لكلا الطرفين: 207° = mCD --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3A --- m∠S (3A) --- SECTION: 3B --- mXZ (3B) يمكنك تطبيق خصائص القواطع المتقاطعة، لحل مسائل من واقع الحياة. --- SECTION: مثال 4 --- مثال 4 --- SECTION: تطبيق خصائص القواطع المتقاطعة خارج الدائرة --- تطبيق خصائص القواطع المتقاطعة خارج الدائرة --- SECTION: علوم --- علوم: يبين الشكل أدناه انكسار شعاع ضوء في قطرة ماء، وانحرافه عن مساره عند النقاط C, B, A، إذا كان mXY = 84° و mAC = 128°، فما قيمة m∠D؟ نظرية 8.14: m∠D = ½ (mAC - mXY) بالتعويض: = ½ (128° - 84°) بالتبسيط: = ½ (44°) = 22° --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- 4) أوجد قيمة x في الشكل المجاور. --- SECTION: الربط مع الحياة --- الربط مع الحياة يتفاوت معامل الانكسار من وسط إلى آخر، ويعبر عن معامل الانكسار N لوسط شفاف ما بالصيغة N = c/v ، حيث c سرعة الضوء في الفراغ و v سرعة الضوء في ذلك الوسط. الدرس 8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا 219 of 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with a tangent line LK and a secant line LHJ intersecting at an external point L. Arc HK is labeled 102°. The angle at L is to be determined. Key Values: m∠L = ?, m arc HK = 102°, m arc HJK = 360° - 102° = 258° Context: Illustrates Theorem 8.14 for an angle formed by a tangent and a secant intersecting outside a circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with two secant lines ADC and ADB intersecting at an external point A. Points B, C, D are on the circle. Angle A is 56°, and arc BC is 95°. Arc CD is to be determined. Key Values: m∠A = 56°, m arc BC = 95°, m arc CD = ? Context: Illustrates Theorem 8.14 for an angle formed by two secants intersecting outside a circle. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with two secant lines YXW and YZV intersecting at an external point Y. Points X, W, Z, V are on the circle. Angle Y is 68°, and arc WZ is 224°. Arc XV (referred to as mXZ in the question) is to be determined. Key Values: m∠Y = 68°, m arc WZ = 224°, m arc XV = ? (mXZ in question) Context: Exercise applying Theorem 8.14 to find the measure of an intercepted arc. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with a tangent line SR and a secant line SUT intersecting at an external point S. Points U, T are on the circle. Arc UT is 71°, and arc URT is 179°. The angle at S is to be determined. Key Values: m∠S = ?, m arc UT = 71°, m arc URT = 179° Context: Exercise applying Theorem 8.14 to find the measure of an angle formed by a tangent and a secant. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram illustrating light refraction through a spherical water droplet. An 'الشعاع الساقط' (Incident Ray) enters the droplet at point A, refracts, and exits as 'الشعاع الخارج' (Emergent Ray) from point C. Another ray path is shown with points X and Y on the droplet's surface. An external point D is formed by the intersection of lines extending from the refracted rays. Arc AC is 128°, and arc XY is 84°. The angle at D is to be determined. Key Values: m arc AC = 128°, m arc XY = 84°, m∠D = ? Context: Real-world application of geometric theorems (Theorem 8.14) to light refraction in a water droplet. **DIAGRAM**: Untitled Description: A circle with two secant lines VZW and VYX intersecting at an external point V. Points Z, W, Y, X are on the circle. Angle V is 25°, and arc WX is 110°. Arc ZY is labeled x°. The value of x is to be determined. Key Values: m∠V = 25°, m arc WX = 110°, m arc ZY = x° Context: Exercise applying Theorem 8.14 to find an unknown arc measure. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph showing a red pencil partially submerged in a clear liquid (likely water) within a transparent glass. The pencil appears to be bent or displaced at the liquid's surface, illustrating the phenomenon of light refraction. Context: Illustrates the real-world phenomenon of light refraction, related to the concept of refractive index discussed in the 'الربط مع الحياة' sidebar.