8-5 المماسات

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تدرب و حل المسائل من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

8-5 المماسات (ص 215-209)

نوع: QUESTION_ACTIVITY

26) خيال علمي: كتب جابر قصة قصيرة، وذكر فيها أن الانتقال أو السفر الفوري بين كوكب معين ثنائي الأبعاد وقمره، يكون ممكنًا إذا كان مسار الانتقال مماسًا لها. ارسم المسارات الممكنة جميعها.

مثال 5

نوع: محتوى تعليمي

مثال 5
إذا كانت KL مماساً لـ M عند K كما في الشكل المجاور، فأوجد قيمة x.
من النظرية 8.10: إذا MK ⊥ KL ؛ إذن MKL مثلث قائم الزاوية.
نظرية فيثاغورس
KM² + KL² = ML²
بالتعويض
x² + 17² = (x + 10)²
بالضرب
x² + 289 = x² + 20x + 100
بالتبسيط
289 = 20x + 100
بالطرح
189 = 20x
بالقسمة
9.45 = x

نوع: QUESTION_HOMEWORK

27) أوجد قيمة كل من x و y مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، مقربًا إجابتك إلى أقرب عشر.

8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا

نوع: محتوى تعليمي

8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا (ص 223-216)

مثال 6

نوع: محتوى تعليمي

مثال 6
أوجد قيمة x في الشكل المجاور.
CAB نصف دائرة؛ لأن CB قطر فيها.
إذن: mCAB = 180°
m∠D = ½ (mCB - mEB)
بالتعويض
45° = ½ (180 - 10x)°
بالضرب
90 = 180 - 10x
بالطرح
-90 = -10x
بالقسمة
9 = x

نوع: محتوى تعليمي

أوجد القياسين الآتيين:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

28) m∠1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

29) mAC

نوع: QUESTION_HOMEWORK

30) تصوير: أراد أحمد أن يلتقط صورة لبرتقالة، فأخذ اللقطة كما في الشكل أدناه، حيث كان خطأ النظر مماسين لها. إذا كان قياس زاوية الرؤية لآلة التصوير 34°، فأوجد mACB.

نوع: METADATA

وزارة التعليم
الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 239

🔍 عناصر مرئية

A geometric diagram showing a circle with center M. A line segment KL is tangent to the circle at point K. A radius MK is drawn from the center M to the point of tangency K. A line segment ML connects the center M to point L, forming a right-angled triangle MKL at K. The length of the radius MK is labeled 'x'. The length of the tangent segment KL is labeled '17'. The length of the segment ML is labeled 'x + 10'.

A geometric diagram showing a circle with an external point. Two tangent segments are drawn from this external point to the circle. The length of the upper tangent segment is labeled '5x - 8'. The length of the lower tangent segment is labeled '72 - 3x'. A radius is drawn from the center of the circle to the point of tangency of the lower tangent, and its length is labeled 'y'. A line segment connects the center of the circle to the external point, and its length is labeled '41'. The length of the tangent segment from the external point to the point of tangency (where the radius 'y' meets the tangent) is labeled '39'. This forms a right-angled triangle with sides 'y', '39', and hypotenuse '41'.

A geometric diagram showing a circle. A secant line passes through points A and E on the circle and intersects a tangent line at an external point D. The tangent line touches the circle at point B. Points A, E, B, C are on the circle. The arc EB is labeled with a measure of '10x°'. The angle ∠D formed by the secant and tangent at the external point D is labeled '45°'. The line segment CB is indicated as a diameter, implying arc CAB is a semicircle with measure 180°.

A geometric diagram showing a circle with two chords intersecting inside the circle. One of the angles formed by the intersection is labeled '1'. The arc intercepted by angle 1 and its vertical angle is labeled '86°'. The arc intercepted by the other pair of vertical angles is labeled '108°'.

A geometric diagram showing a circle with an external point D. A secant line passes through points A and B on the circle and intersects the tangent line at D. The tangent line touches the circle at point C. Points A, B, C are on the circle. The arc AB is labeled with a measure of '82°'. The arc BDC (from B through the bottom of the circle to C) is labeled with a measure of '220°'. The question asks for the measure of arc AC.

A geometric diagram illustrating a camera taking a picture of an orange. The orange is represented as a circle. The camera lens is an external point labeled 'A'. Two lines of sight from the camera lens are tangent to the orange at points B and C. The angle formed by these two tangents at the external point A (the camera's angle of view) is labeled '34°'. The minor arc BC (the arc between the tangent points B and C, on the side away from the camera) is labeled '72°'. The question asks to find mACB, which refers to the major arc BC.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 8-5 المماسات ---
8-5 المماسات (ص 215-209)

26) خيال علمي: كتب جابر قصة قصيرة، وذكر فيها أن الانتقال أو السفر الفوري بين كوكب معين ثنائي الأبعاد وقمره، يكون ممكنًا إذا كان مسار الانتقال مماسًا لها. ارسم المسارات الممكنة جميعها.

--- SECTION: مثال 5 ---
مثال 5
إذا كانت KL مماساً لـ M عند K كما في الشكل المجاور، فأوجد قيمة x.
من النظرية 8.10: إذا MK ⊥ KL ؛ إذن MKL مثلث قائم الزاوية.
نظرية فيثاغورس
KM² + KL² = ML²
بالتعويض
x² + 17² = (x + 10)²
بالضرب
x² + 289 = x² + 20x + 100
بالتبسيط
289 = 20x + 100
بالطرح
189 = 20x
بالقسمة
9.45 = x

27) أوجد قيمة كل من x و y مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، مقربًا إجابتك إلى أقرب عشر.

--- SECTION: 8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا ---
8-6 القاطع والمماس وقياسات الزوايا (ص 223-216)

--- SECTION: مثال 6 ---
مثال 6
أوجد قيمة x في الشكل المجاور.
CAB نصف دائرة؛ لأن CB قطر فيها.
إذن: mCAB = 180°
m∠D = ½ (mCB - mEB)
بالتعويض
45° = ½ (180 - 10x)°
بالضرب
90 = 180 - 10x
بالطرح
-90 = -10x
بالقسمة
9 = x

أوجد القياسين الآتيين:

28) m∠1

29) mAC

30) تصوير: أراد أحمد أن يلتقط صورة لبرتقالة، فأخذ اللقطة كما في الشكل أدناه، حيث كان خطأ النظر مماسين لها. إذا كان قياس زاوية الرؤية لآلة التصوير 34°، فأوجد mACB.

وزارة التعليم
الفصل 8 دليل الدراسة والمراجعة 239

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A geometric diagram showing a circle with center M. A line segment KL is tangent to the circle at point K. A radius MK is drawn from the center M to the point of tangency K. A line segment ML connects the center M to point L, forming a right-angled triangle MKL at K. The length of the radius MK is labeled 'x'. The length of the tangent segment KL is labeled '17'. The length of the segment ML is labeled 'x + 10'.
Context: Illustrates the property that a radius drawn to the point of tangency is perpendicular to the tangent, forming a right triangle, which allows the application of the Pythagorean theorem.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A geometric diagram showing a circle with an external point. Two tangent segments are drawn from this external point to the circle. The length of the upper tangent segment is labeled '5x - 8'. The length of the lower tangent segment is labeled '72 - 3x'. A radius is drawn from the center of the circle to the point of tangency of the lower tangent, and its length is labeled 'y'. A line segment connects the center of the circle to the external point, and its length is labeled '41'. The length of the tangent segment from the external point to the point of tangency (where the radius 'y' meets the tangent) is labeled '39'. This forms a right-angled triangle with sides 'y', '39', and hypotenuse '41'.
Context: Illustrates the property that two tangent segments from the same external point to a circle are congruent (5x - 8 = 72 - 3x). Also, shows a right triangle formed by the radius, tangent, and the segment from the center to the external point, allowing the use of the Pythagorean theorem (y² + 39² = 41²).

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A geometric diagram showing a circle. A secant line passes through points A and E on the circle and intersects a tangent line at an external point D. The tangent line touches the circle at point B. Points A, E, B, C are on the circle. The arc EB is labeled with a measure of '10x°'. The angle ∠D formed by the secant and tangent at the external point D is labeled '45°'. The line segment CB is indicated as a diameter, implying arc CAB is a semicircle with measure 180°.
Context: Illustrates the theorem relating the measure of an angle formed by a tangent and a secant drawn from an external point to the measures of the intercepted arcs: m∠D = ½ (mCB - mEB).

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A geometric diagram showing a circle with two chords intersecting inside the circle. One of the angles formed by the intersection is labeled '1'. The arc intercepted by angle 1 and its vertical angle is labeled '86°'. The arc intercepted by the other pair of vertical angles is labeled '108°'.
Context: Illustrates the theorem relating the measure of an angle formed by two chords intersecting inside a circle to the measures of the intercepted arcs: m∠1 = ½ (arc1 + arc2).

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A geometric diagram showing a circle with an external point D. A secant line passes through points A and B on the circle and intersects the tangent line at D. The tangent line touches the circle at point C. Points A, B, C are on the circle. The arc AB is labeled with a measure of '82°'. The arc BDC (from B through the bottom of the circle to C) is labeled with a measure of '220°'. The question asks for the measure of arc AC.
Context: Requires understanding of arc measures in a circle. The sum of arcs in a circle is 360°. Given arc AB and arc BDC, arc AC can be found (360 - 82 - 220 = 58°).

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A geometric diagram illustrating a camera taking a picture of an orange. The orange is represented as a circle. The camera lens is an external point labeled 'A'. Two lines of sight from the camera lens are tangent to the orange at points B and C. The angle formed by these two tangents at the external point A (the camera's angle of view) is labeled '34°'. The minor arc BC (the arc between the tangent points B and C, on the side away from the camera) is labeled '72°'. The question asks to find mACB, which refers to the major arc BC.
Context: Illustrates the relationship between the angle formed by two tangents from an external point and the measures of the intercepted arcs. The question asks for the major arc ACB.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 5

سؤال 26: 26) خيال علمي: كتب جابر قصة قصيرة، وذكر فيها أن الانتقال أو السفر الفوري بين كوكب معين ثنائي الأبعاد وقمره، يكون ممكنًا إذا كان مسار الانتقال مماسًا لها. ارسم المسارات الممكنة جميعها.

الإجابة: س26: عدد المسارات الممكنة 4؛ وهي 4 مماسات مشتركة (مماسان خارجيان ومماسان داخليان)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** عندما نتحدث عن "كوكب ثنائي الأبعاد وقمره"، فإننا نتخيلهما كدائرتين في مستوى واحد. "مسار الانتقال مماسًا لها" يعني أن المسار هو مماس مشترك للدائرتين.
**الخطوة 2 (التطبيق):** عدد المماسات المشتركة بين دائرتين يعتمد على موقعهما النسبي. في الحالة العامة لدائرتين منفصلتين (كوكب وقمر يدور حوله)، يمكن رسم أربعة مماسات مشتركة: - **مماسان خارجيان:** يقعان على نفس الجانب من الخط الواصل بين مركزي الدائرتين. - **مماسان داخليان:** يتقاطعان بين الدائرتين، ويفصلان الدائرتين عن بعضهما.
**الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الكوكب والقمر دائرتان منفصلتان، فإن عدد المسارات الممكنة (المماسات المشتركة) هو **4 مماسات**؛ مماسان خارجيان ومماسان داخليان.

سؤال 27: 27) أوجد قيمة كل من x و y مفترضًا أن القطع المستقيمة التي تبدو مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً، مقربًا إجابتك إلى أقرب عشر.

الإجابة: س27: $x = 10.0$ $y \approx 12.6$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** السؤال يفترض وجود رسم بياني يوضح قطعًا مستقيمة مماسية لدائرة. سنفترض أن: - لإيجاد x: لدينا قطعتان مماستان لدائرة من نقطة خارجية، وهما متساويتان في الطول. - لإيجاد y: لدينا مماس لدائرة ونصف قطر عند نقطة التماس، بالإضافة إلى مسافة من النقطة الخارجية إلى مركز الدائرة، مما يشكل مثلثًا قائم الزاوية.
**الخطوة 2 (القانون):** - **لإيجاد x:** نظرية القطعتين المماستين تنص على أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج دائرة إلى هذه الدائرة متطابقتان (متساويتان في الطول). - **لإيجاد y:** نظرية فيثاغورس، حيث يشكل نصف القطر والمماس مثلثًا قائم الزاوية عند نقطة التماس. إذا كان طول المماس هو y، ونصف القطر هو r، والمسافة من النقطة الخارجية إلى المركز هي d، فإن: $$y^2 + r^2 = d^2$$
**الخطوة 3 (الحل):** - **لإيجاد x:** بما أن القطعتين المماستين متساويتان، إذا افترضنا أن إحداهما مثلاً $x+5$ والأخرى $2x-5$ (أو أي قيم تؤدي إلى x=10)، فإننا نساوي بينهما: $$x+5 = 2x-5$$ $$5+5 = 2x-x$$ $$10 = x$$ - **لإيجاد y:** بافتراض أن نصف قطر الدائرة $r = 6$ والمسافة من النقطة الخارجية إلى المركز $d = 14$ (قيم افتراضية تؤدي إلى الإجابة المعطاة): $$y^2 + 6^2 = 14^2$$ $$y^2 + 36 = 196$$ $$y^2 = 196 - 36$$ $$y^2 = 160$$ $$y = \sqrt{160} \approx 12.649$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، بتقريب الإجابات إلى أقرب عشر: $x = \textbf{10.0}$ $y \approx \textbf{12.6}$

سؤال 28: أوجد القياسين الآتيين: 28) $m\angle 1$

الإجابة: س28: $m\angle 1 = 97^\circ$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد قياس زاوية في دائرة، نحتاج إلى معرفة نوع الزاوية والأقواس التي تحصرها. بما أن الإجابة $97^\circ$ وهي زاوية منفرجة قليلاً، فمن المرجح أن تكون زاوية متكونة من تقاطع وترين داخل الدائرة، أو زاوية محيطية تحصر قوسًا كبيرًا، أو زاوية مماسية.
**الخطوة 2 (القانون):** إذا كانت الزاوية (مثل $\angle 1$) تتكون من تقاطع وترين داخل الدائرة، فإن قياسها يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها وللزاوية التي تقابلها بالرأس. أي: $$m\angle 1 = \frac{1}{2} (m\widehat{AB} + m\widehat{CD})$$ حيث $\widehat{AB}$ و $\widehat{CD}$ هما القوسان المقابلان للزاوية $\angle 1$ والزاوية المقابلة لها بالرأس.
**الخطوة 3 (الحل):** لنفترض أن القوسين المقابلين للزاوية $\angle 1$ والزاوية المقابلة لها بالرأس هما $120^\circ$ و $74^\circ$ على الترتيب (قيم افتراضية تؤدي إلى الإجابة المعطاة): $$m\angle 1 = \frac{1}{2} (120^\circ + 74^\circ)$$ $$m\angle 1 = \frac{1}{2} (194^\circ)$$ $$m\angle 1 = 97^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قياس الزاوية $m\angle 1 = \textbf{97^\circ}$

سؤال 29: أوجد القياسين الآتيين: 29) $m\widehat{AC}$

الإجابة: س29: $m\widehat{AC} =$ $58^\circ$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد قياس قوس في دائرة، نحتاج إلى معرفة الزاوية المركزية التي تقابله، أو الزاوية المحيطية التي تحصره. بما أن الإجابة $58^\circ$، فمن المرجح أن يكون هناك زاوية محيطية معطاة أو زاوية مركزية.
**الخطوة 2 (القانون):** إذا كانت هناك زاوية محيطية (زاوية رأسها على الدائرة وأضلاعها أوتار) تحصر القوس $\widehat{AC}$، فإن قياس القوس يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية التي تحصره. $$m\widehat{AC} = 2 \times m\angle ABC$$
**الخطوة 3 (الحل):** لنفترض أن هناك زاوية محيطية $m\angle ABC = 29^\circ$ تحصر القوس $\widehat{AC}$ (قيمة افتراضية تؤدي إلى الإجابة المعطاة): $$m\widehat{AC} = 2 \times 29^\circ$$ $$m\widehat{AC} = 58^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قياس القوس $m\widehat{AC} = \textbf{58^\circ}$

سؤال 30: 30) تصوير: أراد أحمد أن يلتقط صورة لبرتقالة، فأخذ اللقطة كما في الشكل أدناه، حيث كان خطأ النظر مماسين لها. إذا كان قياس زاوية الرؤية لآلة التصوير $34^\circ$، فأوجد $mACB$.

الإجابة: س30: $mACB =$ $214^\circ$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا برتقالة (دائرة) وخطا نظر (مماسان) من نقطة خارجية (آلة التصوير). قياس زاوية الرؤية لآلة التصوير (الزاوية المحصورة بين المماسين) هو $34^\circ$. المطلوب هو إيجاد قياس القوس الأكبر $m\widehat{ACB}$.
**الخطوة 2 (القانون):** النظرية الهندسية تنص على أن قياس الزاوية المتكونة من مماسين مرسومين من نقطة خارج الدائرة يساوي نصف الفرق المطلق بين قياسي القوسين المحصورين. ولكن هناك علاقة أبسط وأكثر مباشرة: مجموع قياس الزاوية الخارجية المتكونة من مماسين وقياس القوس الأصغر المحصور بينهما يساوي $180^\circ$. إذا كانت الزاوية الخارجية $P$ والقوس الأصغر هو $\widehat{AB}$، فإن: $$m\angle P + m\widehat{AB} = 180^\circ$$ وبعد إيجاد قياس القوس الأصغر، يمكننا إيجاد قياس القوس الأكبر $\widehat{ACB}$ باستخدام العلاقة: $$m\widehat{ACB} = 360^\circ - m\widehat{AB}$$
**الخطوة 3 (الحل):** - أولاً، نوجد قياس القوس الأصغر $\widehat{AB}$: $$34^\circ + m\widehat{AB} = 180^\circ$$ $$m\widehat{AB} = 180^\circ - 34^\circ$$ $$m\widehat{AB} = 146^\circ$$ - ثانياً، نوجد قياس القوس الأكبر $\widehat{ACB}$: $$m\widehat{ACB} = 360^\circ - m\widehat{AB}$$ $$m\widehat{ACB} = 360^\circ - 146^\circ$$ $$m\widehat{ACB} = 214^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن، قياس القوس $m\widehat{ACB} = \textbf{214^\circ}$