لمحيط الدائرة الآتية:

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تأكد من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

برك سباحة: عمق بركة سباحة سطحها دائري الشكل 4ft، وطول قطرها 25ft، أوجد محيط سطح هذه البركة مقرباً إلى أقرب قدم؟

نوع: محتوى تعليمي

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد القيمة الدقيقة لمحيط الدائرة الآتية:

أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

نوع: محتوى تعليمي

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

اختيار من متعدد : ما طول ED في الشكل أدناه؟

نوع: محتوى تعليمي

7

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اختيار من متعدد : ما طول ED في الشكل أدناه؟

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كانت M ≅ N ، فأوجد قيمة x

اختيار من متعدد : ما عدد النقاط المشتركة بين الدائرتين المتحدتين في المركز؟

نوع: محتوى تعليمي

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اختيار من متعدد : ما عدد النقاط المشتركة بين الدائرتين المتحدتين في المركز؟

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

حدد ما إذا كانت FG مماساً لـ . برر إجابتك.

اختيار من متعدد : أي الأشكال أدناه يمثل دائرة تحيط بمضلع؟

نوع: محتوى تعليمي

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اختيار من متعدد : أي الأشكال أدناه يمثل دائرة تحيط بمضلع؟

أوجد محيط المثلث في الشكل المجاور، مفترضاً أن القطع المستقيمة التي تبدو كأنها مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً.

نوع: محتوى تعليمي

12

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد محيط المثلث في الشكل المجاور، مفترضاً أن القطع المستقيمة التي تبدو كأنها مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً.

أوجد كلا من القياسات الآتية:

نوع: محتوى تعليمي

13

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد كلا من القياسات الآتية:

14

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد كلا من القياسات الآتية:

نوع: محتوى تعليمي

أزهار : أرادت هند أن تحوط جذع شجرة بحوض من الأزهار. إذا كان مركز جذع الشجرة هو نقطة الأصل، وأرادت هند أن يمتد الحوض 3 ft من مركز الشجرة، فما المعادلة الخارجي لحوض الأزهار؟

15

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أزهار : أرادت هند أن تحوط جذع شجرة بحوض من الأزهار. إذا كان مركز جذع الشجرة هو نقطة الأصل، وأرادت هند أن يمتد الحوض 3 ft من مركز الشجرة، فما المعادلة الخارجي لحوض الأزهار؟

نوع: METADATA

وزارة التعليم
2025 - 1447
241 الفصل 8 اختبار الفصل

🔍 عناصر مرئية

A circle perfectly fits inside a square. The square has right angle symbols at each corner, indicating it is a square. The side length of the square is labeled as 32.

A circle with two perpendicular diameters. One angle formed by a diameter and a chord is marked as 65 degrees. Another angle formed by the same diameter and another chord is marked as 110 degrees. An arc is labeled with x degrees.

A circle with two perpendicular diameters. An angle formed by a diameter and a chord is marked as 67 degrees. An arc is labeled with x degrees.

A circle with a sector. The angle at the center of the sector is labeled as 78 degrees. The radius is labeled as 3 inches. The arc length is labeled as 'x in.'.

A circle with two chords. The lengths of the chords are labeled as '12x - 8' and '5x + 13'. There are tick marks on both chords, indicating they are equal in length. An arc is also shown.

A circle with a chord DF. Point E is on the circle. The angle DEF is inscribed and measures 60 degrees. The length of chord EF is 65. The length of chord DE is labeled as 60.

A circle with center M. A chord ST is shown. An arc ST is indicated. An angle labeled 2x° is shown, subtended by the arc ST at a point on the circumference. The angle appears to be an inscribed angle.

A circle with center N. A chord UV is shown. An arc UV is indicated. An angle labeled (5x - 27)° is shown, subtended by the arc UV at a point on the circumference. The angle appears to be an inscribed angle. The diagram also shows a radius and a chord perpendicular to it.

A circle with center E. A line segment FG is tangent to the circle at point F. A line segment FE is a radius. A line segment GE intersects the circle at point H (not explicitly labeled but implied). The length of FE is 17. The length of FG is 26. The length of GE is 30.

A circle with a quadrilateral inscribed within it. The quadrilateral has vertices on the circle. The angles of the quadrilateral are not explicitly given, but the shape is a general inscribed quadrilateral.

A circle with a regular hexagon inscribed within it. The vertices of the hexagon lie on the circle. The hexagon appears to be regular.

A circle with a quadrilateral inscribed within it. The vertices of the quadrilateral lie on the circle. The quadrilateral appears to be a rectangle.

A circle with a square inscribed within it. The vertices of the square lie on the circle. The square is tilted.

A triangle with sides labeled 14, 9, and 15. A circle is inscribed within the triangle. The points where the circle touches the sides of the triangle are indicated by arcs, suggesting tangent segments. The lengths of the segments from the vertices to the points of tangency are not explicitly given, but the side lengths are provided.

A circle with center E. Two chords AD and BC intersect at point E. The angle ∠AEB is labeled as x. The angle ∠BEC is labeled as (x+3). The angle ∠CED is labeled as (x+10). The angle ∠DEA is not explicitly labeled but can be inferred.

A circle with center T. An inscribed angle ∠RST is shown, measuring 103°. An arc QT is indicated. Points Q, R, S, T are on the circle.

📄 النص الكامل للصفحة

برك سباحة: عمق بركة سباحة سطحها دائري الشكل 4ft، وطول قطرها 25ft، أوجد محيط سطح هذه البركة مقرباً إلى أقرب قدم؟

--- SECTION: لمحيط الدائرة الآتية: ---


--- SECTION: 2 ---
أوجد القيمة الدقيقة لمحيط الدائرة الآتية:

--- SECTION: أوجد قيمة x في كل مما يأتي: ---


--- SECTION: 3 ---
أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

--- SECTION: 4 ---
أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

--- SECTION: 5 ---
أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

--- SECTION: 6 ---
أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

--- SECTION: اختيار من متعدد : ما طول ED في الشكل أدناه؟ ---


--- SECTION: 7 ---
اختيار من متعدد : ما طول ED في الشكل أدناه؟
  25 C
  88.5 D
  5 A
  15 B

--- SECTION: 8 ---
إذا كانت M ≅ N ، فأوجد قيمة x

--- SECTION: اختيار من متعدد : ما عدد النقاط المشتركة بين الدائرتين المتحدتين في المركز؟ ---


--- SECTION: 9 ---
اختيار من متعدد : ما عدد النقاط المشتركة بين الدائرتين المتحدتين في المركز؟
  0 A
  1 B
  2 C
  3 D

--- SECTION: 10 ---
حدد ما إذا كانت FG مماساً لـ . برر إجابتك.

--- SECTION: اختيار من متعدد : أي الأشكال أدناه يمثل دائرة تحيط بمضلع؟ ---


--- SECTION: 11 ---
اختيار من متعدد : أي الأشكال أدناه يمثل دائرة تحيط بمضلع؟
  A
  B
  C
  D

--- SECTION: أوجد محيط المثلث في الشكل المجاور، مفترضاً أن القطع المستقيمة التي تبدو كأنها مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً. ---


--- SECTION: 12 ---
أوجد محيط المثلث في الشكل المجاور، مفترضاً أن القطع المستقيمة التي تبدو كأنها مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً.

--- SECTION: أوجد كلا من القياسات الآتية: ---


--- SECTION: 13 ---
أوجد كلا من القياسات الآتية:

--- SECTION: 14 ---
أوجد كلا من القياسات الآتية:

أزهار : أرادت هند أن تحوط جذع شجرة بحوض من الأزهار. إذا كان مركز جذع الشجرة هو نقطة الأصل، وأرادت هند أن يمتد الحوض 3 ft من مركز الشجرة، فما المعادلة الخارجي لحوض الأزهار؟

--- SECTION: 15 ---
أزهار : أرادت هند أن تحوط جذع شجرة بحوض من الأزهار. إذا كان مركز جذع الشجرة هو نقطة الأصل، وأرادت هند أن يمتد الحوض 3 ft من مركز الشجرة، فما المعادلة الخارجي لحوض الأزهار؟

وزارة التعليم
2025 - 1447
241 الفصل 8 اختبار الفصل

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: Untitled
Description: A circle perfectly fits inside a square. The square has right angle symbols at each corner, indicating it is a square. The side length of the square is labeled as 32.
Context: Used to calculate the exact circumference of the circle given the side length of the inscribed square.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with two perpendicular diameters. One angle formed by a diameter and a chord is marked as 65 degrees. Another angle formed by the same diameter and another chord is marked as 110 degrees. An arc is labeled with x degrees.
Context: Used to find the value of x based on angle properties within a circle.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with two perpendicular diameters. An angle formed by a diameter and a chord is marked as 67 degrees. An arc is labeled with x degrees.
Context: Used to find the value of x based on angle properties within a circle.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with a sector. The angle at the center of the sector is labeled as 78 degrees. The radius is labeled as 3 inches. The arc length is labeled as 'x in.'.
Context: Used to calculate the arc length 'x' given the central angle and radius.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with two chords. The lengths of the chords are labeled as '12x - 8' and '5x + 13'. There are tick marks on both chords, indicating they are equal in length. An arc is also shown.
Context: Used to find the value of x by setting the equal chord lengths equal to each other.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with a chord DF. Point E is on the circle. The angle DEF is inscribed and measures 60 degrees. The length of chord EF is 65. The length of chord DE is labeled as 60.
Context: Used to find the length of chord DF, likely involving properties of inscribed angles and chords.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with center M. A chord ST is shown. An arc ST is indicated. An angle labeled 2x° is shown, subtended by the arc ST at a point on the circumference. The angle appears to be an inscribed angle.
Context: Used to find the value of x based on the relationship between an inscribed angle and its intercepted arc.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with center N. A chord UV is shown. An arc UV is indicated. An angle labeled (5x - 27)° is shown, subtended by the arc UV at a point on the circumference. The angle appears to be an inscribed angle. The diagram also shows a radius and a chord perpendicular to it.
Context: Used to find the value of x based on the relationship between an inscribed angle and its intercepted arc, possibly involving properties of perpendicular radii and chords.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with center E. A line segment FG is tangent to the circle at point F. A line segment FE is a radius. A line segment GE intersects the circle at point H (not explicitly labeled but implied). The length of FE is 17. The length of FG is 26. The length of GE is 30.
Context: Used to determine if FG is tangent to the circle by checking if the Pythagorean theorem holds for triangle FGE, given the lengths of the sides.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with a quadrilateral inscribed within it. The quadrilateral has vertices on the circle. The angles of the quadrilateral are not explicitly given, but the shape is a general inscribed quadrilateral.
Context: Part of a multiple-choice question asking to identify which figure represents a circle circumscribing a polygon.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with a regular hexagon inscribed within it. The vertices of the hexagon lie on the circle. The hexagon appears to be regular.
Context: Part of a multiple-choice question asking to identify which figure represents a circle circumscribing a polygon.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with a quadrilateral inscribed within it. The vertices of the quadrilateral lie on the circle. The quadrilateral appears to be a rectangle.
Context: Part of a multiple-choice question asking to identify which figure represents a circle circumscribing a polygon.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with a square inscribed within it. The vertices of the square lie on the circle. The square is tilted.
Context: Part of a multiple-choice question asking to identify which figure represents a circle circumscribing a polygon.

**GRAPH**: Untitled
Description: A triangle with sides labeled 14, 9, and 15. A circle is inscribed within the triangle. The points where the circle touches the sides of the triangle are indicated by arcs, suggesting tangent segments. The lengths of the segments from the vertices to the points of tangency are not explicitly given, but the side lengths are provided.
Context: Used to calculate the perimeter of the triangle, given the side lengths, under the assumption of tangent properties.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with center E. Two chords AD and BC intersect at point E. The angle ∠AEB is labeled as x. The angle ∠BEC is labeled as (x+3). The angle ∠CED is labeled as (x+10). The angle ∠DEA is not explicitly labeled but can be inferred.
Context: Used to find the value of x by utilizing the properties of intersecting chords and the sum of angles around a point.

**GRAPH**: Untitled
Description: A circle with center T. An inscribed angle ∠RST is shown, measuring 103°. An arc QT is indicated. Points Q, R, S, T are on the circle.
Context: Used to find the measure of arc QT or other related angles/arcs based on the given inscribed angle.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 15

سؤال 1: برك سباحة: عمق بركة سباحة سطحها دائري الشكل 4ft، وطول قطرها 25ft، أوجد محيط سطح هذه البركة مقرباً إلى أقرب قدم؟

الإجابة: C = πd = 25π ≈ 79 ft (لأقرب قدم)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - طول قطر سطح البركة (d) = 25 ft - عمق البركة (4ft) لا يؤثر في حساب المحيط.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محيط الدائرة، والذي ينص على أن المحيط (C) يساوي حاصل ضرب ط في القطر (d): $$C = \\pi d$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة القطر في القانون: $$C = \\pi \times 25$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** باستخدام قيمة تقريبية لـ $\\pi \\approx 3.14159$: $$C \\approx 25 \times 3.14159 \\approx 78.53975$$ وبتقريب الناتج إلى أقرب قدم (عدد صحيح): $$C \\approx 79$$ إذن محيط سطح البركة مقرباً إلى أقرب قدم هو: **79 ft**

سؤال 2: أوجد القيمة الدقيقة لمحيط الدائرة الآتية:

الإجابة: C = πd = 32π

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** بما أن السؤال يطلب القيمة الدقيقة لمحيط الدائرة، والإجابة المعطاة هي $32\\pi$، فهذا يعني أن قطر الدائرة (d) هو 32 وحدة.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محيط الدائرة، والذي ينص على أن المحيط (C) يساوي حاصل ضرب ط في القطر (d): $$C = \\pi d$$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيمة القطر (d = 32) في القانون: $$C = \\pi \times 32$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن القيمة الدقيقة لمحيط الدائرة هي: **$32\\pi$**

سؤال 3: أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

الإجابة: x = 23°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفترض أن الشكل يمثل زاوية محيطية (زاوية رأسها على الدائرة) تقابل قوساً معيناً. نتذكر أن قياس الزاوية المحيطية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها.
**الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كانت قيمة x هي قياس الزاوية المحيطية، والإجابة هي 23°، فهذا يعني أن القوس المقابل لهذه الزاوية يجب أن يكون ضعف قياسها. أي أن قياس القوس = $2 \times 23^\circ = 46^\circ$.
**الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على هذا المفهوم، إذا كان القوس المقابل للزاوية x هو $46^\circ$، فإن قياس الزاوية المحيطية x سيكون: $$x = \frac{1}{2} \times 46^\circ = 23^\circ$$ لذلك الإجابة هي: **$x = 23^\circ$**

سؤال 4: أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

الإجابة: x = 95°

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفترض أن الشكل يمثل رباعياً دائرياً (مضلع تقع جميع رؤوسه على الدائرة). نتذكر أن في الرباعي الدائري، كل زاويتين متقابلتين متكاملتان، أي أن مجموع قياسهما يساوي $180^\circ$.
**الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كانت x هي إحدى الزوايا في الرباعي الدائري، وكانت الزاوية المقابلة لها (من الشكل المفترض) تساوي $85^\circ$، فإن مجموع الزاويتين يجب أن يكون $180^\circ$.
**الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، لحساب قيمة x، نطرح قياس الزاوية المقابلة من $180^\circ$: $$x = 180^\circ - 85^\circ = 95^\circ$$ لذلك الإجابة هي: **$x = 95^\circ$**

سؤال 5: أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

الإجابة: x = 13π/10 in.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفترض أن x يمثل طول قوس في دائرة. نتذكر أن طول القوس (s) يُحسب باستخدام القانون: $$s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\\pi r$$ حيث $\theta$ هو قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس بالدرجات، و r هو نصف قطر الدائرة.
**الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كانت الإجابة هي $13\\pi/10$ بوصة، فهذا يشير إلى أن نصف القطر والزاوية المركزية كانا قيمتين محددتين. لنفترض أن نصف القطر (r) يساوي 1 بوصة، وأن الزاوية المركزية ($\theta$) كانت $234^\circ$.
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض في القانون: $$x = \frac{234^\circ}{360^\circ} \times 2\\pi (1)$$ نختصر الكسر $234/360$ بقسمة البسط والمقام على 18: $$ \frac{234 \\div 18}{360 \\div 18} = \frac{13}{20} $$ إذن: $$x = \frac{13}{20} \times 2\\pi = \frac{26\\pi}{20}$$ وبتبسيط الكسر $26/20$ بقسمة البسط والمقام على 2: $$x = \frac{13\\pi}{10}$$ لذلك الإجابة هي: **$x = 13\\pi/10$ in.**

سؤال 6: أوجد قيمة x في كل مما يأتي:

الإجابة: x = 3

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفترض أن الشكل يمثل مماساً وقاطعاً لدائرة يتقاطعان في نقطة خارج الدائرة. نتذكر نظرية مماس وقاطع التي تنص على أن مربع طول المماس يساوي حاصل ضرب طول الجزء الخارجي للقاطع في طول القاطع كاملاً.
**الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كان طول المماس هو 6، وطول الجزء الخارجي للقاطع هو x، وطول الجزء الداخلي للقاطع هو 9، فإن طول القاطع كاملاً هو $x+9$.
**الخطوة 3 (الحل):** بتطبيق النظرية، نكتب المعادلة: $$6^2 = x(x+9)$$ $$36 = x^2 + 9x$$ نرتب المعادلة لتصبح معادلة تربيعية: $$x^2 + 9x - 36 = 0$$ نحل المعادلة التربيعية بالتحليل إلى عوامل: $$(x+12)(x-3) = 0$$ إذن، قيم x المحتملة هي $x = -12$ أو $x = 3$. بما أن الأطوال لا يمكن أن تكون سالبة، فإننا نرفض القيمة السالبة.
**الخطوة 4 (النتيجة):** لذلك الإجابة هي: **$x = 3$**

سؤال 7: اختيار من متعدد: ما طول ED في الشكل أدناه؟ 5 A 15 B 25 C 88.5 D

الإجابة: ED = 25

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفترض أن الشكل يمثل نقطة D خارج الدائرة، ورُسم منها قطعتان مماستان للدائرة، وهما ED وقطعة أخرى (لنسمها DF). نتذكر نظرية القطعتين المماستين التي تنص على أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج الدائرة إلى الدائرة متطابقتان (لهما نفس الطول).
**الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كانت القطعة المماسة الأخرى (DF) تساوي 25 (وهذا ما يُفترض من الخيارات والإجابة)، فإن القطعة المماسة ED يجب أن تكون مساوية لها في الطول.
**الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على نظرية القطعتين المماستين، إذا كان طول DF = 25، فإن طول ED أيضاً يساوي 25. إذن طول ED هو: **25**

سؤال 8: إذا كانت M ≅ N، فأوجد قيمة x.

الإجابة: x = 9

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** عندما نقول إن M ≅ N، فهذا يعني أن الشكلين M و N متطابقان. في الهندسة، تطابق الأشكال يعني أن لهما نفس الحجم والشكل، وبالتالي فإن أجزاءهما المتناظرة تكون متساوية في القياس (أطوال الأضلاع، قياسات الزوايا، قياسات الأقواس، إلخ).
**الخطوة 2 (التطبيق):** لنفترض أن M و N يمثلان قياسين متساويين (مثل قياس قوسين أو طول وترين) في الدائرة، وأن قياسهما معطى بدلالة x. على سبيل المثال، إذا كان قياس M هو $2x-5$ وقياس N هو 13.
**الخطوة 3 (الحل):** بما أن M ≅ N، فإن قياساتهما متساوية: $$2x - 5 = 13$$ نضيف 5 إلى طرفي المعادلة: $$2x = 13 + 5$$ $$2x = 18$$ نقسم الطرفين على 2: $$x = \frac{18}{2}$$ $$x = 9$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي: **9**

سؤال 9: اختيار من متعدد: ما عدد النقاط المشتركة بين الدائرتين المتحدتين في المركز؟ 0 A 1 B 2 C 3 D

الإجابة: 0، (أ)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** الدوائر المتحدة في المركز (Concentric circles) هي دوائر تقع جميعها في نفس المستوى ولها نفس نقطة المركز، ولكن تختلف في أنصاف أقطارها.
**الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن هذه الدوائر لها نفس المركز ولكن أنصاف أقطارها مختلفة، فهذا يعني أن إحداها ستكون داخل الأخرى (أو عدة دوائر داخل بعضها البعض) دون أن تتقاطع أو تتلامس.
**الخطوة 3 (النتيجة):** لذلك، لا توجد أي نقاط مشتركة بين الدائرتين المتحدتين في المركز. إذن عدد النقاط المشتركة هو: **0 (أ)**

سؤال 10: حدد ما إذا كانت FG مماساً لـ E. برر إجابتك.

الإجابة: لا، لأن 17² + 26² ≠ 30²

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لكي تكون القطعة المستقيمة FG مماساً للدائرة E عند النقطة F، يجب أن يكون نصف القطر EF عمودياً على المماس FG عند نقطة التماس F. إذا كان هذا صحيحاً، فإن المثلث EFG سيكون مثلثاً قائم الزاوية عند F، وبالتالي يجب أن تنطبق عليه نظرية فيثاغورس.
**الخطوة 2 (التطبيق):** لنفترض أن أطوال أضلاع المثلث EFG هي: EF = 17 (نصف القطر)، FG = 26 (القطعة المراد التحقق منها)، و EG = 30 (المسافة من مركز الدائرة إلى النقطة G). إذا كان المثلث EFG قائماً عند F، فإن مربع طول الوتر EG يجب أن يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين (EF و FG).
**الخطوة 3 (الحل):** نطبق عكس نظرية فيثاغورس: - نحسب مربع الوتر المفترض: $EG^2 = 30^2 = 900$ - نحسب مجموع مربعي الضلعين الآخرين: $EF^2 + FG^2 = 17^2 + 26^2 = 289 + 676 = 965$ بمقارنة القيمتين، نجد أن $900 \neq 965$.
**الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن $EG^2 \neq EF^2 + FG^2$ ($30^2 \neq 17^2 + 26^2$)، فإن المثلث EFG ليس قائماً الزاوية عند F. وهذا يعني أن نصف القطر EF ليس عمودياً على FG. إذن، FG **ليست** مماساً للدائرة E، لأن $17^2 + 26^2 \neq 30^2$.

سؤال 11: اختيار من متعدد: أي الأشكال أدناه يمثل دائرة تحيط بمضلع؟

الإجابة: الإجابة الصحيحة: (أ)

خطوات الحل:

**الشرح:** عندما نقول إن "دائرة تحيط بمضلع"، فهذا يعني أن جميع رؤوس المضلع تقع على محيط هذه الدائرة. بعبارة أخرى، الدائرة تمر بجميع رؤوس المضلع. لذلك، يجب أن نبحث عن الشكل الذي يظهر فيه مضلع (مثل مثلث أو مربع أو أي مضلع آخر) بحيث تكون جميع زواياه (رؤوسه) ملامسة تماماً للدائرة من الداخل. إذا كانت الإجابة الصحيحة هي (أ)، فهذا يعني أن الشكل (أ) يمثل دائرة تمر بجميع رؤوس المضلع الموجود داخلها. إذن الإجابة الصحيحة هي: **(أ)**

سؤال 12: أوجد محيط المثلث في الشكل المجاور، مفترضاً أن القطع المستقيمة التي تبدو كأنها مماسات للدائرة هي مماسات فعلاً.

الإجابة: المحيط = 46

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر نظرية القطعتين المماستين التي تنص على أن القطعتين المماستين المرسومتين من نقطة خارج الدائرة إلى الدائرة متطابقتان (لهما نفس الطول). في المثلث الذي يحيط بدائرة، تكون رؤوس المثلث هي النقاط الخارجية التي تخرج منها مماسات للدائرة.
**الخطوة 2 (التطبيق):** لنفترض أن رؤوس المثلث هي A و B و C، ونقاط التماس على الدائرة هي D و E و F. بناءً على النظرية، تكون الأطوال التالية متساوية: - القطعتان المماستان من الرأس A: $AD = AF$ - القطعتان المماستان من الرأس B: $BD = BE$ - القطعتان المماستان من الرأس C: $CE = CF$ محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه: $AB + BC + CA$. $AB = AD + DB$ $BC = BE + EC$ $CA = CF + FA$ إذن، المحيط = $(AD + DB) + (BE + EC) + (CF + FA)$. إذا كانت الأطوال المعطاة في الشكل (المفترض) هي: - $AD = AF = 5$ - $BD = BE = 8$ - $CE = CF = 10$ (هذه الأرقام افتراضية لتوضيح كيفية الوصول إلى الإجابة 46، حيث أن $2 \times (5+8+10) = 46$)
**الخطوة 3 (الحل):** باستخدام الأطوال الافتراضية: - طول الضلع الأول: $AB = AD + DB = 5 + 8 = 13$ - طول الضلع الثاني: $BC = BE + EC = 8 + 10 = 18$ - طول الضلع الثالث: $CA = CF + FA = 10 + 5 = 15$ نجمع أطوال الأضلاع لإيجاد المحيط: المحيط = $13 + 18 + 15 = 46$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن محيط المثلث هو: **46**

سؤال 13: أوجد كلاً من القياسات الآتية: m∠T

الإجابة: m∠T = 103

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفترض أن الزاوية T هي زاوية تتكون من تقاطع وترين داخل الدائرة. نتذكر أن قياس الزاوية المتكونة من تقاطع وترين داخل الدائرة يساوي نصف مجموع قياسي القوسين المقابلين لها.
**الخطوة 2 (التطبيق):** إذا كانت الزاوية T تقابل قوسين (لنسمهما القوس الأكبر والقوس الأصغر)، والإجابة هي 103، فهذا يعني أن مجموع قياسي هذين القوسين يجب أن يكون ضعف 103. أي أن مجموع القوسين = $2 \times 103^\circ = 206^\circ$.
**الخطوة 3 (الحل):** لنفترض أن القوسين المقابلين للزاوية T هما $180^\circ$ و $26^\circ$ (هذه الأرقام افتراضية لتوضيح كيفية الوصول إلى الإجابة 103، حيث أن $(180+26)/2 = 103$). بتطبيق القانون: $$m\\angle T = \frac{1}{2} (\text{قياس القوس الأول} + \text{قياس القوس الثاني})$$ $$m\\angle T = \frac{1}{2} (180^\circ + 26^\circ)$$ $$m\\angle T = \frac{1}{2} (206^\circ)$$ $$m\\angle T = 103^\circ$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية T هو: **$m\\angle T = 103$**

سؤال 14: أوجد كلاً من القياسات الآتية: x

الإجابة: x = 1/2

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفترض أن الشكل يمثل وترين متقاطعين داخل دائرة. نتذكر نظرية الأوتار المتقاطعة التي تنص على أنه إذا تقاطع وتران داخل دائرة، فإن حاصل ضرب جزئي الوتر الأول يساوي حاصل ضرب جزئي الوتر الثاني.
**الخطوة 2 (التطبيق):** لنفترض أن الوتر الأول مقسم إلى جزأين بطول x و 4، والوتر الثاني مقسم إلى جزأين بطول 1 و 2 (هذه الأرقام افتراضية لتوضيح كيفية الوصول إلى الإجابة 1/2، حيث أن $x \times 4 = 1 \times 2$).
**الخطوة 3 (الحل):** بتطبيق النظرية، نكتب المعادلة: $$x \times 4 = 1 \times 2$$ $$4x = 2$$ نقسم الطرفين على 4: $$x = \frac{2}{4}$$ نختصر الكسر: $$x = \frac{1}{2}$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي: **$x = 1/2$**

سؤال 15: أزهار: أرادت هند أن تحوط جذع شجرة بحوض من الأزهار. إذا كان مركز جذع الشجرة هو نقطة الأصل، وأرادت هند أن يمتد الحوض 3ft من مركز الشجرة، فما المعادلة التي تمثل المحيط الخارجي لحوض الأزهار؟

الإجابة: x² + y² = 9

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - مركز جذع الشجرة (وهو مركز الدائرة) هو نقطة الأصل (0, 0). - الحوض يمتد 3ft من مركز الشجرة، وهذا يعني أن نصف قطر الدائرة (r) هو 3ft.
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم معادلة الدائرة القياسية، والتي تُعطى بالصيغة: $$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$ حيث (h, k) هي إحداثيات مركز الدائرة، و r هو نصف قطرها.
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض بقيم المركز (h=0, k=0) ونصف القطر (r=3) في المعادلة: $$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 3^2$$ $$x^2 + y^2 = 9$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المعادلة التي تمثل المحيط الخارجي لحوض الأزهار هي: **$x^2 + y^2 = 9$**