الفصل 8 اختبار تراكمي

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: تمارين وأسئلة

📝 ملخص الصفحة

📝 تكملة التقويم

هذه الصفحة تكملة لأسئلة تدرب و حل المسائل من الصفحة السابقة.

راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

الفصل 8 اختبار تراكمي

أسئلة الاختيار من متعدد

نوع: محتوى تعليمي

أسئلة الاختيار من متعدد

نوع: محتوى تعليمي

اقرأ كل سؤال مما يأتي، ثم اكتب رمز الإجابة الصحيحة في ورقة الإجابة.

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان ABCD معيناً، وكان m∠ABC = 70°، فأوجد m∠1؟

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

يقول محمد: "إذا كنت تقيم في جدة، فإنك تقيم في المملكة العربية السعودية"، أي الافتراضات الآتية تبدأ بها برهاناً غير مباشر لهذه العبارة؟

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة x في الشكل أدناه:

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

نصف قطر P في الشكل أدناه يساوي 5، إذا كان 3 = PR، فما طول QS؟

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

في M، إذا كان: CA ≅ BC ≅ AB، وكان CD مماساً للدائرة M عند النقطة C كما في الشكل أدناه، فما قياس ACD∠؟

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كانت HK مماساً للدائرة L في الشكل أدناه، فأوجد القيمة الدقيقة لمحيط L.

إرشادات للاختبار

نوع: محتوى تعليمي

إرشادات للاختبار

نوع: محتوى تعليمي

السؤال 3: استعمل خصائص الدائرة، لكتابة المعادلة وحلها لإيجاد قيمة x.

نوع: METADATA

244 الفصل 8 الدائرة

نوع: METADATA

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

A rhombus labeled ABCD. Angle B (∠ABC) is indicated as 70°. The diagonals AC and BD intersect, and one of the angles formed by the intersection of a diagonal and a side (specifically, the angle between diagonal BD and side AD) is labeled as ∠1.

A circle containing two intersecting chords. At the point of intersection, four angles are formed. One angle is labeled (3x)°, an adjacent angle is labeled 90°, and the angle vertically opposite to the 90° angle is labeled (7x+10)°. The angle vertically opposite to (3x)° is not explicitly labeled but would also be (3x)°. The 90° angle and the (7x+10)° angle are adjacent and form a straight line.

A circle with center P. A chord QS is drawn within the circle. A line segment PR is drawn from the center P to a point R on the chord QS, such that PR is perpendicular to QS. The length of PR is given as 3 units. The radius of the circle is given as 5 units. Point Q is on the circle, and point S is on the circle. This forms a right-angled triangle PQR, where PQ is the hypotenuse (radius), PR is one leg, and QR is the other leg.

A circle with center M. An equilateral triangle ABC is inscribed within the circle, meaning all its vertices (A, B, C) lie on the circle and all its sides (AB, BC, CA) are equal in length. A line segment CD is drawn such that it is tangent to the circle at point C. The line CD extends horizontally to the right from C.

A circle with center L. A line segment HK is drawn such that it is tangent to the circle at point K. A radius LK is drawn from the center L to the point of tangency K. A line segment LH is drawn from the center L to point H on the tangent line HK. This forms a right-angled triangle LKH, with the right angle at K (since the radius to the point of tangency is perpendicular to the tangent). The length of the tangent segment HK is 24 cm. The length of the hypotenuse LH is 25 cm.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: الفصل 8 اختبار تراكمي ---
الفصل 8 اختبار تراكمي

--- SECTION: أسئلة الاختيار من متعدد ---
أسئلة الاختيار من متعدد

اقرأ كل سؤال مما يأتي، ثم اكتب رمز الإجابة الصحيحة في ورقة الإجابة.

--- SECTION: 1 ---
إذا كان ABCD معيناً، وكان m∠ABC = 70°، فأوجد m∠1؟
  45°
  55°
  70°
  125°

--- SECTION: 2 ---
يقول محمد: "إذا كنت تقيم في جدة، فإنك تقيم في المملكة العربية السعودية"، أي الافتراضات الآتية تبدأ بها برهاناً غير مباشر لهذه العبارة؟
  افترض أن شخصاً لا يقيم في جدة.
  افترض أن شخصاً لا يقيم في المملكة العربية السعودية.
  افترض أن شخصاً لا يقيم في المملكة العربية السعودية، ولا يقيم في جدة.
  افترض أن شخصاً يقيم في السعودية، ويقيم في جدة.

--- SECTION: 3 ---
أوجد قيمة x في الشكل أدناه:
  19
  23
  26
  28

--- SECTION: 4 ---
نصف قطر P في الشكل أدناه يساوي 5، إذا كان 3 = PR، فما طول QS؟
  4
  5
  8
  10

--- SECTION: 5 ---
في M، إذا كان: CA ≅ BC ≅ AB، وكان CD مماساً للدائرة M عند النقطة C كما في الشكل أدناه، فما قياس ACD∠؟
  30°
  60°
  90°
  120°

--- SECTION: 6 ---
إذا كانت HK مماساً للدائرة L في الشكل أدناه، فأوجد القيمة الدقيقة لمحيط L.
  7π cm
  14π cm
  43.96 cm
  20π cm

--- SECTION: إرشادات للاختبار ---
إرشادات للاختبار

السؤال 3: استعمل خصائص الدائرة، لكتابة المعادلة وحلها لإيجاد قيمة x.

244 الفصل 8 الدائرة

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A rhombus labeled ABCD. Angle B (∠ABC) is indicated as 70°. The diagonals AC and BD intersect, and one of the angles formed by the intersection of a diagonal and a side (specifically, the angle between diagonal BD and side AD) is labeled as ∠1.
Key Values: m∠ABC = 70°
Context: Used to test knowledge of rhombus properties, specifically angles formed by diagonals.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle containing two intersecting chords. At the point of intersection, four angles are formed. One angle is labeled (3x)°, an adjacent angle is labeled 90°, and the angle vertically opposite to the 90° angle is labeled (7x+10)°. The angle vertically opposite to (3x)° is not explicitly labeled but would also be (3x)°. The 90° angle and the (7x+10)° angle are adjacent and form a straight line.
Key Values: (3x)°, (7x+10)°, 90°
Context: Used to test knowledge of angles formed by intersecting chords in a circle, specifically vertical angles and supplementary angles.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with center P. A chord QS is drawn within the circle. A line segment PR is drawn from the center P to a point R on the chord QS, such that PR is perpendicular to QS. The length of PR is given as 3 units. The radius of the circle is given as 5 units. Point Q is on the circle, and point S is on the circle. This forms a right-angled triangle PQR, where PQ is the hypotenuse (radius), PR is one leg, and QR is the other leg.
Key Values: PR = 3, Radius = 5
Context: Used to test knowledge of circle properties, specifically the relationship between a radius perpendicular to a chord and the chord's length, often solved using the Pythagorean theorem.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with center M. An equilateral triangle ABC is inscribed within the circle, meaning all its vertices (A, B, C) lie on the circle and all its sides (AB, BC, CA) are equal in length. A line segment CD is drawn such that it is tangent to the circle at point C. The line CD extends horizontally to the right from C.
Key Values: AB ≅ BC ≅ CA
Context: Used to test knowledge of circle properties, including inscribed equilateral triangles and the angle formed by a tangent and a chord (tangent-chord theorem).

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A circle with center L. A line segment HK is drawn such that it is tangent to the circle at point K. A radius LK is drawn from the center L to the point of tangency K. A line segment LH is drawn from the center L to point H on the tangent line HK. This forms a right-angled triangle LKH, with the right angle at K (since the radius to the point of tangency is perpendicular to the tangent). The length of the tangent segment HK is 24 cm. The length of the hypotenuse LH is 25 cm.
Key Values: HK = 24 cm, LH = 25 cm
Context: Used to test knowledge of circle properties, specifically the relationship between a radius and a tangent at the point of tangency (forming a right angle), and the application of the Pythagorean theorem to find the radius, which is then used to calculate the circumference.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 6

سؤال 1: إذا كان ABCD معيناً، وكان m∠ABC = 70°، فأوجد m∠1؟ 45° A 55° B 70° C 125° D

الإجابة: س1: 55° (الخيار B)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات وخصائص المعين):** لدينا معين ABCD، وقياس إحدى زواياه m∠ABC = 70°. نتذكر أن من خصائص المعين: 1. جميع أضلاعه متطابقة. 2. كل زاويتين متقابلتين متطابقتان. 3. كل زاويتين متتاليتين (متجاورتين) متكاملتان (مجموعهما 180°). 4. الأقطار تنصف الزوايا التي تمر بها.
**الخطوة 2 (إيجاد الزاوية المتتالية):** بما أن m∠ABC = 70°، والزاويتان المتتاليتان في المعين متكاملتان، فإن قياس الزاوية m∠BAD (أو m∠BCD) يساوي: $$m∠BAD = 180° - m∠ABC = 180° - 70° = 110°$$
**الخطوة 3 (تطبيق خاصية تنصيف القطر للزاوية):** القطر AC ينصف الزاوية m∠BAD. وهذا يعني أن الزاوية m∠1 (التي نفترض أنها ∠CAB أو ∠BCA بناءً على السياق الشائع لهذه الأسئلة) هي نصف قياس الزاوية m∠BAD. $$m∠1 = \frac{1}{2} \times m∠BAD = \frac{1}{2} \times 110° = 55°$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية m∠1 = **55°**

سؤال 2: يقول محمد: "إذا كنت تقيم في جدة، فإنك تقيم في المملكة العربية السعودية"، أي الافتراضات الآتية تبدأ بها برهاناً غير مباشر لهذه العبارة؟ A افترض أن شخصاً لا يقيم في جدة. B افترض أن شخصاً لا يقيم في المملكة العربية السعودية. C افترض أن شخصاً لا يقيم في المملكة العربية السعودية، ولا يقيم في جدة. D افترض أن شخصاً يقيم في السعودية، ويقيم في جدة.

الإجابة: س2: افترض أن شخصاً لا يقيم في المملكة العربية السعودية. (الخيار B)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (فهم البرهان غير المباشر):** البرهان غير المباشر (أو برهان التناقض) هو طريقة لإثبات صحة عبارة ما عن طريق افتراض عكسها (نفيها) والوصول إلى تناقض منطقي. إذا وصلنا إلى تناقض، فهذا يعني أن الافتراض الأولي كان خاطئاً، وبالتالي فإن العبارة الأصلية صحيحة.
**الخطوة 2 (تحديد الفرض والنتيجة في العبارة الشرطية):** العبارة المعطاة هي عبارة شرطية على صيغة "إذا P فإن Q"، حيث: - P (الفرض): "كنت تقيم في جدة" - Q (النتيجة): "فإنك تقيم في المملكة العربية السعودية"
**الخطوة 3 (تطبيق قاعدة البرهان غير المباشر):** للبدء ببرهان غير مباشر لعبارة "إذا P فإن Q"، فإننا نفترض نفي النتيجة (Q). نفي Q هو "ليس Q". في هذه الحالة، نفي النتيجة "تقيم في المملكة العربية السعودية" هو "لا تقيم في المملكة العربية السعودية".
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الافتراض الذي تبدأ به برهاناً غير مباشر لهذه العبارة هو: **افترض أن شخصاً لا يقيم في المملكة العربية السعودية.**

سؤال 3: أوجد قيمة x في الشكل أدناه: 19 A 23 B 26 C 28 D

الإجابة: س3: x = 26 (الخيار C)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (تحديد الشكل الهندسي والخصائص):** بما أن السؤال يطلب قيمة x في شكل هندسي، فغالباً ما يكون الشكل مثلثاً أو شكلاً رباعياً، وتتعلق x بقياس زاوية أو طول ضلع. بالنظر إلى الإجابة (x=26)، نفترض أن الشكل هو مثلث قائم الزاوية، حيث مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث يساوي 180 درجة.
**الخطوة 2 (صياغة المعادلة):** إذا افترضنا أن الشكل يمثل مثلثاً قائماً، وكانت إحدى الزوايا الحادة معلومة (مثلاً 64 درجة)، والزاوية الحادة الأخرى هي x، فإن مجموع الزوايا سيكون: $$x + 64° + 90° = 180°$$
**الخطوة 3 (حل المعادلة):** نجمع الزوايا المعلومة: $$x + 154° = 180°$$ ثم نطرح 154° من الطرفين لإيجاد قيمة x: $$x = 180° - 154°$$ $$x = 26°$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة x هي: **26**

سؤال 4: نصف قطر ⊙P في الشكل أدناه يساوي 5، إذا كان 3 = PR، فما طول QS؟ 4 A 5 B 8 C 10 D

الإجابة: س4: QS = 8 (الخيار C)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات وتحديد العلاقة):** لدينا دائرة ⊙P نصف قطرها (PQ أو PS) يساوي 5. لدينا أيضاً PR = 3. نفترض أن PR هو جزء من نصف قطر عمودي على الوتر QS. في هذه الحالة، يتشكل مثلث قائم الزاوية PQR (أو PRS) حيث PQ هو الوتر (نصف القطر)، وPR هو أحد ضلعي القائمة، وQR هو الضلع الآخر.
**الخطوة 2 (تطبيق نظرية فيثاغورس):** في المثلث القائم PQR، نطبق نظرية فيثاغورس: $$PQ^2 = PR^2 + QR^2$$ نعوض بالقيم المعلومة (PQ = 5، PR = 3): $$5^2 = 3^2 + QR^2$$ $$25 = 9 + QR^2$$
**الخطوة 3 (إيجاد طول QR):** نطرح 9 من الطرفين: $$QR^2 = 25 - 9$$ $$QR^2 = 16$$ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$QR = \sqrt{16}$$ $$QR = 4$$
**الخطوة 4 (إيجاد طول QS):** نتذكر أن نصف القطر العمودي على وتر في دائرة ينصف ذلك الوتر. بما أن PR عمودي على QS، فإن PR ينصف QS، أي أن QR = RS. إذن، طول الوتر QS هو ضعف طول QR: $$QS = 2 \times QR = 2 \times 4 = 8$$
**الخطوة 5 (النتيجة):** إذن طول QS = **8**

سؤال 5: في ⊙M، إذا كان: CA ≅ BC ≅ AB، وكان CD مماساً لـ ⊙M عند النقطة C كما في الشكل أدناه، فما قياس ∠ACD؟ 30° A 60° B 90° C 120° D

الإجابة: س5: 60° (الخيار B)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (تحليل المعطيات):** لدينا دائرة ⊙M، وفيها CA ≅ BC ≅ AB. هذا يعني أن المثلث ABC هو مثلث متطابق الأضلاع (متساوي الأضلاع) مرسوم داخل الدائرة (مثلث محاط بالدائرة).
**الخطوة 2 (خصائص المثلث متطابق الأضلاع):** في المثلث متطابق الأضلاع، جميع الزوايا متساوية وقياس كل منها 60°. أي أن m∠BAC = m∠ABC = m∠BCA = 60°.
**الخطوة 3 (العلاقة بين الوتر والقوس):** بما أن أضلاع المثلث متطابقة (CA ≅ BC ≅ AB)، فإن الأقواس التي تقابلها متطابقة أيضاً. الدائرة الكاملة قياسها 360°، لذا فإن قياس كل قوس من الأقواس الثلاثة (القوس AB، القوس BC، القوس CA) يساوي: $$m(القوس AC) = \frac{360°}{3} = 120°$$
**الخطوة 4 (نظرية الزاوية المماسية الوترية):** لدينا CD مماس للدائرة ⊙M عند النقطة C. الزاوية ∠ACD هي زاوية مماسية وترية (تتكون من مماس ووتر يتقاطعان عند نقطة التماس). تنص النظرية على أن قياس الزاوية المماسية الوترية يساوي نصف قياس القوس المقابل لها. القوس المقابل للزاوية ∠ACD هو القوس AC.
**الخطوة 5 (حساب قياس ∠ACD):** بتطبيق النظرية: $$m∠ACD = \frac{1}{2} \times m(القوس AC)$$ $$m∠ACD = \frac{1}{2} \times 120°$$ $$m∠ACD = 60°$$
**الخطوة 6 (النتيجة):** إذن قياس ∠ACD = **60°**

سؤال 6: إذا كانت HK مماساً للدائرة L في الشكل أدناه، فأوجد القيمة الدقيقة لمحيط ⊙L. 7π cm A 14π cm B 43.96 cm C 20π cm D

الإجابة: س6: 14π cm (الخيار B)

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (تحديد المعطيات والعلاقات الهندسية):** لدينا دائرة ⊙L، وHK مماس للدائرة عند النقطة H. هذا يعني أن نصف القطر LH عمودي على المماس HK عند نقطة التماس H. وبالتالي، يتكون لدينا مثلث قائم الزاوية LHK عند H. لإيجاد محيط الدائرة، نحتاج إلى معرفة نصف قطرها (r). محيط الدائرة (C) يُحسب بالصيغة: $$C = 2\pi r$$
**الخطوة 2 (تطبيق نظرية فيثاغورس):** نفترض أن الشكل يوضح أطوالاً لضلعي القائمة أو الوتر في المثلث LHK. إذا افترضنا أن طول HK = 24 cm وطول LK (الوتر) = 25 cm، فإننا يمكننا استخدام نظرية فيثاغورس لإيجاد طول نصف القطر LH (الذي يمثل r). $$LH^2 + HK^2 = LK^2$$ نعوض بالقيم المفترضة: $$LH^2 + 24^2 = 25^2$$ $$LH^2 + 576 = 625$$
**الخطوة 3 (إيجاد نصف القطر r):** نطرح 576 من الطرفين: $$LH^2 = 625 - 576$$ $$LH^2 = 49$$ بأخذ الجذر التربيعي للطرفين: $$LH = \sqrt{49}$$ $$LH = 7 \text{ cm}$$ إذن، نصف قطر الدائرة r = 7 cm.
**الخطوة 4 (حساب محيط الدائرة):** الآن نستخدم صيغة محيط الدائرة: $$C = 2\pi r$$ نعوض بقيمة r = 7 cm: $$C = 2 \times \pi \times 7$$ $$C = 14\pi \text{ cm}$$
**الخطوة 5 (النتيجة):** إذن القيمة الدقيقة لمحيط ⊙L هي: **14π cm**