استعمال خصائص المستطيل والجبر

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 استعمال خصائص المستطيل والجبر

المفاهيم الأساسية

نظرية 5.14: إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين فإنه مستطيل.

خريطة المفاهيم

```markmap

المستطيل

التعريف

متوازي أضلاع

زواياه الأربع قوائم

الخصائص (مشتقة من التعريف)

الزوايا الأربع قوائم

كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان

كل زاويتين متحالفتين متكاملتان

القطران ينصف كل منهما الآخر

نظرية إضافية (5.13)

إذا كان متوازي الأضلاع مستطيلاً

فإن قطريه متطابقان

نظرية 5.14 (عكس 5.13)

إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين

فإنه مستطيل

أهداف الدرس

التعرف على خصائص المستطيل وتطبيقها

تحديد ما إذا كان متوازي الأضلاع مستطيلاً

استعمال الخصائص مع الجبر

إيجاد قيم مجهولة باستخدام خصائص الزوايا والأضلاع

تطبيق مسلمة جمع الزوايا

```

نقاط مهمة

يمكن استعمال خصائص المستطيل والجبر معاً لإيجاد قيم مجهولة.
في المستطيل، الزوايا الأربع قوائم (قياس كل منها 90°).
في المستطيل، الزوايا المتبادلة داخلياً بالنسبة للقطر متطابقة.
نظرية 5.14 هي عكس نظرية 5.13.
إثبات نظرية 5.14 موجود في السؤال 34.

---

حل مثال

المثال 2: الشكل الرباعي JKLM مستطيل. إذا كان m\angle KJL = (2x + 4)° و m\angle JLK = (7x + 5)°، فأوجد قيمة x.

الحل:

بما أن JKLM مستطيل، فإن \angle MLK قائمة (90°).

الزاويتان \angle KJL و \angle JLK متبادلتان داخلياً بالنسبة للقطر، لذا هما متطابقتان. لكن في هذا السياق، هما زاويتان حادتان في مثلث قائم.

في \triangle JKL، الزاوية \angle JKL = 90°.

مجموع زوايا المثلث 180°، لكن الأسهل: m\angle JLK + m\angle KJL = 90° (لأنهما زاويتان حادتان في المثلث القائم، ومجموعهما 90°).

بالتالي: (7x + 5) + (2x + 4) = 90

9x + 9 = 90

9x = 81

x = 9

المثال (بعد نظرية 5.14): في WXYZ، إذا كان WX \cong XZ، فإن \square WXYZ مستطيل.

التفسير: XZ هو قطر، و WX هو ضلع. الشرط المذكور في النظرية هو تطابق القطرين (WY \cong XZ)، وليس تطابق ضلع مع قطر. هذا المثال يوضح فكرة النظرية بشكل عام: إذا تطابق القطران في متوازي الأضلاع، فهو مستطيل.

المثال 3 (من واقع الحياة - كرة طائرة): ملعب ABCD. إذا كان AD = 30 ft، CD = 60 ft، BD = 67 ft، AC = 67 ft، كيف نتحقق من أنه مستطيل؟

الحل:

تحقق أولاً أن الشكل متوازي أضلاع: AB \cong CD و BC \cong AD (معطى ضمنياً أو من شكل الملعب).

بما أن AC = BD = 67 ft، فإن القطرين متطابقين.

طبق نظرية 5.14: إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين، فإنه مستطيل.

إذن، \square ABCD مستطيل.

---

تحقق من فهمك

السؤال 2: استعن بالشكل في المثال 2. إذا كان JP = 3y - 5، MK = 5y + 1، فأوجد قيمة y.

الحل:

في المستطيل، القطران متطابقان وينصف كل منهما الآخر.

النقطة P هي نقطة تقاطع القطرين، لذا JP = \frac{1}{2} JL و MK هو القطر كاملاً.

العلاقة الصحيحة هي: JP = \frac{1}{2} MK، لأن JP نصف قطر و MK هو القطر الآخر (المتطابق مع JL).

إذن: 3y - 5 = \frac{1}{2}(5y + 1)

2(3y - 5) = 5y + 1

6y - 10 = 5y + 1

6y - 5y = 1 + 10

y = 11

---

> 📝 ملاحظة: هذه الصفحة تحتوي على أسئلة تقويمية - راجع تبويب الواجبات للإجابات الكاملة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك استعمال خصائص المستطيل والجبر لإيجاد قيم مجهولة.

مثال 2

نوع: محتوى تعليمي

جبر: الشكل الرباعي JKLM مستطيل. إذا كان 
$m\angle KJL = (2x + 4)°$ و $m\angle JLK = (7x + 5)°$ ، فأوجد قيمة x.

نوع: محتوى تعليمي

بما أن JKLM مستطيل، فإن زواياه الأربع قوائم؛ إذن $m\angle MLK = 90°$.

نوع: محتوى تعليمي

وبما أن JKLM مستطيل، فأو أضلاعه متوازية، والزوايا المتبادلة داخلياً بالنسبة للقطر متطابقة، لذلك فإن $m\angle KJL \approx m\angle JLK$ ، ومن ذلك $m\angle JLK = m\angle KJL$.

نوع: محتوى تعليمي

مسلمة جمع الزوايا
$m\angle JLK + m\angle KJL = 90°$
بالتعويض
$(7x + 5)° + (2x + 4)° = 90°$
$(9x + 9)° = 90°$
$9x° = 81°$
$x = 9$

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_ACTIVITY

استعن بالشكل في المثال 2. إذا كان $JP = 3y - 5$ ، $MK = 5y + 1$ ، فأوجد قيمة y.

إرشادات للدراسة

نوع: METADATA

الزوايا القوائم:
تذكر من النظرية 5.6 أنه إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة، فإن زواياه الأربع قوائم.

إرشادات للدراسة

نوع: METADATA

الزاويتان المتبادلتان داخلياً بالنسبة لقطر:
درست سابقاً أن نظرية الزاويتان المتبادلتان داخلياً أنه إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين، فإن كل زاويتين متبادلتين داخلياً متطابقتين، وينطبق هذا على الزاويتين المتبادلتين بالنسبة لقطر متوازي الأضلاع.

نظرية 5.14

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين فإنه مستطيل.

مثال

نوع: محتوى تعليمي

في WXYZ ، إذا كان $WX \cong XZ$ ، فإن $\square WXYZ$ مستطيل.

نوع: محتوى تعليمي

إثبات أن متوازي أضلاع يكون مستطيلاً، عكس النظرية 5.13 صحيح أيضاً.

نوع: محتوى تعليمي

سوف تبرهن هذه النظرية في السؤال 34.

أضف إلى

نوع: METADATA

مكتبتك

نوع: محتوى تعليمي

إذا تطابق قطرا متوازي الأضلاع، فإنه مستطيل.

مثال 3

نوع: محتوى تعليمي

من واقع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

كرة طائرة: أنشأ نادٍ رياضي ملعباً لكرة الطائرة، وللتأكد من أنه يحقق المواصفات المطلوبة، قاس المشرفون أطوال أضلاع الملعب وقطريه. فإذا كان $AD = 30 ft$ ، $CD = 60 ft$ ، $BD = 67 ft$ ، $AC = 67 ft$ ، فما كيف يمكنهم التحقق من أنه مستطيل.

نوع: محتوى تعليمي

بما أن $AB \cong CD$ ، $BC \cong AD$ ، فإن $\overline{AC} \cong \overline{BD}$ ، ولأن $\overline{AC}$ و $\overline{BD}$ قطرا متوازي أضلاع. فإن $\square ABCD$ مستطيل.

وزارة التعليم

نوع: METADATA

الدرس 4-5 المستطيل

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

كرة الطائرة هي رياضة جماعية يتنافس فيها فريقان، لكل منهما ستة لاعبين، أما الكرة المستخدمة في هذه اللعبة، فهي متوسطة الحجم وأصغر من كرة القدم وأخف منها وزناً.

نوع: محتوى تعليمي

بما أن $AC = BD$ ، فإن القطرين متطابقين، وهذا يعني أن الشكل مستطيل.

🔍 عناصر مرئية

الشكل الرباعي JKLM

A rectangle JKLM with diagonals JL and KM intersecting at point P. Angles are marked implicitly as right angles due to it being a rectangle.

مثال

A quadrilateral WXYZ with diagonals WY and XZ. Angles labeled 1, 2, 3, 4 are shown.

ملعب كرة طائرة

A rectangular field labeled ABCD, with diagonals AC and BD. The field is divided into four smaller rectangular sections by lines parallel to the sides.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: استعمال خصائص المستطيل والجبر ---
يمكنك استعمال خصائص المستطيل والجبر لإيجاد قيم مجهولة.

--- SECTION: مثال 2 ---
جبر: الشكل الرباعي JKLM مستطيل. إذا كان 
$m\angle KJL = (2x + 4)°$ و $m\angle JLK = (7x + 5)°$ ، فأوجد قيمة x.

بما أن JKLM مستطيل، فإن زواياه الأربع قوائم؛ إذن $m\angle MLK = 90°$.

وبما أن JKLM مستطيل، فأو أضلاعه متوازية، والزوايا المتبادلة داخلياً بالنسبة للقطر متطابقة، لذلك فإن $m\angle KJL \approx m\angle JLK$ ، ومن ذلك $m\angle JLK = m\angle KJL$.

مسلمة جمع الزوايا
$m\angle JLK + m\angle KJL = 90°$
بالتعويض
$(7x + 5)° + (2x + 4)° = 90°$
$(9x + 9)° = 90°$
$9x° = 81°$
$x = 9$

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
استعن بالشكل في المثال 2. إذا كان $JP = 3y - 5$ ، $MK = 5y + 1$ ، فأوجد قيمة y.

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
الزوايا القوائم:
تذكر من النظرية 5.6 أنه إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة، فإن زواياه الأربع قوائم.

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
الزاويتان المتبادلتان داخلياً بالنسبة لقطر:
درست سابقاً أن نظرية الزاويتان المتبادلتان داخلياً أنه إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين، فإن كل زاويتين متبادلتين داخلياً متطابقتين، وينطبق هذا على الزاويتين المتبادلتين بالنسبة لقطر متوازي الأضلاع.

--- SECTION: نظرية 5.14 ---
إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين فإنه مستطيل.

--- SECTION: مثال ---
في WXYZ ، إذا كان $WX \cong XZ$ ، فإن $\square WXYZ$ مستطيل.

إثبات أن متوازي أضلاع يكون مستطيلاً، عكس النظرية 5.13 صحيح أيضاً.

سوف تبرهن هذه النظرية في السؤال 34.

--- SECTION: أضف إلى ---
مكتبتك

إذا تطابق قطرا متوازي الأضلاع، فإنه مستطيل.

--- SECTION: مثال 3 ---
من واقع الحياة

كرة طائرة: أنشأ نادٍ رياضي ملعباً لكرة الطائرة، وللتأكد من أنه يحقق المواصفات المطلوبة، قاس المشرفون أطوال أضلاع الملعب وقطريه. فإذا كان $AD = 30 ft$ ، $CD = 60 ft$ ، $BD = 67 ft$ ، $AC = 67 ft$ ، فما كيف يمكنهم التحقق من أنه مستطيل.

بما أن $AB \cong CD$ ، $BC \cong AD$ ، فإن $\overline{AC} \cong \overline{BD}$ ، ولأن $\overline{AC}$ و $\overline{BD}$ قطرا متوازي أضلاع. فإن $\square ABCD$ مستطيل.

--- SECTION: وزارة التعليم ---
الدرس 4-5 المستطيل

--- SECTION: الربط مع الحياة ---
كرة الطائرة هي رياضة جماعية يتنافس فيها فريقان، لكل منهما ستة لاعبين، أما الكرة المستخدمة في هذه اللعبة، فهي متوسطة الحجم وأصغر من كرة القدم وأخف منها وزناً.

بما أن $AC = BD$ ، فإن القطرين متطابقين، وهذا يعني أن الشكل مستطيل.

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: الشكل الرباعي JKLM
Description: A rectangle JKLM with diagonals JL and KM intersecting at point P. Angles are marked implicitly as right angles due to it being a rectangle.
X-axis: x-axis
Y-axis: y-axis
Context: Used to illustrate algebraic properties of rectangle angles and diagonals.

**DIAGRAM**: مثال
Description: A quadrilateral WXYZ with diagonals WY and XZ. Angles labeled 1, 2, 3, 4 are shown.
Context: Illustrates the condition for a parallelogram to be a rectangle: congruent diagonals.

**DIAGRAM**: ملعب كرة طائرة
Description: A rectangular field labeled ABCD, with diagonals AC and BD. The field is divided into four smaller rectangular sections by lines parallel to the sides.
Context: Represents a real-world scenario (volleyball court) to apply geometric properties of rectangles.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 2: تحقق من فهمك 2) استعن بالشكل في المثال 2. إذا كان $JP = 3y - 5$ ، $MK = 5y + 1$ ، فأوجد قيمة y.

الإجابة: س2: بما أن قطري المستطيل متطابقان وينصفان فإن (MK = 2(JP ، لذا: 5y + 1 = 2(3y - 5) 5y + 1 = 6y - 10 11 = y

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من السؤال: - طول جزء من القطر: $JP = 3y - 5$ - طول القطر كامل: $MK = 5y + 1$ - الشكل المشار إليه في المثال 2 هو مستطيل.
**الخطوة 2 (المبدأ الهندسي):** في المستطيل، الأقطار متطابقة (أي متساوية في الطول) وينصف بعضها بعضًا. هذا يعني أن نقطة تقاطع القطرين تقسم كل قطر إلى جزأين متساويين في الطول. بما أن $JP$ يمثل نصف أحد القطرين، و $MK$ يمثل طول القطر كاملاً، فإن طول القطر الكامل يساوي ضعف طول نصف القطر. إذن، العلاقة التي تربط بين $MK$ و $JP$ هي: $$MK = 2 \times JP$$
**الخطوة 3 (الحل):** الآن، نعوض بالقيم المعطاة في العلاقة التي توصلنا إليها: $$5y + 1 = 2 \times (3y - 5)$$ نبدأ بتوزيع العدد 2 على الحدود داخل القوس في الطرف الأيمن من المعادلة: $$5y + 1 = 6y - 10$$ لحل المعادلة وإيجاد قيمة $y$، نجمع الحدود المتشابهة. نطرح $5y$ من كلا طرفي المعادلة: $$1 = 6y - 5y - 10$$ $$1 = y - 10$$ ثم نضيف 10 إلى كلا طرفي المعادلة لعزل $y$: $$1 + 10 = y$$ $$11 = y$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة $y$ التي تحقق العلاقة في المستطيل هي: **11**

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الخاصية التي يمكن استخدامها لإثبات أن زاويتين في مستطيل متطابقتين إذا كانتا متبادلتين داخلياً بالنسبة للقطر؟

أ) نظرية فيثاغورس: في المثلث القائم، مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين.
ب) نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً: إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين، فإن كل زاويتين متبادلتين داخلياً متطابقتين.
ج) خاصية التوزيع في الجبر: أ(ب+ج) = أب + أج.
د) نظرية مجموع زوايا المثلث: مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياً: إذا قطع قاطع مستقيمين متوازيين، فإن كل زاويتين متبادلتين داخلياً متطابقتين.

الشرح: 1. في المستطيل، كل ضلعين متقابلين متوازيان. 2. القطر يعمل كقاطع يقطع هذين الضلعين المتوازيين. 3. الزوايا المتكونة عند تقاطع القطر مع الأضلاع المتوازية تكون متبادلة داخلياً. 4. وفق النظرية، الزاويتان المتبادلتان داخلياً متطابقتان.

تلميح: تذكر خصائص المستقيمات المتوازية والقاطع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الشرط الكافي لإثبات أن متوازي أضلاع هو مستطيل، وفق النظرية 5.14؟

أ) إذا كانت زواياه الأربع حادة.
ب) إذا كان قطراه متعامدين.
ج) إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين، فإنه مستطيل.
د) إذا كانت أضلاعه الأربعة متطابقة.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين، فإنه مستطيل.

الشرح: 1. النظرية 5.14 تنص على شرط كافي (وليس شرطاً ضرورياً فقط). 2. إذا تحقق هذا الشرط في أي متوازي أضلاع (أي تطابق قطريه)، فإنه يصبح مستطيلاً تلقائياً. 3. هذه إحدى الطرق العملية للتحقق من شكل رباعي أنه مستطيل.

تلميح: فكر في خاصية تميز المستطيل عن متوازي الأضلاع العادي.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

في المستطيل JKLM، إذا علمت أن قياس ∠KJL = (2x+4)° وقياس ∠JLK = (7x+5)°، وكانت هاتان الزاويتان متبادلتين داخلياً بالنسبة للقطر JL، فما قيمة x؟

أ) 5
ب) 7
ج) 9
د) 11

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 9

الشرح: 1. الزاويتان ∠KJL و ∠JLK متبادلتان داخلياً بالنسبة للقطر JL، لذا هما متطابقتان: (2x+4) = (7x+5). 2. لكن في المثال، استخدمت أن مجموعهما مع الزاوية القائمة (∠MLK) يساوي 90° لأن المثلث JKL قائم في L. 3. المعادلة: (7x+5) + (2x+4) = 90. 4. بحل المعادلة: 9x + 9 = 90 → 9x = 81 → x = 9.

تلميح: الزاويتان متطابقتان ومجموعهما مع الزاوية القائمة عند الرأس L يساوي 90°.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: متوسط

كيف يمكن التحقق عملياً من أن ملعب كرة طائرة (شكل رباعي) مستطيل، باستخدام القياسات الميدانية لأطوال أضلاعه وقطريه؟

أ) بقياس زواياه الأربع والتأكد من أنها قوائم (90°) باستخدام منقلة.
ب) بقياس أطوال القطرين، فإذا كانا متطابقين، وكان الشكل متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متطابقة)، فإنه مستطيل.
ج) بقياس محيط الملعب ومقارنته بمساحته.
د) بالتأكد من أن جميع أضلاعه الأربعة متطابقة في الطول.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: بقياس أطوال القطرين، فإذا كانا متطابقين، وكان الشكل متوازي أضلاع (أضلاعه المتقابلة متطابقة)، فإنه مستطيل.

الشرح: 1. أولاً، التأكد أن الشكل متوازي أضلاع عن طريق قياس أطوال الأضلاع المتقابلة (مثلاً AD = BC و AB = CD). 2. ثانياً، قياس طولي القطرين (AC و BD). 3. إذا كان القطران متطابقين (AC = BD)، فإن متوازي الأضلاع هذا هو مستطيل وفق النظرية 5.14.

تلميح: تذكر النظرية التي تربط تطابق القطرين بشكل الرباعي.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: صعب