تحقق من فهمك

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 10 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 المستطيل والهندسة الإحداثية

المفاهيم الأساسية

زاوية النجارين: أداة تستخدم لقياس وتحديد الزوايا القائمة (90°) ورسم خطوط عمودية.

خريطة المفاهيم

```markmap

المستطيل

التعريف

متوازي أضلاع

زواياه الأربع قوائم

الخصائص (مشتقة من التعريف)

الزوايا الأربع قوائم

كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتطابقان

كل زاويتين متحالفتين متكاملتان

القطران ينصف كل منهما الآخر

نظرية إضافية (5.13)

إذا كان متوازي الأضلاع مستطيلاً

فإن قطريه متطابقان

نظرية 5.14 (عكس 5.13)

إذا كان قطرا متوازي أضلاع متطابقين

فإنه مستطيل

أهداف الدرس

التعرف على خصائص المستطيل وتطبيقها

تحديد ما إذا كان متوازي الأضلاع مستطيلاً

استعمال الخصائص مع الجبر

إيجاد قيم مجهولة باستخدام خصائص الزوايا والأضلاع

تطبيق مسلمة جمع الزوايا

إثبات أن شكلًا رباعيًا مستطيل

باستخدام خصائص المستطيل

#### في المستوى الإحداثي (معرفة إحداثيات الرؤوس)

باستخدام الهندسة الإحداثية

#### صيغة المسافة بين نقطتين

##### للتحقق من تساوي أطوال الأضلاع المتقابلة (متوازي أضلاع)

##### للتحقق من تساوي طولي القطرين (مستطيل)

#### صيغة الميل

##### للتحقق من تعامد الأضلاع المتجاورة

```

نقاط مهمة

كل مستطيل هو متوازي أضلاع، ولكن ليس كل متوازي أضلاع مستطيلاً.
يمكن استخدام خصائص المستطيل لإثبات أن شكلاً رباعيًا مرسومًا في المستوى الإحداثي (معرفة إحداثيات رؤوسه) هو مستطيل.
إحدى طرق الإثبات في الهندسة الإحداثية هي استخدام صيغة المسافة بين نقطتين للتحقق من تساوي أطوال الأضلاع المتقابلة (لتثبت أنه متوازي أضلاع)، ثم التحقق من تساوي طولي القطرين (لتثبت أنه مستطيل).
طريقة أخرى هي استخدام صيغة الميل للتحقق من تعامد الأضلاع المتجاورة.

---

السؤال 3:

* المعطيات: منطقة مستوية (شكل رباعي) أبعادها 80 بوصة و 36 بوصة. الزاوية عند الركن الأيسر السفلي قائمة (تم التحقق باستخدام زاوية النجارين).

* المطلوب: هل يمكن استنتاج أن المنطقة مستطيلة الشكل؟ توضيح الإجابة.

* الإجابة: لا، لا يمكن الاستنتاج. مجرد كون زاوية واحدة قائمة لا يضمن أن الشكل الرباعي مستطيل. يجب التحقق من أن جميع زواياه الأربع قوائم، أو إثبات أنه متوازي أضلاع بزاوية قائمة واحدة.

السؤال 4:

* المعطيات: إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي JKLM هي: J(-10, 2), K(-8, -6), L(5, -3), M(2, 5).

* المطلوب: تحديد إذا كان JKLM مستطيلاً باستخدام صيغة الميل.

* خطوات الحل:

1. إثبات أن JKLM متوازي أضلاع: بحساب ميل كل ضلع.

* ميل JK = (-6 - 2) / (-8 - (-10)) = (-8) / (2) = -4

* ميل LM = (5 - (-3)) / (2 - 5) = (8) / (-3) = -8/3

* ميل KL = (-3 - (-6)) / (5 - (-8)) = (3) / (13) = 3/13

* ميل MJ = (2 - 5) / (-10 - 2) = (-3) / (-12) = 1/4

* نلاحظ أن: ميل JK ≠ ميل LM ، و ميل KL ≠ ميل MJ. إذن، الأضلاع المتقابلة غير متوازية.

2. الاستنتاج: بما أن الشرط الأساسي (أن يكون الشكل متوازي أضلاع) غير محقق، فإن الشكل JKLM ليس مستطيلاً.

---

حل مثال

مثال 4: المستطيل والهندسة الإحداثية

* المعطيات: إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي PQRS هي: P(-5, 3), Q(1, -1), R(-1, -4), S(-7, 0).

* المطلوب: هل PQRS مستطيل؟ باستخدام صيغة المسافة.

* خطوات الحل:

* الخطوة 1: إثبات أن PQRS متوازي أضلاع بحساب أطوال الأضلاع المتقابلة باستخدام صيغة المسافة:

* PQ = √((1 - (-5))² + (-1 - 3)²) = √(6² + (-4)²) = √(36+16) = √52

* RS = √((-7 - (-1))² + (0 - (-4))²) = √((-6)² + (4)²) = √(36+16) = √52

* PS = √((-7 - (-5))² + (0 - 3)²) = √((-2)² + (-3)²) = √(4+9) = √13

* QR = √((-1 - 1)² + (-4 - (-1))²) = √((-2)² + (-3)²) = √(4+9) = √13

* النتيجة: PQ = RS و PS = QR. إذن، الأضلاع المتقابلة متطابقة، لذا PQRS متوازي أضلاع.

* الخطوة 2: التحقق من تطابق القطرين (خاصية المستطيل):

* PR = √((-1 - (-5))² + (-4 - 3)²) = √(4² + (-7)²) = √(16+49) = √65

* QS = √((-7 - 1)² + (0 - (-1))²) = √((-8)² + (1)²) = √(64+1) = √65

* النتيجة: PR = QS. إذن، قطري متوازي الأضلاع PQRS متطابقان.

* الاستنتاج: بما أن PQRS متوازي أضلاع وقطراه متطابقان، فإنه مستطيل.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تصميم بالرجوع إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس قاس أحمد أبعاد المنطقة التي قام بطلائها كما في
الشكل أدناه. وباستعمال زاوية النجارين تحقق من أن الزاوية عند الركن الأيسر السفلي قائمة. فهل يمكنه
استنتاج أن المنطقة مستطيلة الشكل؟ وضح إجابتك.

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

الربط مع الحياة
زاوية النجارين
عبارة عن ضلع خشبي سميك
ومسطرة معدنية مثبتة
معه بحيث يصنعان زاوية
90 ، وتُصنع من المعدن أو
الخشب، وتستخدم لقياس
وتحديد الزوايا القائمة
ورسم خطوط عمودية على
الأحرف.

نوع: محتوى تعليمي

يمكنك أيضا استعمال خصائص المستطيل لإثبات أن شكلاً رباعيًا مرسوما في المستوى الإحداثي علمت
إحداثيات رؤوسه هو مستطيل.

مثال 4 المستطيل والهندسة الإحداثية

نوع: محتوى تعليمي

مثال 4 المستطيل والهندسة الإحداثية

نوع: محتوى تعليمي

هندسة إحداثية : إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي PQRS
هي (7,0), S(1,4), R(5,3), Q(5,3), P(. فهل PQRS
مستطيل ؟ استعمل صيغة المسافة بين نقطتين.

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 1 : استعمل صيغة المسافة بين نقطتين لتحدد ما إذا كان PQRS
متوازي أضلاع، وذلك بالتحقق من أن أضلاعه المتقابلة
متطابقة.

نوع: محتوى تعليمي

PQ = √((-5-1)² + [3 – (-1)]²) = √52
RS = √([-1-(-7)]² + (-4-0)²) = √52
PS = √([-5-(-7)]² + (3-0)²) = √13
QR = √([1-(-1)]² + [-1 − (−4)]²) = √13

نوع: محتوى تعليمي

بما أن أضلاع PQRS المتقابلة متساوية الطول، فإنّها متطابقة؛ لذا فإن PQRS متوازي أضلاع.

نوع: محتوى تعليمي

الخطوة 2 : هل قطرا PQRS متطابقان ؟

نوع: محتوى تعليمي

PR = √([-5-(-1)]² + [3-(-4)]²) = √65
QS = √([1 - (-7)]² + (−1−0)²) = √65

نوع: محتوى تعليمي

بما أن للقطرين الطول نفسه، فإنّهما متطابقان؛ لذا فإن PQRS مستطيل.

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

إرشادات للدراسة
المستطيل
ومتوازي الأضلاع :
كل مستطيل متوازي
أضلاع، ولكن ليس
كل متوازي أضلاع
مستطيلا.

تحقق من فهمك

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي JKLM هي J(-10, 2), K(-8, −6), L(5, −3), M(2,5)
فهل JKLM مستطيل؟ استعمل صيغة الميل.

🔍 عناصر مرئية

rectangle dimensions

A rectangle with dimensions 80 in and 36 in is shown. A right angle is marked at the bottom left corner.

A quadrilateral PQRS is plotted on a Cartesian grid.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك

--- SECTION: 3 ---
تصميم بالرجوع إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس قاس أحمد أبعاد المنطقة التي قام بطلائها كما في
الشكل أدناه. وباستعمال زاوية النجارين تحقق من أن الزاوية عند الركن الأيسر السفلي قائمة. فهل يمكنه
استنتاج أن المنطقة مستطيلة الشكل؟ وضح إجابتك.

--- SECTION: الربط مع الحياة ---
الربط مع الحياة
زاوية النجارين
عبارة عن ضلع خشبي سميك
ومسطرة معدنية مثبتة
معه بحيث يصنعان زاوية
90 ، وتُصنع من المعدن أو
الخشب، وتستخدم لقياس
وتحديد الزوايا القائمة
ورسم خطوط عمودية على
الأحرف.

يمكنك أيضا استعمال خصائص المستطيل لإثبات أن شكلاً رباعيًا مرسوما في المستوى الإحداثي علمت
إحداثيات رؤوسه هو مستطيل.

--- SECTION: مثال 4 المستطيل والهندسة الإحداثية ---
مثال 4 المستطيل والهندسة الإحداثية

هندسة إحداثية : إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي PQRS
هي (7,0), S(1,4), R(5,3), Q(5,3), P(. فهل PQRS
مستطيل ؟ استعمل صيغة المسافة بين نقطتين.

الخطوة 1 : استعمل صيغة المسافة بين نقطتين لتحدد ما إذا كان PQRS
متوازي أضلاع، وذلك بالتحقق من أن أضلاعه المتقابلة
متطابقة.

PQ = √((-5-1)² + [3 – (-1)]²) = √52
RS = √([-1-(-7)]² + (-4-0)²) = √52
PS = √([-5-(-7)]² + (3-0)²) = √13
QR = √([1-(-1)]² + [-1 − (−4)]²) = √13

بما أن أضلاع PQRS المتقابلة متساوية الطول، فإنّها متطابقة؛ لذا فإن PQRS متوازي أضلاع.

الخطوة 2 : هل قطرا PQRS متطابقان ؟

PR = √([-5-(-1)]² + [3-(-4)]²) = √65
QS = √([1 - (-7)]² + (−1−0)²) = √65

بما أن للقطرين الطول نفسه، فإنّهما متطابقان؛ لذا فإن PQRS مستطيل.

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
إرشادات للدراسة
المستطيل
ومتوازي الأضلاع :
كل مستطيل متوازي
أضلاع، ولكن ليس
كل متوازي أضلاع
مستطيلا.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك

--- SECTION: 4 ---
إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي JKLM هي J(-10, 2), K(-8, −6), L(5, −3), M(2,5)
فهل JKLM مستطيل؟ استعمل صيغة الميل.

--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: rectangle dimensions
Description: A rectangle with dimensions 80 in and 36 in is shown. A right angle is marked at the bottom left corner.
Key Values: 80 in, 36 in
Context: This figure is used to determine if the area is rectangular.
(Note: Some details are estimated)

**GRAPH**: Untitled
Description: A quadrilateral PQRS is plotted on a Cartesian grid.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: This graph is used to determine if PQRS is a rectangle.
(Note: Some details are estimated)

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 3: 3) تصميم: بالرجوع إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس. قاس أحمد أبعاد المنطقة التي قام بطلائها كما في الشكل أدناه. وباستعمال زاوية النجارين تحقق من أن الزاوية عند الركن الأيسر السفلي قائمة. فهل يمكنه استنتاج أن المنطقة مستطيلة الشكل؟ وضح إجابتك.

الإجابة: س3: نعم؛ لأن قياسات الأضلاع تُظهر أن كل ضلعين متقابلين متطابقان (36 in مع 36 in، و80 in مع 80 in) فيكون الشكل متوازي أضلاع، ومع تحقق وجود زاوية قائمة عند الركن الأيسر السفلي فإن متوازي الأضلاع ذو زاوية قائمة يكون مستطيلاً.

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المفهوم):** لنفهم متى يمكننا أن نعتبر شكلاً رباعياً مستطيلاً. المستطيل هو نوع خاص من متوازي الأضلاع، حيث تكون جميع زواياه قائمة. لكي يكون الشكل متوازي أضلاع، يجب أن يكون فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتطابقين.
**الخطوة 2 (التطبيق):** في هذا السؤال، قاس أحمد أبعاد المنطقة ووجد أن كل ضلعين متقابلين متطابقان (36 in مع 36 in، و80 in مع 80 in). هذه الخاصية وحدها كافية لتأكيد أن الشكل هو متوازي أضلاع. بعد ذلك، تحقق أحمد باستخدام زاوية النجارين من أن الزاوية عند الركن الأيسر السفلي قائمة. هذه معلومة إضافية ومهمة.
**الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الشكل هو متوازي أضلاع (لأن كل ضلعين متقابلين متطابقان)، وبما أن إحدى زواياه قائمة، فإن هذا يضمن أن جميع زواياه الأخرى ستكون قائمة أيضاً. أي أن متوازي الأضلاع الذي يحتوي على زاوية قائمة هو مستطيل. إذن، نعم، يمكن لأحمد استنتاج أن المنطقة مستطيلة الشكل.

سؤال 4: 4) إذا كانت إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي JKLM هي J(-10, 2), K(-8, -6), L(5, -3), M(2, 5) فهل JKLM مستطيل؟ استعمل صيغة الميل.

الإجابة: س4: لا؛ لأن ميل $JK = \frac{-6-2}{-8-(-10)} = \frac{-8}{2} = -4$ ، وميل $KL = \frac{-3-(-6)}{5-(-8)} = \frac{3}{13}$ . وبما أن $(-4) (\frac{3}{13}) \neq -1$ إذن JK لا يعامد KL ، وبالتالي JKLM ليس مستطيلاً .

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا إحداثيات رؤوس الشكل الرباعي JKLM: - J(-10, 2) - K(-8, -6) - L(5, -3) - M(2, 5)
**الخطوة 2 (القانون):** لكي يكون الشكل الرباعي مستطيلاً، يجب أن تكون جميع زواياه قائمة. في الهندسة الإحداثية، تكون الزاوية بين ضلعين قائمة إذا كان الضلعان متعامدين. يكون الضلعان متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1 (باستثناء الحالات التي يكون فيها أحد الضلعين أفقياً والآخر رأسياً). صيغة الميل بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هي: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
**الخطوة 3 (الحل):** سنحسب ميل ضلعين متجاورين، وهما JK و KL، ثم نتحقق من تعامدهما. إذا لم يكونا متعامدين، فلن يكون الشكل مستطيلاً. أولاً، نحسب ميل الضلع JK باستخدام النقطتين J(-10, 2) و K(-8, -6): $$m_{JK} = \frac{-6 - 2}{-8 - (-10)} = \frac{-8}{-8 + 10} = \frac{-8}{2} = -4$$ ثانياً، نحسب ميل الضلع KL باستخدام النقطتين K(-8, -6) و L(5, -3): $$m_{KL} = \frac{-3 - (-6)}{5 - (-8)} = \frac{-3 + 6}{5 + 8} = \frac{3}{13}$$ الآن، نضرب ميلي الضلعين JK و KL للتحقق من التعامد: $$m_{JK} \times m_{KL} = (-4) \times \left(\frac{3}{13}\right) = \frac{-12}{13}$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن حاصل ضرب ميلي الضلعين المتجاورين JK و KL هو $\frac{-12}{13}$، وهذا لا يساوي -1، فإن الضلعين JK و KL ليسا متعامدين. هذا يعني أن الزاوية عند الرأس K ليست قائمة. لذلك، فإن الشكل الرباعي JKLM **ليس مستطيلاً**.

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الشرط الأساسي في الهندسة الإحداثية لإثبات أن الشكل الرباعي هو مستطيل باستخدام صيغة الميل؟

أ) أن يكون ميل كل ضلعين متقابلين متساويين.
ب) أن يكون حاصل ضرب ميلي كل ضلعين متجاورين يساوي -1 (أي أن الضلعين متعامدين).
ج) أن يكون طولا القطرين متساويين.
د) أن تكون جميع أضلاعه متساوية في الطول.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: أن يكون حاصل ضرب ميلي كل ضلعين متجاورين يساوي -1 (أي أن الضلعين متعامدين).

الشرح: 1. المستطيل هو متوازي أضلاع جميع زواياه قائمة. 2. في الهندسة الإحداثية، تكون الزاوية بين ضلعين قائمة إذا كان الضلعان متعامدين. 3. يكون الضلعان متعامدين إذا كان حاصل ضرب ميليهما يساوي -1 (باستثناء الحالات الخاصة للخطوط الأفقية والرأسية).

تلميح: فكر في العلاقة بين ميل الخطوط المتعامدة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الخطوات الرئيسية لإثبات أن شكلًا رباعيًا (معطاة إحداثيات رؤوسه) هو مستطيل باستخدام صيغة المسافة؟

أ) 1. إثبات أن جميع الزوايا قائمة. 2. إثبات أن جميع الأضلاع متساوية.
ب) 1. إثبات أن أضلاعه المتقابلة متوازية. 2. إثبات أن أحد زواياه قائمة.
ج) 1. إثبات أنه متوازي أضلاع (بتساوي أطوال الأضلاع المتقابلة). 2. إثبات أن قطرين متطابقين (متساويان في الطول).
د) 1. إثبات أن القطرين متعامدان. 2. إثبات أن القطرين ينصف كل منهما الآخر.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 1. إثبات أنه متوازي أضلاع (بتساوي أطوال الأضلاع المتقابلة). 2. إثبات أن قطرين متطابقين (متساويان في الطول).

الشرح: 1. الخطوة الأولى: استخدم صيغة المسافة بين نقطتين لحساب أطوال الأضلاع. إذا كانت الأضلاع المتقابلة متساوية الطول، فإن الشكل متوازي أضلاع. 2. الخطوة الثانية: احسب طولي القطرين باستخدام صيغة المسافة. إذا كان القطران متساويين في الطول، فإن متوازي الأضلاع هذا هو مستطيل.

تلميح: تذكر أن المستطيل هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

إذا كان الشكل الرباعي JKLM له إحداثيات الرؤوس J(-10,2), K(-8,-6), L(5,-3), M(2,5)، وحساب ميل JK = -4 وميل KL = 3/13، فما الاستنتاج الصحيح؟

أ) الشكل JKLM مستطيل لأن أضلاعه المتقابلة متوازية.
ب) الشكل JKLM مستطيل لأن حاصل ضرب ميلي JK و KL يساوي -1.
ج) الشكل JKLM ليس مستطيلاً لأن الضلعين JK و KL ليسا متعامدين (حاصل ضرب ميليهما لا يساوي -1).
د) لا يمكن تحديد إذا كان مستطيلاً من معلومات الميل فقط.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: الشكل JKLM ليس مستطيلاً لأن الضلعين JK و KL ليسا متعامدين (حاصل ضرب ميليهما لا يساوي -1).

الشرح: 1. في المستطيل، كل زاوية قائمة، وبالتالي كل ضلعين متجاورين متعامدين. 2. الشرط الهندسي للتعامد: حاصل ضرب ميلي الضلعين = -1. 3. حساب حاصل الضرب: (-4) × (3/13) = -12/13. 4. النتيجة: -12/13 ≠ -1، إذن الضلعين ليسا متعامدين، والزاوية عند K ليست قائمة، وبالتالي الشكل ليس مستطيلاً.

تلميح: ما العلاقة بين ميلي الضلعين المتجاورين في المستطيل؟

التصنيف: سؤال اختبار | المستوى: صعب

ما العلاقة بين المستطيل ومتوازي الأضلاع؟

أ) كل متوازي أضلاع هو مستطيل، ولكن ليس كل مستطيل متوازي أضلاع.
ب) المستطيل ومتوازي الأضلاع ليس بينهما أي علاقة.
ج) كل مستطيل هو متوازي أضلاع، ولكن ليس كل متوازي أضلاع هو مستطيل.
د) المستطيل هو متوازي أضلاع جميع أضلاعه متساوية.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: كل مستطيل هو متوازي أضلاع، ولكن ليس كل متوازي أضلاع هو مستطيل.

الشرح: 1. المستطيل يحقق جميع خصائص متوازي الأضلاع (الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية، الزوايا المتقابلة متساوية، القطران ينصف كل منهما الآخر). 2. المستطيل يمتلك خاصية إضافية: جميع زواياه قائمة (90 درجة). 3. لذلك، المستطيل هو حالة خاصة من متوازي الأضلاع، والعكس غير صحيح.

تلميح: فكر في الخصائص المشتركة والخصائص الإضافية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل