أسئلة ذات إجابات قصيرة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 8: تشكل أعمدة خيمة رؤوس سداسي منتظم، ما قياس الزاوية المتكونة عند أي من أركان الخيمة؟

الإجابة: س8: 120° (باستخدام قانون الزوايا الداخلية)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات والمطلوب):** لدينا خيمة تشكل رؤوس سداسي منتظم. المطلوب هو قياس الزاوية الداخلية الواحدة لهذا السداسي.
2. **الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد قياس الزاوية الداخلية الواحدة في مضلع منتظم، نستخدم القانون التالي: أولاً، نوجد مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمضلع باستخدام الصيغة: $$S = (n - 2) \times 180^\\circ$$ حيث $S$ هو مجموع الزوايا، و $n$ هو عدد أضلاع المضلع. ثانياً، بما أن المضلع منتظم، فإن جميع زواياه متساوية في القياس. لذا نقسم المجموع على عدد الأضلاع (أو الزوايا): $$الزاوية\\_الواحدة = \frac{S}{n}$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** - السداسي المنتظم يعني أن عدد أضلاعه $n = 6$. - نحسب مجموع قياسات الزوايا الداخلية: $$S = (6 - 2) \times 180^\\circ = 4 \times 180^\\circ = 720^\\circ$$ - نقسم المجموع على عدد الأضلاع لإيجاد قياس الزاوية الواحدة: $$الزاوية\\_الواحدة = \frac{720^\\circ}{6} = 120^\\circ$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قياس الزاوية المتكونة عند أي من أركان الخيمة هو: **120°**

سؤال 9: ما إحداثيات الرأس الرابع لشبه المنحرف المتطابق الساقين LMNJ؟ بيّن خطوات الحل.

الإجابة: س9: J (6, -4)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** شبه المنحرف المتطابق الساقين هو شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان (القاعدتان)، والضلعان الآخران (الساقان) متطابقان في الطول. كما أن زوايا القاعدة متطابقة، وقطراه متطابقان.
2. **الخطوة 2 (طريقة الحل):** لإيجاد إحداثيات الرأس الرابع $J$ بمعلومية الرؤوس الثلاثة $L, M, N$ (التي يجب أن تكون معطاة في الشكل أو السؤال الأصلي)، نتبع الخطوات التالية: 1. **تحديد الأضلاع المتوازية (القاعدتين):** نحسب ميل كل ضلع من الأضلاع الممكنة ($LM, MN, NL$) لتحديد أي زوج من الأضلاع يمكن أن يكون متوازياً. في شبه المنحرف، يوجد زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية. 2. **تحديد الساقين المتطابقين:** بعد تحديد القاعدتين، يكون الضلعان الآخران هما الساقان. يجب أن يكون طولهما متساوياً. نستخدم قانون المسافة بين نقطتين. 3. **استخدام خصائص شبه المنحرف المتطابق الساقين:** * إذا كانت القاعدتان أفقيتين أو رأسيتين، فإن إحداثيات الرأس الرابع يمكن استنتاجها بسهولة من التماثل. * إذا كانت القاعدتان مائلتين، نستخدم خاصية توازي القاعدتين (الميل متساوٍ) وخاصية تطابق الساقين (المسافة متساوية) لإنشاء معادلات لإيجاد إحداثيات $J(x, y)$. على سبيل المثال، إذا كانت $LM$ هي إحدى القاعدتين، فإن $NJ$ ستكون القاعدة الأخرى الموازية لها. وإذا كانت $LN$ و $MJ$ هما الساقين، فيجب أن يكون $LN = MJ$.
3. **الخطوة 3 (تطبيق افتراضي):** بما أن السؤال يطلب إحداثيات الرأس الرابع $J(6, -4)$، فإننا نفترض أن الرؤوس $L, M, N$ كانت معطاة بشكل يؤدي إلى هذه النتيجة. على سبيل المثال، إذا كانت الرؤوس المعطاة هي $L(0, 0)$, $M(2, 4)$, $N(8, 4)$، وكان $MN$ يوازي $LJ$ (أي أن ميل $MN$ = ميل $LJ$)، و $LM$ يوازي $NJ$ (أي أن ميل $LM$ = ميل $NJ$)، فإن هذا سيشكل متوازي أضلاع وليس شبه منحرف. لنفترض أن $L, M, N$ هي $L(0,0)$, $M(4,0)$, $N(8,-4)$. - ميل $LM = (0-0)/(4-0) = 0$. (أفقي) - ميل $MN = (-4-0)/(8-4) = -4/4 = -1$. - ميل $NL = (0-(-4))/(0-8) = 4/-8 = -1/2$. إذا افترضنا أن $LM$ يوازي $NJ$ (القاعدتان)، فإن ميل $NJ$ يجب أن يكون 0. بما أن $N=(8,-4)$، فإن $J$ يجب أن تكون على الخط الأفقي $y=-4$. إذن $J=(x_J, -4)$. الآن، الساقان هما $LN$ و $MJ$. يجب أن يكون طولهما متساوياً. - طول $LN = \\sqrt{(8-0)^2 + (-4-0)^2} = \\sqrt{64 + 16} = \\sqrt{80}$. - طول $MJ = \\sqrt{(x_J-4)^2 + (-4-0)^2} = \\sqrt{(x_J-4)^2 + 16}$. بمساواة الطولين: $\\sqrt{80} = \\sqrt{(x_J-4)^2 + 16}$ $80 = (x_J-4)^2 + 16$ $64 = (x_J-4)^2$ $x_J-4 = \\pm 8$ $x_J = 4 + 8 = 12$ أو $x_J = 4 - 8 = -4$. هذا يعطي $J(12, -4)$ أو $J(-4, -4)$. هذه لا تتطابق مع الإجابة المعطاة $J(6, -4)$. **للوصول إلى الإجابة $J(6, -4)$، يجب أن تكون الرؤوس $L, M, N$ مختلفة.** دعنا نفترض أن الرؤوس المعطاة في السؤال الأصلي كانت $L(0,0)$, $M(4,0)$, $N(2,-4)$. - ميل $LM = 0$. (أفقي) - ميل $MN = (-4-0)/(2-4) = -4/-2 = 2$. - ميل $NL = (0-(-4))/(0-2) = 4/-2 = -2$. إذا كانت $LM$ هي إحدى القاعدتين، فإن $NJ$ هي القاعدة الأخرى الموازية لها. إذن ميل $NJ = 0$. بما أن $N=(2,-4)$، فإن $J$ يجب أن تكون على الخط $y=-4$. إذن $J=(x_J, -4)$. الساقان هما $LN$ و $MJ$. يجب أن يكون طولهما متساوياً. - طول $LN = \\sqrt{(2-0)^2 + (-4-0)^2} = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20}$. - طول $MJ = \\sqrt{(x_J-4)^2 + (-4-0)^2} = \\sqrt{(x_J-4)^2 + 16}$. بمساواة الطولين: $\\sqrt{20} = \\sqrt{(x_J-4)^2 + 16}$ $20 = (x_J-4)^2 + 16$ $4 = (x_J-4)^2$ $x_J-4 = \\pm 2$ $x_J = 4 + 2 = 6$ أو $x_J = 4 - 2 = 2$. إذا كانت $x_J = 2$، فإن $J=(2,-4)$، وهذا يجعل $MN$ و $NJ$ نفس الخط، مما لا يشكل شبه منحرف. لذا، يجب أن تكون $x_J = 6$. إذن، إذا كانت الرؤوس المعطاة هي $L(0,0)$, $M(4,0)$, $N(2,-4)$، فإن الرأس الرابع $J$ هو $(6,-4)$.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بافتراض أن الرؤوس المعطاة في السؤال الأصلي كانت $L(0,0)$, $M(4,0)$, $N(2,-4)$، فإن إحداثيات الرأس الرابع $J$ لشبه المنحرف المتطابق الساقين LMNJ هي: **J (6, -4)**

سؤال 10: ماذا نسمي متوازي الأضلاع إذا كان قطراه متعامدين؟ وضح إجابتك.

الإجابة: س10: معين؛ لأن متوازي الأضلاع إذا كان قطراه متعامدين فهو معين)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** متوازي الأضلاع هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتطابقين. وله خصائص عامة مثل أن الأقطار ينصّف كل منهما الآخر.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** عندما نضيف خاصية معينة لمتوازي الأضلاع، فإنه يتحول إلى نوع خاص منه: - إذا كانت زواياه قائمة، يصبح مستطيلاً. - إذا كانت أضلاعه متطابقة، يصبح معيناً. - إذا كانت زواياه قائمة وأضلاعه متطابقة، يصبح مربعاً. إحدى خصائص المعين هي أن قطريه متعامدان. هذه الخاصية تميز المعين عن باقي متوازيات الأضلاع (باستثناء المربع الذي هو حالة خاصة من المعين).
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن، متوازي الأضلاع الذي يكون قطراه متعامدين يسمى **معيناً**.

سؤال 11: حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة أم لا فيما يأتي اعتماداً على المعطيات. فسر تبريرك. المعطيات: إذا كان العدد يقبل القسمة على 9، فإنه يقبل القسمة على 3. العدد 144 يقبل القسمة على 9. النتيجة: العدد 144 يقبل القسمة على 3.

الإجابة: س11: صحيحة؛ لأن 144 يقبل القسمة على 9، إذن يقبل القسمة على 3.

خطوات الحل:

1. **الشرح:** هذا السؤال يعتمد على مبدأ منطقي يسمى "قانون الفصل المنطقي" (Law of Detachment). 1. **تحديد العبارة الشرطية:** العبارة الشرطية هي "إذا كان العدد يقبل القسمة على 9، فإنه يقبل القسمة على 3". يمكننا تمثيلها بالصورة: إذا كانت P، فإن Q. * P: العدد يقبل القسمة على 9. * Q: العدد يقبل القسمة على 3. 2. **تحديد الفرض (المعطى):** المعطى هو "العدد 144 يقبل القسمة على 9". هذا يعني أن الفرض P صحيح. 3. **تطبيق قانون الفصل المنطقي:** ينص هذا القانون على أنه إذا كانت العبارة الشرطية (إذا كانت P، فإن Q) صحيحة، وكان الفرض P صحيحاً، فإن النتيجة Q يجب أن تكون صحيحة أيضاً. بما أن 144 يقبل القسمة على 9 (144 ÷ 9 = 16)، فإن الفرض P صحيح. وبالتالي، وفقاً للعبارة الشرطية، يجب أن تكون النتيجة Q صحيحة. ولذلك الإجابة هي: **صحيحة**

سؤال 12: أوجد قيمة x في الشكل أدناه. وقرب الإجابة إلى أقرب عشر إن كان ذلك ضرورياً.

الإجابة: س12: x = 3

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** بما أن السؤال يطلب إيجاد قيمة $x$ في شكل غير معطى، سنفترض سيناريو شائعاً في الهندسة يؤدي إلى الإجابة $x=3$. أحد هذه السيناريوهات هو مثلث قائم الزاوية حيث $x$ هو طول أحد الأضلاع (الساقين)، وطول الساق الآخر 4 وحدات، وطول الوتر 5 وحدات. هذا يمثل مثلث فيثاغورس الشهير (3-4-5).
2. **الخطوة 2 (القانون):** في المثلث القائم الزاوية، نستخدم نظرية فيثاغورس التي تنص على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الساقين: $$a^2 + b^2 = c^2$$ حيث $a$ و $b$ هما طولا الساقين، و $c$ هو طول الوتر.
3. **الخطوة 3 (الحل):** بافتراض أن: - أحد الساقين = $x$ - الساق الآخر = 4 - الوتر = 5 بالتعويض في نظرية فيثاغورس: $$x^2 + 4^2 = 5^2$$ $$x^2 + 16 = 25$$ لطرح 16 من الطرفين: $$x^2 = 25 - 16$$ $$x^2 = 9$$ لإيجاد قيمة $x$، نأخذ الجذر التربيعي للطرفين (مع الأخذ في الاعتبار أن الطول يجب أن يكون موجباً): $$x = \\sqrt{9}$$ $$x = 3$$
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة $x$ هي: **3**

سؤال 13: ما إحداثيات مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث أدناه؟

الإجابة: س13: (1, 2)

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث (تسمى الدائرة المحيطة بالمثلث) هو نقطة تسمى "مركز الدائرة المحيطة" أو "المركز المحيطي". هذه النقطة هي نقطة تقاطع المنصفات العمودية لأضلاع المثلث. المنصف العمودي لأي ضلع هو الخط المستقيم الذي ينصف الضلع ويكون عمودياً عليه.
2. **الخطوة 2 (طريقة الحل):** لإيجاد إحداثيات مركز الدائرة المحيطة، نتبع الخطوات التالية: 1. **تحديد رؤوس المثلث:** بما أن الشكل غير معطى، سنفترض رؤوس مثلث تؤدي إلى الإجابة $(1, 2)$. لنفترض أن رؤوس المثلث هي $A(1, 5)$, $B(4, 2)$, $C(-2, 2)$. 2. **إيجاد منتصفي ضلعين:** نختار أي ضلعين من أضلاع المثلث، ولنختر $AB$ و $BC$. * منتصف $AB$: $M_{AB} = \\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) = \\left(\frac{1+4}{2}, \frac{5+2}{2}\right) = \\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}\right) = (2.5, 3.5)$ * منتصف $BC$: $M_{BC} = \\left(\frac{x_B+x_C}{2}, \frac{y_B+y_C}{2}\right) = \\left(\frac{4+(-2)}{2}, \frac{2+2}{2}\right) = \\left(\frac{2}{2}, \frac{4}{2}\right) = (1, 2)$ 3. **إيجاد ميل الضلعين:** * ميل $AB$: $m_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{2-5}{4-1} = \frac{-3}{3} = -1$ * ميل $BC$: $m_{BC} = \frac{y_C-y_B}{x_C-x_B} = \frac{2-2}{-2-4} = \frac{0}{-6} = 0$ (خط أفقي) 4. **إيجاد ميل المنصفين العموديين:** ميل المنصف العمودي يكون معكوس ومقلوب ميل الضلع. * ميل المنصف العمودي لـ $AB$: $m_{\perp AB} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-1} = 1$ * ميل المنصف العمودي لـ $BC$: بما أن $BC$ أفقي (ميله 0)، فإن المنصف العمودي له سيكون رأسياً، وميله غير معرف. معادلته ستكون $x = x_{M_{BC}}$. 5. **كتابة معادلات المنصفين العموديين:** * معادلة المنصف العمودي لـ $AB$ (يمر بالنقطة $(2.5, 3.5)$ وميله 1): $y - y_{M_{AB}} = m_{\perp AB}(x - x_{M_{AB}})$ $y - 3.5 = 1(x - 2.5)$ $y = x - 2.5 + 3.5$ $y = x + 1$ (المعادلة 1) * معادلة المنصف العمودي لـ $BC$ (يمر بالنقطة $(1, 2)$ وهو خط رأسي): $x = 1$ (المعادلة 2) 6. **حل نظام المعادلتين:** لنجد نقطة التقاطع (مركز الدائرة المحيطة)، نعوض قيمة $x$ من المعادلة 2 في المعادلة 1: $y = 1 + 1$ $y = 2$ إذن، نقطة التقاطع هي $(1, 2)$.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بافتراض أن رؤوس المثلث كانت $A(1, 5)$, $B(4, 2)$, $C(-2, 2)$، فإن إحداثيات مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث هي: **(1, 2)**

سؤال 14: هل يمكنك إثبات أن كل شكل مما يأتي متوازي أضلاع؟ إذا لم تستطع ذلك، فاذكر المعطيات الإضافية التي ستحتاج إليها لإثبات أنه متوازي أضلاع. ووضح تبريرك.

الإجابة: س14: (a) نعم، متوازي أضلاع (الأضلاع المتقابلة متطابقة). س14: (b) لا يكفي؛ المعطى توازي ضلعين فقط (نحتاج توازي أو تطابق الآخرين). س14: (c) نعم، متوازي أضلاع (الزوايا المتقابلة متطابقة).

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإثبات أن شكلاً رباعياً هو متوازي أضلاع، يجب أن يحقق إحدى الخصائص التالية: 1. كل ضلعين متقابلين متوازيين. 2. كل ضلعين متقابلين متطابقين. 3. كل زاويتين متقابلتين متطابقتين. 4. القطران ينصّف كل منهما الآخر. 5. يوجد ضلعان متقابلان متوازيان ومتطابقان.
2. **الخطوة 2 (التطبيق على الحالات):** بما أن الأشكال غير معطاة، سنفترض الخصائص المذكورة في الإجابة لكل حالة: **(a) المعطى: الأضلاع المتقابلة متطابقة.** * **التبرير:** هذه إحدى الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع. إذا كان كل ضلعين متقابلين في شكل رباعي متطابقين، فإنه يكون متوازي أضلاع. * **النتيجة:** **نعم، يمكن إثبات أنه متوازي أضلاع.**
3. **(b) المعطى: توازي ضلعين فقط.** * **التبرير:** الشكل الرباعي الذي فيه ضلعان متوازيان فقط يسمى شبه منحرف. لكي يكون متوازي أضلاع، يجب أن يكون فيه زوجان من الأضلاع المتوازية، أو أن يكون الضلعان المتوازيان متطابقين أيضاً (معطى إضافي). * **النتيجة:** **لا يكفي.** نحتاج إلى معطيات إضافية، مثل أن يكون الضلعان الآخران متوازيين أيضاً، أو أن يكون الضلعان المتوازيان المعطيان متطابقين في الطول، أو أن يكون الضلعان غير المتوازيين متطابقين (لشبه المنحرف المتطابق الساقين، والذي لا يضمن أنه متوازي أضلاع).
4. **(c) المعطى: الزوايا المتقابلة متطابقة.** * **التبرير:** هذه أيضاً إحدى الخصائص الأساسية لمتوازي الأضلاع. إذا كانت كل زاويتين متقابلتين في شكل رباعي متطابقتين، فإنه يكون متوازي أضلاع. * **النتيجة:** **نعم، يمكن إثبات أنه متوازي أضلاع.**

تشكل أعمدة خيمة رؤوس سداسي منتظم، ما قياس الزاوية المتكونة عند أي من أركان الخيمة؟

• أ) ٦٠°
• ب) ٩٠°
• ج) ١٢٠°
• د) ١٨٠°

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: ١٢٠°

الشرح: ١. مجموع الزوايا الداخلية لمضلع ذي n ضلعًا = (n - 2) × ١٨٠°. ٢. للسداسي المنتظم: n = ٦. ٣. المجموع = (٦ - ٢) × ١٨٠° = ٤ × ١٨٠° = ٧٢٠°. ٤. قياس الزاوية الواحدة = ٧٢٠° ÷ ٦ = ١٢٠°.

تلميح: استخدم قانون مجموع الزوايا الداخلية للمضلع المنتظم.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: سهل

ماذا نسمي متوازي الأضلاع إذا كان قطراه متعامدين؟

• أ) مستطيل
• ب) معين
• ج) مربع
• د) شبه منحرف

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: معين

الشرح: ١. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتطابقين. ٢. إذا كانت زواياه قوائم، يصبح مستطيلاً. ٣. إذا كانت أضلاعه متطابقة، يصبح معيناً. ٤. إحدى خصائص المعين هي أن قطريه متعامدان. لذلك، متوازي الأضلاع ذو الأقطار المتعامدة هو معين.

تلميح: تذكر خصائص متوازيات الأضلاع الخاصة: المستطيل، المعين، المربع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

حدد ما إذا كانت النتيجة صحيحة أم لا اعتماداً على المعطيات: المعطيات: إذا كان العدد يقبل القسمة على 9، فإنه يقبل القسمة على 3. العدد 144 يقبل القسمة على 9. النتيجة: العدد 144 يقبل القسمة على 3.

• أ) صحيحة
• ب) خاطئة
• ج) لا يمكن تحديدها
• د) صحيحة أحياناً

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: صحيحة

الشرح: ١. العبارة الشرطية: إذا كان العدد يقبل القسمة على ٩ (P)، فإنه يقبل القسمة على ٣ (Q). ٢. المعطى: العدد ١٤٤ يقبل القسمة على ٩ (P صحيح). ٣. بتطبيق قانون الفصل المنطقي، بما أن P صحيح والعبارة الشرطية صحيحة، فإن Q يجب أن تكون صحيحة. ٤. إذن، النتيجة (١٤٤ يقبل القسمة على ٣) صحيحة.

تلميح: تطبق قانون الفصل المنطقي: إذا كانت (إذا كان P فإن Q) صحيحة، وكان P صحيحاً، فإن Q صحيحة.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط

ما إحداثيات مركز الدائرة التي تمر برؤوس المثلث أدناه؟ (بافتراض رؤوس المثلث A(1,5), B(4,2), C(-2,2))

• أ) (٢, ١)
• ب) (١, ٢)
• ج) (٣, ٣)
• د) (٠, ٠)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: (١, ٢)

الشرح: ١. مركز الدائرة المحيطة هو تقاطع المنصفات العمودية للأضلاع. ٢. نجد منتصف الضلع BC: ((٤ + (-٢))/٢, (٢+٢)/٢) = (١, ٢). ٣. ميل BC = ٠ (أفقي)، لذا منصفه العمودي خط رأسي معادلته: س = ١. ٤. نجد منتصف AB: ((١+٤)/٢, (٥+٢)/٢) = (٢.٥, ٣.٥). ميل AB = -١، لذا ميل منصفه العمودي = ١. ٥. معادلة المنصف العمودي لـ AB: ص - ٣.٥ = ١(س - ٢.٥) → ص = س + ١. ٦. بالتعويض س = ١ في ص = س + ١، نحصل على ص = ٢. ٧. إذن مركز الدائرة هو (١, ٢).

تلميح: مركز الدائرة المحيطة بالمثلث هو نقطة تقاطع المنصفات العمودية لأضلاعه.

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

إذا كان المعطى في شكل رباعي أن أضلاعه المتقابلة متطابقة، فهل يمكن إثبات أنه متوازي أضلاع؟

• أ) نعم
• ب) لا
• ج) نحتاج معرفة الزوايا
• د) نحتاج معرفة الأقطار

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم

الشرح: ١. أحد شروط إثبات أن شكل رباعي هو متوازي أضلاع هو أن يكون كل ضلعين متقابلين متطابقين. ٢. إذا تطابقت الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي، فهذا شرط كافٍ لإثبات أنه متوازي أضلاع. ٣. لذلك، الإجابة هي نعم، يمكن إثبات أنه متوازي أضلاع.

تلميح: تذكر شروط إثبات أن شكل رباعي هو متوازي أضلاع.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما إحداثيات الرأس الرابع (J) لشبه المنحرف المتطابق الساقين LMNJ، إذا كانت إحداثيات الرؤوس المعطاة هي L(0,0), M(4,0), N(2,-4)؟

• أ) (2, -4)
• ب) (4, -4)
• ج) (6, -4)
• د) (8, -4)

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: (6, -4)

الشرح: 1. بما أن LM قاعدته (ميله 0)، فإن القاعدة الأخرى NJ يجب أن تكون أفقية أيضاً، لذا إحداثي y للنقطة J = -4. 2. الساقان هما LN و MJ. يجب أن يكون طولهما متساوياً. 3. طول LN = √[(2-0)² + (-4-0)²] = √(4+16) = √20. 4. طول MJ = √[(x_J-4)² + (-4-0)²] = √[(x_J-4)² + 16]. 5. بمساواة الطولين: √20 = √[(x_J-4)² + 16] → 20 = (x_J-4)² + 16 → (x_J-4)² = 4 → x_J-4 = ±2. 6. x_J = 6 (لأن x_J=2 يجعل النقطة J منطبقة على N). 7. إذن إحداثيات J هي (6, -4).

تلميح: تذكر أن في شبه المنحرف المتطابق الساقين، القاعدتان متوازيتان والساقان متطابقان في الطول. استخدم خاصية التوازي (تساوي الميل) وخاصية التطابق (تساوي المسافة).

التصنيف: مسألة تدريبية | المستوى: صعب

إذا كان المعطى في شكل رباعي أن ضلعيه المتقابلين متوازيان فقط (بدون معلومات عن التطابق)، فهل يمكن إثبات أنه متوازي أضلاع؟

• أ) نعم، يكفي.
• ب) لا، لا يكفي.
• ج) نعم، إذا كان الشكل رباعياً.
• د) لا، إلا إذا كانت الأضلاع متطابقة أيضاً.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لا، لا يكفي.

الشرح: 1. أحد شروط إثبات أن شكل رباعي هو متوازي أضلاع هو: "إذا كان كل ضلعين متقابلين في شكل رباعي متوازيين، فإنه متوازي أضلاع". 2. العبارة الرئيسية هي "كل ضلعين متقابلين"، أي يجب أن يكون هناك زوجان من الأضلاع المتوازية. 3. إذا كان المعطى هو أن ضلعين متقابلين فقط (وليس كل الأضلاع المتقابلة) متوازيان، فهذا لا يكفي. 4. الشكل في هذه الحالة قد يكون شبه منحرف (إذا كان هناك زوج واحد فقط من الأضلاع المتوازية). 5. لذلك، الإجابة هي لا، نحتاج إلى معرفة أن الضلعين الآخرين المتقابلين متوازيان أيضاً، أو أن الضلعين المتوازيين متطابقان في الطول.

تلميح: تذكر شروط إثبات أن شكل رباعي هو متوازي أضلاع. أحدها هو أن يكون كل ضلعين متقابلين متوازيين.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

إذا كان المعطى في شكل رباعي أن زواياه المتقابلة متطابقة، فهل يمكن إثبات أنه متوازي أضلاع؟

• أ) نعم، يمكن.
• ب) لا، نحتاج معلومات عن الأضلاع.
• ج) لا، نحتاج معلومات عن الأقطار.
• د) نعم، ولكن فقط إذا كان الشكل محدباً.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: نعم، يمكن.

الشرح: 1. إحدى نظريات إثبات أن شكل رباعي هو متوازي أضلاع تنص على: "إذا كانت كل زاويتين متقابلتين في شكل رباعي متطابقتين، فإنه متوازي أضلاع". 2. هذا شرط كافٍ وليس شرطاً ضرورياً فقط. 3. إذا تحققت هذه الخاصية (تطابق الزوايا المتقابلة)، فيمكننا الاستنتاج مباشرة أن الشكل متوازي أضلاع. 4. لا حاجة إلى معلومات إضافية عن الأضلاع أو الأقطار. 5. لذلك، الإجابة هي نعم، يمكن إثبات أنه متوازي أضلاع.

تلميح: راجع نظريات إثبات متوازي الأضلاع. إحداها تتعلق بزواياه المتقابلة.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي المعطيات الإضافية التي قد تحتاجها لإثبات أن شكل رباعي هو متوازي أضلاع، إذا كان المعطى الوحيد هو أن ضلعين متقابلين متوازيين؟

• أ) أن تكون جميع الزوايا قائمة.
• ب) أن يكون قطراه متعامدين.
• ج) أن يكون الضلعان المتوازيان متطابقين، أو أن الضلعين الآخرين متوازيين.
• د) أن يكون محيط الشكل معلوماً.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: أن يكون الضلعان المتوازيان متطابقين، أو أن الضلعين الآخرين متوازيين.

الشرح: 1. المعطى: ضلعان متقابلان متوازيان. هذا يصف شبه منحرف (زوج واحد من الأضلاع المتوازية). 2. لجعل الشكل متوازي أضلاع، يجب أن يصبح لدينا زوجان من الأضلاع المتوازية. 3. لذلك، المعطى الإضافي يمكن أن يكون: - الضلعان الآخران المتقابلان متوازيان أيضًا. أو (حالة خاصة قد تحول شبه المنحرف إلى متوازي أضلاع): - الضلعان المتوازيان متطابقان في الطول (مع بقاء توازيهما). 4. الخيار الثاني قد لا يكون كافياً دائماً، ولكنه مع توازي الضلعين قد يشير إلى تطابق الضلعين المتقابلين الآخرين أيضاً في بعض الحالات. 5. الخيار الأكثر مباشرة والأكيد هو إثبات توازي الضلعين الآخرين.

تلميح: فكر في الحالات التي يحول فيها شبه المنحرف إلى متوازي أضلاع.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: متوسط