تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 استعمال المثلثات المتشابهة

المفاهيم الأساسية

خصائص المثلثات المتشابهة: تشابه المثلثات يحقق خصائص الانعكاس والتماثل والتعدي، مثل تطابق المثلثات.

خريطة المفاهيم

```markmap

تشابه المثلثات

مسلمة التشابه AA

تستخدم لإثبات النظريتين

نظريتا التشابه

نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS)

#### الشرط: تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة

#### مثال: إذا كان JK/MP = KL/PQ = LJ/QM ، فإن JKL ~ MPQ

نظرية التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS)

#### الشرط: تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة بينهما

#### مثال: إذا كان RS/XY = ST/YZ ، ∠S ≅ ∠Y ، فإن RST ~ XYZ

برهان النظرية 6.2 (SSS)

المعطيات: AB/FG = BC/GH = AC/FH

المطلوب: ΔABC ~ ΔFGH

خطوات البرهان الرئيسية

#### إنشاء مثلث وسيط (ΔGJK) مشابه لـ ΔGFH باستخدام AA

#### إثبات تطابق ΔJGK مع ΔABC باستخدام SSS

#### استنتاج تشابه ΔABC و ΔFGH باستخدام AA

استعمال النظريتين

خطوات تحديد الأضلاع المتناظرة

#### 1. قارن أطول ضلعين

#### 2. قارن الضلعين التاليين طولاً

#### 3. قارن أقصر ضلعين

إيجاد طول مجهول في مثلثات متشابهة

#### استخدام التناسب بين الأضلاع المتناظرة

خصائص المثلثات المتشابهة (نظرية 6.4)

خاصية الانعكاس

#### ΔABC ~ ΔABC

خاصية التماثل

#### إذا كان ΔABC ~ ΔDEF ، فإن ΔDEF ~ ΔABC

خاصية التعدي

#### إذا كان ΔABC ~ ΔDEF ، و ΔDEF ~ ΔXYZ ، فإن ΔABC ~ ΔXYZ

أجزاء المثلثات المتشابهة

إيجاد أطوال مجهولة باستخدام التناسب

#### مثال: إيجاد BE و AD في مثلثين متشابهين

```

نقاط مهمة

• تشابه المثلثات يحقق ثلاث خصائص أساسية: الانعكاس والتماثل والتعدي.
• نظرية 6.4 تختص بخصائص المثلثات المتشابهة وستُبرهن في سؤال لاحق (السؤال 18).
• يمكن استخدام تعريف المضلعات المتشابهة (تناسب الأضلاع المتناظرة) لإيجاد أطوال أضلاع مجهولة.

---

حل مثال (مثال 4)

المثال: أوجد طول AD, BE في الشكل المجاور (ΔABE داخل ΔACD، حيث BE || CD).

المعطيات (من الرسم):

AB = 3 ، BC = 5 ، CD = 3.5 ، ED = 3

المطلوب: BE = x ، AD = y + 3

خطوات الحل:

إثبات التشابه:

- بما أن `BE || CD`، فإن: `∠ABE ≅ ∠ACD` و `∠AEB ≅ ∠ADC` (زوايا متناظرة).

- من مسلمة التشابه AA، يكون `ΔABE ~ ΔACD`.

إيجاد طول BE (x):

- من تعريف المضلعات المتشابهة: `AB/AC = BE/CD`.

- `3 / (3+5) = x / 3.5` → `3/8 = x/3.5`.

- `3 3.5 = 8 x` → `10.5 = 8x`.

- `x = 10.5 / 8 = 1.3125`.

(ملاحظة: يوجد تناقض في البيانات المقدمة. الحساب الأصلي في النص يفترض أن AC = 5، مما يعني أن B هي نقطة على AC وليست نهايتها. سنعتمد على البيانات الرقمية في وصف الرسم)

- بناءً على وصف الرسم: AC = AB + BC = 3 + 5 = 8.

- النسبة الصحيحة: `AB/AC = 3/8`.

- `3/8 = x/3.5` → `x = (3 * 3.5)/8 = 10.5/8 = 1.3125`.

إيجاد طول AD:

- من تعريف المضلعات المتشابهة: `AC/AB = AD/AE`.

- `8/3 = (y+3)/y`.

- `8 y = 3 (y+3)` → `8y = 3y + 9`.

- `8y - 3y = 9` → `5y = 9`.

- `y = 9/5 = 1.8`.

- `AD = y + 3 = 1.8 + 3 = 4.8`.

النتيجة النهائية:

• `BE = x ≈ 1.31`
• `AD = y + 3 = 4.8`

---

تحقق من فهمك

السؤال 3 (اختيار من متعدد): في المثال السابق، ما قيمة y؟

• 5.2 A
• 8.4 B
• 9.2 C
• 20.7 D

الإجابة: بناءً على الحساب في مثال 4، قيمة `y = 1.8`. لا تتطابق هذه القيمة مع أي من الخيارات المعطاة، مما يشير إلى أن "المثال السابق" المشار إليه في السؤال قد يكون مثالاً مختلفاً غير موجود في نطاق الصفحة 83 المحدد.

الأسئلة 4A و 4B: أوجد طول كل طول فيما يأتي.

* (4A): `QP, MP` (في ΔMPO حيث `QN || PO`، و MQ=5، MN=3، NO=3/5).

* (4B): `WR, RT` (من تقاطع القطع المستقيمة WT و SV عند R، حيث WS=8، SR=x+6، RV=10، VT=2x+6، والزوايا متطابقة).

(ملاحظة: حل هذين السؤالين يتطلب تطبيق خطوات مشابهة لمثال 4 (إثبات التشابه ثم وضع التناسب) باستخدام المعطيات في أوصاف الرسوم. الحلول العددية النهائية غير مذكورة صراحة في النص المقدم).

تحقق من فهمك

في المثال السابق، ما قيمة y؟

استعمال المثلثات المتشابهة: تشابه المثلثات مثل تطابق المثلثات، يحقق خصائص الانعكاس والتماثل والتعدي.

أضف إلى مطويتك

نظرية 6.4

ستبرهن النظرية 6.4 في السؤال 18

أجزاء المثلثات المتشابهة

أوجد طول AD, BE في الشكل المجاور. بما أن BE || CD ، فإن: ∠ABE ≅ ∠ACD ، ∠AEB ≅ ∠ADC ؛ لأنها زوايا متناظرة، ومن مسلمة التشابه AA ، يكون ΔABE ~ ΔACD تعريف المضلعات المتشابهة AB/AC = BE/CD 3/5 = x/3.5 3 * 3.5 = 5 * x 10.5 = 5x 2.1 = x بقسمة كلا الطرفين على 5 وعليه فإن BE يساوي 2.1 تعريف المضلعات المتشابهة AC/AB = AD/AE 5/3 = (y+3)/y 5 * y = 3 * (y+3) 5y = 3y + 9 بطرح 3y من كلا الطرفين 2y = 9 بقسمة كلا الطرفين على 2 y = 4.5 وعليه فإن AD = y + 3 = 7.5

تحقق من فهمك: أوجد طول كل طول فيما يأتي.

QP, MP

WR, RT

وزارة التعليم

الدرس 2-6 المثلثات المتشابهة 83

--- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- في المثال السابق، ما قيمة y؟ 5.2 A 8.4 B 9.2 C 20.7 D --- SECTION: استعمال المثلثات المتشابهة --- استعمال المثلثات المتشابهة: تشابه المثلثات مثل تطابق المثلثات، يحقق خصائص الانعكاس والتماثل والتعدي. --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- أضف إلى مطويتك --- SECTION: نظرية 6.4 --- نظرية 6.4 ستبرهن النظرية 6.4 في السؤال 18 --- SECTION: أجزاء المثلثات المتشابهة --- أجزاء المثلثات المتشابهة --- SECTION: مثال 4 --- أوجد طول AD, BE في الشكل المجاور. بما أن BE || CD ، فإن: ∠ABE ≅ ∠ACD ، ∠AEB ≅ ∠ADC ؛ لأنها زوايا متناظرة، ومن مسلمة التشابه AA ، يكون ΔABE ~ ΔACD تعريف المضلعات المتشابهة AB/AC = BE/CD 3/5 = x/3.5 3 * 3.5 = 5 * x 10.5 = 5x 2.1 = x بقسمة كلا الطرفين على 5 وعليه فإن BE يساوي 2.1 تعريف المضلعات المتشابهة AC/AB = AD/AE 5/3 = (y+3)/y 5 * y = 3 * (y+3) 5y = 3y + 9 بطرح 3y من كلا الطرفين 2y = 9 بقسمة كلا الطرفين على 2 y = 4.5 وعليه فإن AD = y + 3 = 7.5 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك: أوجد طول كل طول فيما يأتي. --- SECTION: 4A --- QP, MP --- SECTION: 4B --- WR, RT وزارة التعليم الدرس 2-6 المثلثات المتشابهة 83 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: الشكل المجاور Description: A large triangle ACD with a smaller triangle ABE inside it, where E is on AD and B is on AC. A line segment BE is drawn parallel to CD. The lengths of the segments are labeled: AB = 3, BC = 5 (so AC = AB + BC = 3 + 5 = 8), BE = x, ED = 3 (so AD = AE + ED = y + 3), AE = y, CD = 3.5. Parallel lines BE and CD are indicated by single arrows on the segments. The diagram illustrates similar triangles ΔABE ~ ΔACD. Data: Labeled lengths: AB=3, BC=5, BE=x, CD=3.5, AE=y, ED=3. Key Values: AB = 3, BC = 5, AC = 8, BE = x, CD = 3.5, AE = y, ED = 3, AD = y + 3 Context: Used to demonstrate finding unknown lengths in similar triangles using ratios of corresponding sides. **DIAGRAM**: Untitled Description: A triangle MPO with a line segment QN inside it, where Q is on MP and N is on MO. The segment QN is parallel to PO, indicated by single arrows on QN and PO. The lengths of the segments are labeled: MQ = 5, MN = 3, NO = 3/5. The segment QN is labeled x. The lengths MP and PO are unknown and need to be found. Data: Labeled lengths: MQ=5, MN=3, NO=3/5, QN=x. Key Values: MQ = 5, MN = 3, NO = 3/5, QN = x Context: Used to find unknown lengths QP and MP in similar triangles ΔMQN ~ ΔMPO. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two line segments, WT and SV, intersect at point R. This forms two triangles, ΔWSR and ΔVTR. The lengths of the segments are labeled: WS = 8, SR = x+6, RV = 10, VT = 2x+6. Angles ∠WSR and ∠VTR are marked with a single arc, implying they are congruent. Angles ∠SWR and ∠TVR are also marked with a single arc, implying they are congruent. This indicates that ΔWSR ~ ΔVTR by AA similarity. The lengths WR and RT are unknown and need to be found. Data: Labeled lengths: WS=8, SR=x+6, RV=10, VT=2x+6. Key Values: WS = 8, SR = x+6, RV = 10, VT = 2x+6 Context: Used to find unknown lengths WR and RT by setting up proportions based on similar triangles ΔWSR ~ ΔVTR.