إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 استعمال نظريتي التشابه SSS و SAS

المفاهيم الأساسية

الأضلاع المتناظرة: لتحديدها، ابدأ بمقارنة أطول ضلعين، ثم الضلعين التاليين لهما طولاً، وأخيراً أقصر ضلعين.

خريطة المفاهيم

```markmap

تشابه المثلثات

مسلمة التشابه AA

تستخدم لإثبات النظريتين

نظريتا التشابه

نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS)

#### الشرط: تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة

#### مثال: إذا كان JK/MP = KL/PQ = LJ/QM ، فإن JKL ~ MPQ

نظرية التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS)

#### الشرط: تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة بينهما

#### مثال: إذا كان RS/XY = ST/YZ ، ∠S ≅ ∠Y ، فإن RST ~ XYZ

برهان النظرية 6.2 (SSS)

المعطيات: AB/FG = BC/GH = AC/FH

المطلوب: ΔABC ~ ΔFGH

خطوات البرهان الرئيسية

#### إنشاء مثلث وسيط (ΔGJK) مشابه لـ ΔGFH باستخدام AA

#### إثبات تطابق ΔJGK مع ΔABC باستخدام SSS

#### استنتاج تشابه ΔABC و ΔFGH باستخدام AA

استعمال النظريتين

خطوات تحديد الأضلاع المتناظرة

#### 1. قارن أطول ضلعين

#### 2. قارن الضلعين التاليين طولاً

#### 3. قارن أقصر ضلعين

إيجاد طول مجهول في مثلثات متشابهة

#### استخدام التناسب بين الأضلاع المتناظرة

```

نقاط مهمة

• لإثبات التشابه باستخدام SSS، يجب أن تكون نسب الأضلاع المتناظرة الثلاثة متساوية.
• لإثبات التشابه باستخدام SAS، يجب أن تكون نسبة ضلعين متساوية والزاوية المحصورة بينهما متطابقة.
• عند إيجاد طول مجهول (مثل x)، نستخدم التناسب: \frac{ضلع_1}{ضلعه\_المناظر} = \frac{ضلع_2}{ضلعه\_المناظر}

---

حل مثال

المثال 2:

حدد في كل مما يأتي ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، ووضح إجابتك.

أ) المثلثان PQR و STR:

* المعطيات: PR=8, QR=5, PQ=6 و SR=20, TR=12.5, ST=15.

* الحل:

\frac{PR}{SR} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}

\frac{PQ}{ST} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}

\frac{QR}{TR} = \frac{5}{12.5} = \frac{50}{125} = \frac{2}{5}

* بما أن نسب الأضلاع المتناظرة الثلاثة متساوية، فإن:

ΔPQR \sim ΔSTR

وفق نظرية التشابه SSS.

ب) المثلثان ABC و AEF:

* المعطيات: AE=8, AF=10, EC=4, FB=5.

* AC = AE + EC = 8 + 4 = 12

* AB = AF + FB = 10 + 5 = 15

* الحل:

* الزاوية A مشتركة: ∠A \cong ∠A

* نسبة الضلعين المحصورين للزاوية A:

\frac{AE}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

\frac{AF}{AB} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

* بما أن ضلعين متناسبين والزاوية المحصورة بينهما متطابقة، فإن:

ΔAEF \sim ΔACB

وفق نظرية التشابه SAS.

المثال 3 (من اختبار):

* السؤال: المثلثان MNQ و MOP متشابهان، ما قيمة x؟

* المعطيات: MN=9, MO=12, MQ=15, MP=15+x

* الحل:

* من التشابه: \frac{MN}{MO} = \frac{MQ}{MP}

* بالتعويض: \frac{9}{12} = \frac{15}{15 + x}

* نختبر الخيارات:

* الخيار C (x=5): \frac{9}{12} = \frac{15}{15+5} \rightarrow \frac{3}{4} = \frac{3}{4} (صحيح)

* الإجابة الصحيحة هي: C (5).

---

تحقق من فهمك

السؤال 2A (المثلثان JKL و MQP):

* المعطيات: JK=16, KL=8, LJ=12 و MQ=9, QP=6, PM=12.

* رتب أضلاع المثلث الأول تنازلياً: JK(16) > LJ(12) > KL(8)

* رتب أضلاع المثلث الثاني تنازلياً: PM(12) > MQ(9) > QP(6)

* تحقق من نسب الأضلاع المتناظرة:

\frac{JK}{PM} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}

\frac{LJ}{MQ} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}

\frac{KL}{QP} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}

* النتيجة: النسب متساوية، إذن المثلثان متشابهان وفق نظرية SSS.

السؤال 2B (المثلثان TWZ و XYW):

* المعطيات: TW=10, WZ=11, XW=22, WY=20. والزاوية ∠TWZ ≅ ∠XYW (زاويتان متقابلتان بالرأس).

* تحقق من نسبة الضلعين المحيطين بالزاوية المتطابقة (W):

\frac{TW}{XW} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}

\frac{WZ}{WY} = \frac{11}{20}

* النتيجة: النسب غير متساوية (5/11 ≠ 11/20)، إذن الشرط غير كافٍ لإثبات التشابه باستخدام SAS.

إرشادات للدراسة: الأضلاع المتناظرة: لتحديد الأضلاع المتناظرة لمثلثين، ابدأ بمقارنة أطول ضلعين، ثم الضلعين التاليين لهما طولاً، وأخيرًا أقصر ضلعين.

مثال 2 استعمال نظريتي التشابه SSS, SAS

حدد في كل مما يأتي ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، و وضح إجابتك.

تحقق من فهمك

يمكنك أن تقرر أي الشروط كافية لإثبات تشابه مثلثين.

يمكنك أن تقرر أي الشروط كافية لإثبات تشابه مثلثين.

مثال 3 من اختبار

المثلثان MNQ, MOP في الشكل المجاور متشابهان، ما قيمة x؟

اقرأ سؤال الاختبار في هذا السؤال تعلم، أن ΔMNQ ~ ΔMOP ، ومطلوب منك إيجاد طول قطعة مجهولة.

حل سؤال الاختبار

بما أن ΔMNQ ~ ΔMOP ، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة أي أن MN/MO = MQ/MP ، وبما أن MN = 9, MO = 12, MQ = 15, MP = 15 + x اختبر كلاً من بدائل الإجابة حتى تجد واحدًا منها يحقق التناسب البديل A: إذا كان: 12 = x فإن: 9/12 = 15/(15+12) 3/4 ≠ 5/9 غير صحيح البديل B: إذا كان: 10 = x فإن: 9/12 = 15/(15+10) 3/4 ≠ 3/5 غير صحيح البديل C: إذا كان: 5 = x فإن: 9/12 = 15/(15+5) 3/4 = 3/4 صحيح، إذن فإن إجابة السؤال هي C

Ministry of Education 2025 - 1447

82 الفصل 6 التشابه

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة: الأضلاع المتناظرة: لتحديد الأضلاع المتناظرة لمثلثين، ابدأ بمقارنة أطول ضلعين، ثم الضلعين التاليين لهما طولاً، وأخيرًا أقصر ضلعين. --- SECTION: مثال 2 استعمال نظريتي التشابه SSS, SAS --- مثال 2 استعمال نظريتي التشابه SSS, SAS حدد في كل مما يأتي ما إذا كان المثلثان متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه، و وضح إجابتك. a. الشكل (a) يوضح مثلثين PQR و STR. المثلث PQR أضلاعه PR=8, QR=5, PQ=6. المثلث STR أضلاعه SR=20, TR=12.5, ST=15. الحل: PR/SR = 8/20 = 2/5, PQ/ST = 6/15 = 2/5, QR/TR = 5/12.5 = 50/125 = 2/5. إذن ΔPQR ~ ΔSTR وفق نظرية التشابه SSS. b. الشكل (b) يوضح مثلثين ABC و AEF. المثلث AEF أضلاعه AE=8, AF=10. المثلث ABC أضلاعه AC=AE+EC=8+4=12, AB=AF+FB=10+5=15. الحل: من خاصية الانعكاس ∠A ≅ ∠A. بما أن طولي الضلعين اللذين يحصران ∠A في ΔAEF متناسبان مع طولي الضلعين المناظرين لهما في ΔACB ، إذن ΔAEF ~ ΔACB وفق نظرية التشابه SAS. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك يمكنك أن تقرر أي الشروط كافية لإثبات تشابه مثلثين. يمكنك أن تقرر أي الشروط كافية لإثبات تشابه مثلثين. --- SECTION: مثال 3 من اختبار --- مثال 3 من اختبار المثلثان MNQ, MOP في الشكل المجاور متشابهان، ما قيمة x؟ A 12 B 10 C 5 D 4 --- SECTION: اقرأ سؤال الاختبار --- اقرأ سؤال الاختبار في هذا السؤال تعلم، أن ΔMNQ ~ ΔMOP ، ومطلوب منك إيجاد طول قطعة مجهولة. --- SECTION: حل سؤال الاختبار --- حل سؤال الاختبار بما أن ΔMNQ ~ ΔMOP ، فإن الأضلاع المتناظرة متناسبة أي أن MN/MO = MQ/MP ، وبما أن MN = 9, MO = 12, MQ = 15, MP = 15 + x اختبر كلاً من بدائل الإجابة حتى تجد واحدًا منها يحقق التناسب البديل A: إذا كان: 12 = x فإن: 9/12 = 15/(15+12) 3/4 ≠ 5/9 غير صحيح البديل B: إذا كان: 10 = x فإن: 9/12 = 15/(15+10) 3/4 ≠ 3/5 غير صحيح البديل C: إذا كان: 5 = x فإن: 9/12 = 15/(15+5) 3/4 = 3/4 صحيح، إذن فإن إجابة السؤال هي C Ministry of Education 2025 - 1447 82 الفصل 6 التشابه --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: Geometric diagram showing two triangles. Triangle PQR has vertices P, Q, R. Side lengths are PQ=6, QR=5, PR=8. Triangle STR has vertices S, T, R. Side lengths are ST=15, TR=12.5, SR=20. The triangles share vertex R, with P, R, S being collinear and Q, R, T being collinear. Data: Side lengths: PQ=6, QR=5, PR=8, ST=15, TR=12.5, SR=20. Key Values: PQ=6, QR=5, PR=8, ST=15, TR=12.5, SR=20 Context: Illustrates the SSS (Side-Side-Side) similarity theorem for triangles. **FIGURE**: Untitled Description: Geometric diagram showing two triangles. Triangle AEF has vertices A, E, F. Side lengths are AE=8, AF=10. Triangle ABC has vertices A, B, C. Side AC is composed of AE=8 and EC=4, so AC=12. Side AB is composed of AF=10 and FB=5, so AB=15. The line segment EF is parallel to BC. Data: Side lengths: AE=8, EC=4, AF=10, FB=5. Key Values: AE=8, EC=4, AF=10, FB=5 Context: Illustrates the SAS (Side-Angle-Side) similarity theorem for triangles, with angle A being common. **FIGURE**: Untitled Description: Geometric diagram showing two separate triangles. Triangle JKL has vertices J, K, L. Side lengths are JK=16, KL=8, LJ=12. Triangle MQP has vertices M, Q, P. Side lengths are MQ=9, QP=6, PM=12. Data: Side lengths: JK=16, KL=8, LJ=12, MQ=9, QP=6, PM=12. Key Values: JK=16, KL=8, LJ=12, MQ=9, QP=6, PM=12 Context: Exercise for checking understanding of triangle similarity conditions. **FIGURE**: Untitled Description: Geometric diagram showing two triangles, TWZ and XYW, connected at vertex W. Triangle TWZ has vertices T, W, Z. Side lengths are TW=10, WZ=11. Triangle XYW has vertices X, Y, W. Side lengths are XW=22, WY=20. Angles ∠TWZ and ∠XYW are vertical angles. Data: Side lengths: TW=10, WZ=11, XW=22, WY=20. Angle at W is common (vertical angles). Key Values: TW=10, WZ=11, XW=22, WY=20 Context: Exercise for checking understanding of triangle similarity conditions, particularly SAS with vertical angles. **FIGURE**: Untitled Description: Geometric diagram showing two triangles, MNQ and MOP, sharing vertex M. Triangle MNQ has vertices M, N, Q. Side lengths are MN=9, MQ=15, NQ=3. Triangle MOP has vertices M, O, P. Side lengths are MO=12, MP=15+x, OP=y. The segment NO has a length of 6.9. The line segment NQ is parallel to OP. Data: Side lengths: MN=9, MQ=15, NQ=3, MO=12, NO=6.9, MP=15+x. Key Values: MN=9, MQ=15, NQ=3, MO=12, NO=6.9, MP=15+x Context: Example problem for finding an unknown side length (x) in similar triangles using proportions.