إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 10 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تشابه المثلثات (نظريتان)

المفاهيم الأساسية

نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS): إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة لمثلثين متناسبة، فإن المثلثين متشابهان.

نظرية التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS): إذا كان طولا ضلعين في مثلث ما متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين لهما في مثلث آخر وكانت الزاويتان المحصورتان بينهما متطابقتين، فإن المثلثين متشابهان.

خريطة المفاهيم

```markmap

تشابه المثلثات

مسلمة التشابه AA

تستخدم لإثبات النظريتين

نظريتا التشابه

نظرية التشابه بثلاثة أضلاع (SSS)

#### الشرط: تناسب أطوال الأضلاع المتناظرة

#### مثال: إذا كان JK/MP = KL/PQ = LJ/QM ، فإن JKL ~ MPQ

نظرية التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS)

#### الشرط: تناسب ضلعين وتطابق الزاوية المحصورة بينهما

#### مثال: إذا كان RS/XY = ST/YZ ، ∠S ≅ ∠Y ، فإن RST ~ XYZ

برهان النظرية 6.2 (SSS)

المعطيات: AB/FG = BC/GH = AC/FH

المطلوب: ΔABC ~ ΔFGH

خطوات البرهان الرئيسية

#### إنشاء مثلث وسيط (ΔGJK) مشابه لـ ΔGFH باستخدام AA

#### إثبات تطابق ΔJGK مع ΔABC باستخدام SSS

#### استنتاج تشابه ΔABC و ΔFGH باستخدام AA

```

نقاط مهمة

• يمكن استخدام مسلمة التشابه AA (زاويتان متطابقتان) لإثبات نظريتي التشابه SSS و SAS.
• إعادة رسم المثلثين المتشابهين بحيث تظهر الأضلاع المتناظرة في الاتجاه نفسه قد تساعد في الدراسة.
• برهان النظرية 6.2 (SSS) يعتمد على إنشاء مثلث وسيط وإثبات التشابه أولاً ثم التطابق.
• برهان النظرية 6.3 (SAS) سيتم في سؤال لاحق (السؤال 17).

حل مثال

المثال 1 (لنظرية SSS):

* المعطى: في المثلثين JKL و MPQ، تكون النسب `JK/MP = KL/PQ = LJ/QM`.

* النتيجة: المثلثان متشابهان، أي `ΔJKL ~ ΔMPQ`.

المثال 2 (لنظرية SAS):

* المعطى: في المثلثين RST و XYZ، تكون النسبة `RS/XY = ST/YZ` والزاوية `∠S ≅ ∠Y`.

* النتيجة: المثلثان متشابهان، أي `ΔRST ~ ΔXYZ`.

إرشادات للدراسة رسم الأشكال: قد تساعدك إعادة رسم المثلثين المتشابهين، بحيث تظهر الأضلاع المتناظرة في الاتجاه نفسه.

يمكنك استعمال مسلمة التشابه AA لإثبات النظريتين الآتيتين:

نظريتان

6.2 التشابه بثلاثة أضلاع (SSS) إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة لمثلثين متناسبة، فإن المثلثين متشابهان. مثال: إذا كان: JK/MP = KL/PQ = LJ/QM ، فإن JKL ~ MPQ

6.3 التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS) إذا كان طولا ضلعين في مثلث ما متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين لهما في مثلث آخر وكانت الزاويتان المحصورتان بينهما متطابقتين، فإن المثلثين متشابهان. مثال: إذا كان RS/XY = ST/YZ ، ∠S ≅ ∠Y ، فإن RST ~ XYZ

ستبرهن النظرية 6.3 في السؤال 17

برهان

النظرية 6.2

اكتب برهانا حرا للنظرية 6.2

المعطيات: AB/FG = BC/GH = AC/FH ΔABC ~ ΔFGH

المطلوب: ΔABC ~ ΔFGH

البرهان: عين النقطة J على FG ، بحيث يكون JG = AB . ارسم JK ، بحيث يكون JK || FH . سم ∠GJK بالرمز ∠1 . بما أن ∠G ≅ ∠G وفق خاصية الانعكاس، و ∠1 ≅ ∠F وفق مسلمة الزاويتين المتناظرتين، فإن ΔGJK ~ ΔGFH وفق مسلمة التشابه AA . ومن تعريف المضلعات المتشابهة يكون: JG/FG = GK/GH = JK/FH . وبالتعويض ينتج أن: AB/FG = GK/GH = JK/FH . وبما أن: AB/FG = BC/GH = AC/FH ، إذن يمكننا استنتاج أن: GK = BC , JK = AC . ومن مسلمة التطابق SSS ، يكون ΔJGK ≅ ΔABC . ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة فإن: ∠1 ≅ ∠A ، ∠B ≅ ∠G ، وبما أن: ∠1 ≅ ∠F ، إذن ∠A ≅ ∠F وفق خاصية التعدي؛ إذن ومن مسلمة التشابه AA ، يكون ΔABC ~ ΔFGH .

الدرس 2-6 المثلثات المتشابهة

81

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة رسم الأشكال: قد تساعدك إعادة رسم المثلثين المتشابهين، بحيث تظهر الأضلاع المتناظرة في الاتجاه نفسه. يمكنك استعمال مسلمة التشابه AA لإثبات النظريتين الآتيتين: --- SECTION: نظريتان --- نظريتان 6.2 التشابه بثلاثة أضلاع (SSS) إذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة لمثلثين متناسبة، فإن المثلثين متشابهان. مثال: إذا كان: JK/MP = KL/PQ = LJ/QM ، فإن JKL ~ MPQ 6.3 التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS) إذا كان طولا ضلعين في مثلث ما متناسبين مع طولي الضلعين المناظرين لهما في مثلث آخر وكانت الزاويتان المحصورتان بينهما متطابقتين، فإن المثلثين متشابهان. مثال: إذا كان RS/XY = ST/YZ ، ∠S ≅ ∠Y ، فإن RST ~ XYZ ستبرهن النظرية 6.3 في السؤال 17 --- SECTION: برهان --- برهان --- SECTION: النظرية 6.2 --- النظرية 6.2 اكتب برهانا حرا للنظرية 6.2 المعطيات: AB/FG = BC/GH = AC/FH ΔABC ~ ΔFGH المطلوب: ΔABC ~ ΔFGH البرهان: عين النقطة J على FG ، بحيث يكون JG = AB . ارسم JK ، بحيث يكون JK || FH . سم ∠GJK بالرمز ∠1 . بما أن ∠G ≅ ∠G وفق خاصية الانعكاس، و ∠1 ≅ ∠F وفق مسلمة الزاويتين المتناظرتين، فإن ΔGJK ~ ΔGFH وفق مسلمة التشابه AA . ومن تعريف المضلعات المتشابهة يكون: JG/FG = GK/GH = JK/FH . وبالتعويض ينتج أن: AB/FG = GK/GH = JK/FH . وبما أن: AB/FG = BC/GH = AC/FH ، إذن يمكننا استنتاج أن: GK = BC , JK = AC . ومن مسلمة التطابق SSS ، يكون ΔJGK ≅ ΔABC . ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة فإن: ∠1 ≅ ∠A ، ∠B ≅ ∠G ، وبما أن: ∠1 ≅ ∠F ، إذن ∠A ≅ ∠F وفق خاصية التعدي؛ إذن ومن مسلمة التشابه AA ، يكون ΔABC ~ ΔFGH . الدرس 2-6 المثلثات المتشابهة 81 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: Two triangles are shown. The first triangle, JKL, has vertices J at the top-left, K at the bottom-right, and L at the bottom-left, outlined in green. The second triangle, MPQ, has vertices M at the top-center, P at the right, and Q at the left, outlined in red. The triangles are oriented differently but appear similar. No specific angle or side markings are visible. Context: Illustrates the Side-Side-Side (SSS) Similarity Theorem (Theorem 6.2). **DIAGRAM**: Untitled Description: Two triangles are shown. The first triangle, RST, has vertices R at the left, S at the top, and T at the right, outlined in red. The second triangle, XYZ, has vertices X at the left, Y at the top, and Z at the right, outlined in blue. The triangles are oriented similarly. No specific angle or side markings are visible. Context: Illustrates the Side-Angle-Side (SAS) Similarity Theorem (Theorem 6.3). **DIAGRAM**: Untitled Description: Four triangles are displayed in two rows, illustrating the proof of Theorem 6.2. Top-left: Triangle ABC, outlined in blue, with vertices A (bottom-left), B (top-left), C (bottom-right). Top-right: Triangle FGH, outlined in blue, with vertices F (bottom-left), G (top-left), H (bottom-right). This triangle appears larger than ABC. Bottom-left: Triangle ABC, outlined in blue, with vertices A (bottom-left), B (top-left), C (bottom-right). Side AB has a single pink tick mark. Side AC has a double pink tick mark. Bottom-right: Triangle FGH, outlined in blue, with vertices F (bottom-left), G (top-left), H (bottom-right). Inside triangle FGH, a point J is located on side FG and a point K is on side GH. A line segment JK is drawn, which is parallel to side FH, indicated by two pink arrows on JK and FH. Side GJ has a single pink tick mark. Side GK has a double pink tick mark. The angle GJK is labeled as '1'. Context: Used to illustrate the steps and constructions involved in the proof of Theorem 6.2 (SSS Similarity).