📚 دليل الدراسة والمراجعة (الفصل 4)
المفاهيم الأساسية
العمليات على العبارات الجذرية: تبسيط وضرب وقسمة وجمع وطرح العبارات التي تحتوي على جذور.
الأسس النسبية: كتابة العبارات الجذرية على الصورة الأسية باستخدام أسس كسرية، والعكس.
خاصية ضرب الجذور: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}
خاصية قسمة الجذور: \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}
إنطاق المقام: عملية إزالة الجذر من مقام الكسر بضرب البسط والمقام في مرافق المقام.
خريطة المفاهيم
```markmap
الفصل 4: العلاقات والدوال الجذرية والعكسية
العمليات على الدوال
التركيب
#### (f ∘ g)(x) = f(g(x))
#### (g ∘ f)(x) = g(f(x))
العلاقات والدوال العكسية
إيجاد معكوس الدالة
#### 1. استبدل f(x) بـ y
#### 2. بدّل بين x و y
#### 3. حل المعادلة لإيجاد y
#### 4. استبدل y بـ f⁻¹(x)
التحقق من كون دالتين معكوستين
#### تحقق من: f(g(x)) = x و g(f(x)) = x
دوال ومتباينات الجذر التربيعي
دالة الجذر التربيعي
#### المجال: {x | x ≥ h}
#### المدى: {f(x) | f(x) ≥ k} إذا كان a > 0
#### التمثيل البياني: منحنى يبدأ من نقطة (h, k)
متباينة الجذر التربيعي
#### مثل: y \ge \sqrt{x+3}
#### التمثيل: منطقة فوق المنحنى
الجذور النونية
الجذر النوني
رمز الجذر
الدليل
ما تحت الجذر
الجذر الرئيس
#### تبسيط الجذور: \sqrt[n]{a^n} = |a| إذا كان n زوجياً
#### مثال: \sqrt{64x^6} = 8|x^3|
#### مثال: \sqrt[6]{4096x^{12}y^{24}} = 4x^2y^4
العمليات على العبارات الجذرية
تبسيط الجذور
#### تحليل ما تحت الجذر إلى عوامل
#### إخراج العوامل المربعة أو المكعبة
ضرب الجذور
#### خاصية ضرب الجذور: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}
#### مثال: 2\sqrt[3]{18a^2b} \cdot 3\sqrt[3]{12ab^5} = 36ab^2
جمع وطرح الجذور
#### الجذور المتشابهة فقط
قسمة الجذور
#### خاصية قسمة الجذور: \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}
#### إنطاق المقام
##### ضرب البسط والمقام في مرافق المقام
##### مثال: \frac{3}{5+\sqrt{2}}
##### مثال: \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}
الأسس النسبية
الصيغة الأسية للجذر
#### a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m
العمليات على الأسس النسبية
#### ضرب القوى: a^{m/n} \cdot a^{p/q} = a^{(m/n)+(p/q)}
#### مثال: a^{2/3} \cdot a^{1/5} = a^{13/15}
#### قسمة القوى: \frac{a^{m/n}}{a^{p/q}} = a^{(m/n)-(p/q)}
#### القوة السالبة: a^{-m/n} = \frac{1}{a^{m/n}}
التحويل بين الصيغ الجذرية والأسية
#### مثال: \frac{2a}{\sqrt{b}} = \frac{2a}{b^{1/2}} = \frac{2a\sqrt{b}}{b}
حل المعادلات والمتباينات الجذرية
المعادلة الجذرية
الحل الدخيل
المتباينة الجذرية
```
نقاط مهمة
- عند تبسيط الجذور، حلل العدد إلى عوامله الأولية وأخرج العوامل المربعة (للجذر التربيعي) أو المكعبة (للجذر التكعيبي).
- يمكن ضرب الجذور التي لها نفس الدليل باستخدام خاصية الضرب:
\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} .
- يمكن جمع وطرح الجذور المتشابهة فقط (نفس ما تحت الجذر ونفس الدليل).
- لإنطاق مقام يحتوي على جذر، اضرب البسط والمقام في مرافق المقام (نفس الحدود مع عكس إشارة الجذر).
- الأس النسبي
a^{m/n} يعادل الجذر النوني للعدد a مرفوعاً للأس m، أو العكس.
- قواعد الأسس (الضرب، القسمة، القوة السالبة) تنطبق على الأسس النسبية كما تنطبق على الأسس الصحيحة.