مراجعة الدروس - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال 10: تعتمد سرعة موجة المد (تسونامي) v على معدل عمق مياه البحر. إذا علمت أن الصيغة الآتية تمثل سرعة المد عندما يكون معدل عمق الماء d كيلومتراً: $v = 356\sqrt{d}$ ، وإذا علمت أن موجة المد (تسونامي) تسير بسرعة 45km/h ، فما معدل عمق الماء، مقرباً الجواب إلى أقرب جزء من مئة؟

الإجابة: 140 = 0.17 km h

سؤال 11: أوجد معكوس $g(x) = \frac{3x-1}{2x+1}$

الإجابة: $g^{-1}(x) = \frac{x+1}{3-2x}$

سؤال 12: إذا كان $f(x) = \frac{1}{x^2-1}$ و $g(x) = \sqrt{x}$ ، فأوجد قيمة $(f \circ g)(\frac{11}{2})$

الإجابة: $g(\frac{11}{2}) = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

سؤال 13: قياسات: تستعمل الصيغة $y = 3f$ لتحويل الياردات y إلى أقدام f، كذلك تستعمل الصيغة $f = \frac{n}{12}$ لتحويل البوصات n إلى أقدام f. اكتب الصيغة التي تحول الياردات إلى بوصات.

الإجابة: $n = 36y$

سؤال 14 (أ): الرسم: ارسم الدالة (4-,3-)، وفكر فعلياً بـ $f(x) = \begin{cases} x+7, & x < -4 \\ -x-1, & x \ge -4 \end{cases}$

الإجابة: $f(x) = \begin{cases} x+7, & x < -4 \\ -x-1, & x \ge -4 \end{cases}$

سؤال 14 (ب): أوجد المجال والمدى والمقاطع للدالة $f(x) = \begin{cases} x+7, & x < -4 \\ -x-1, & x \ge -4 \end{cases}$

الإجابة: المجال: R ، المدى: [3, ∞) المقطع مع محور y: (0, -1) ، والمقاطع مع محور x: (7, 0) و (-1, 0).

سؤال $C_{32}$: إذا كان $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$ و $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ ، حيث أوجد العنصر $C_{32}$ (العنصر الموجود في الصف الثالث والعمود الثاني من C).

الإجابة: $C_{32} = -5 : 13$

إذا كانت f(x) = x² + 3 و g(x) = 3x - 2، فما قيمة التركيب (f ∘ g)(x)؟

• أ) 3x² + 7
• ب) 9x² + 7
• ج) 9x² - 12x + 7
• د) 3x² - 2x + 3

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: 9x² - 12x + 7

الشرح: 1. (f ∘ g)(x) = f(g(x)). 2. g(x) = 3x - 2. 3. f(g(x)) = (3x - 2)² + 3. 4. (3x - 2)² = 9x² - 12x + 4. 5. إذن: 9x² - 12x + 4 + 3 = 9x² - 12x + 7.

تلميح: تذكر أن (f ∘ g)(x) = f(g(x)). استبدل x في قاعدة f(x) بالمقدار g(x) ثم بسط.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الخطوات الأساسية لإيجاد معكوس دالة جبرية مثل f(x) = -2x + 7؟

• أ) استبدل x بصفر، أوجد f(0)، ثم اقسم الناتج على معامل x.
• ب) استبدل f(x) بـ y، بدّل بين x و y، ثم حل المعادلة الناتجة لإيجاد y.
• ج) أوجد مميز الدالة، ثم استخدم الصيغة x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a.
• د) اقسم كل حد في الدالة على معامل x، ثم اكتب المعكوس مباشرة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: استبدل f(x) بـ y، بدّل بين x و y، ثم حل المعادلة الناتجة لإيجاد y.

الشرح: 1. اكتب الدالة بصيغة y = -2x + 7. 2. بدّل بين x و y لتحصل على x = -2y + 7. 3. حل المعادلة لإيجاد y: أضف 2y للطرفين واطرح x، ثم اقسم على 2. 4. النتيجة: y = (7 - x)/2، وهي قاعدة الدالة العكسية f⁻¹(x).

تلميح: فكر في عكس العملية: المعكوس يبدّل المدخلات والمخرجات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: سهل

كيف يمكن التحقق مما إذا كانت الدالة g(x) تمثل معكوساً للدالة f(x)؟

• أ) إذا كانت رسومهما البيانية متناظرة حول محور الصادات.
• ب) إذا تحقق أن (f ∘ g)(x) = x و (g ∘ f)(x) = x لكل x في مجالي التركيب المناسبين.
• ج) إذا كان مجال f(x) يساوي مدى g(x) فقط.
• د) إذا كانت f(x) و g(x) متعددتي حدود من نفس الدرجة.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: إذا تحقق أن (f ∘ g)(x) = x و (g ∘ f)(x) = x لكل x في مجالي التركيب المناسبين.

الشرح: التحقق يتم من خلال تركيب الدالتين. إذا كانت g هي معكوس f، فإن: 1. تطبيق g ثم f (أو f ثم g) يجب أن يلغي كل منهما تأثير الآخر. 2. رياضياً: (f(g(x)) = x و (g(f(x)) = x. 3. إذا تحققت هذه المتطابقتين، فإن g = f⁻¹.

تلميح: فكر في أن تطبيق الدالة ثم معكوسها يجب أن يعيدك إلى نقطة البداية.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما هي الخطوات الجبرية الصحيحة لإيجاد قاعدة الدالة العكسية $f^{-1}(x)$ لأي دالة معطاة $f(x)$؟

• أ) استبدال $f(x)$ بالرمز $y$، التبديل بين المتغيرين $x$ و $y$، ثم حل المعادلة الناتجة بالنسبة لـ $y$.
• ب) ضرب الدالة الأصلية في $(-1)$ ثم قلب إشارة الثوابت الموجودة في المعادلة.
• ج) استبدال كل متغير $x$ في الدالة بالمعكوس الضربي $1/x$ ثم تبسيط الناتج.
• د) إيجاد القيمة العددية لـ $f(0)$ ثم طرحها من الدالة الأصلية وقسمة الناتج على $x$.

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: استبدال $f(x)$ بالرمز $y$، التبديل بين المتغيرين $x$ و $y$، ثم حل المعادلة الناتجة بالنسبة لـ $y$.

الشرح: لإيجاد الدالة العكسية نتبع الخطوات التالية: 1. نكتب الدالة في صورة معادلة $y = f(x)$. 2. نبدل مواقع المتغيرين، فتصبح $x$ مكان $y$ والعكس. 3. نحل المعادلة الجديدة لعزل $y$ في طرف واحد. 4. نضع الرمز $f^{-1}(x)$ بدلاً من $y$ لتمثيل الدالة العكسية.

تلميح: تذكر أن الدالة العكسية تعكس دور كل من المجال والمدى، لذا نبدأ بتبديل مواقع المتغيرات.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط