صفحة 228 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 اختبار الفصل 4: العلاقات والدوال العكسية الجذرية

المفاهيم الأساسية

اختبار الفصل: مجموعة من التمارين والمسائل لتقييم فهم الطالب لمفاهيم الفصل الرابع.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال الجذرية والعكسية

العمليات على الدوال

التركيب

#### (f ∘ g)(x) = f(g(x))

#### (g ∘ f)(x) = g(f(x))

العلاقات والدوال العكسية

إيجاد معكوس الدالة

#### 1. استبدل f(x) بـ y

#### 2. بدّل بين x و y

#### 3. حل المعادلة لإيجاد y

#### 4. استبدل y بـ f⁻¹(x)

التحقق من كون دالتين معكوستين

#### تحقق من: f(g(x)) = x و g(f(x)) = x

دوال ومتباينات الجذر التربيعي

دالة الجذر التربيعي

#### المجال: {x | x ≥ h}

#### المدى: {f(x) | f(x) ≥ k} إذا كان a > 0

#### التمثيل البياني: منحنى يبدأ من نقطة (h, k)

متباينة الجذر التربيعي

#### مثل: y \ge \sqrt{x+3}

#### التمثيل: منطقة فوق المنحنى

الجذور النونية

الجذر النوني

رمز الجذر

الدليل

ما تحت الجذر

الجذر الرئيس

#### تبسيط الجذور: \sqrt[n]{a^n} = |a| إذا كان n زوجياً

#### مثال: \sqrt{64x^6} = 8|x^3|

#### مثال: \sqrt[6]{4096x^{12}y^{24}} = 4x^2y^4

العمليات على العبارات الجذرية

تبسيط الجذور

#### تحليل ما تحت الجذر إلى عوامل

#### إخراج العوامل المربعة أو المكعبة

ضرب الجذور

#### خاصية ضرب الجذور: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### مثال: 2\sqrt[3]{18a^2b} \cdot 3\sqrt[3]{12ab^5} = 36ab^2

جمع وطرح الجذور

#### الجذور المتشابهة فقط

قسمة الجذور

#### خاصية قسمة الجذور: \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}

#### إنطاق المقام

##### ضرب البسط والمقام في مرافق المقام

##### مثال: \frac{3}{5+\sqrt{2}}

##### مثال: \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}

الأسس النسبية

الصيغة الأسية للجذر

#### a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m

العمليات على الأسس النسبية

#### ضرب القوى: a^{m/n} \cdot a^{p/q} = a^{(m/n)+(p/q)}

#### مثال: a^{2/3} \cdot a^{1/5} = a^{13/15}

#### قسمة القوى: \frac{a^{m/n}}{a^{p/q}} = a^{(m/n)-(p/q)}

#### القوة السالبة: a^{-m/n} = \frac{1}{a^{m/n}}

التحويل بين الصيغ الجذرية والأسية

#### مثال: \frac{2a}{\sqrt{b}} = \frac{2a}{b^{1/2}} = \frac{2a\sqrt{b}}{b}

حل المعادلات والمتباينات الجذرية

خطوات حل المعادلة الجذرية

#### 1. عزل الجذر

#### 2. تربيع الطرفين

#### 3. حل المعادلة الناتجة

#### 4. التحقق من الحلول (استبعاد الحلول الدخيلة)

خطوات حل المتباينة الجذرية

#### 1. إيجاد مجال المتباينة (ما تحت الجذر ≥ 0)

#### 2. عزل الجذر

#### 3. تربيع الطرفين (مع مراعاة إشارة المتباينة)

#### 4. حل المتباينة الناتجة

#### 5. إيجاد تقاطع الحل مع المجال

اختبار الفصل

التحقق من الدوال العكسية

العمليات على الدوال

#### (f + g)(x)

#### (f • g)(x)

#### (f - g)(x)

#### (f / g)(x)

حل المعادلات الجذرية

#### معادلات الجذر التربيعي

#### معادلات الجذر التكعيبي

تبسيط العبارات الجذرية

#### ضرب المقادير الجذرية

#### إنطاق المقام

#### تبسيط الجذور

#### العمليات على الأسس النسبية

حل المتباينات الجذرية

تطبيقات

#### قانون هيرو لإيجاد مساحة المثلث

```

نقاط مهمة

• يركز الاختبار على تطبيق مفاهيم الفصل الرابع عملياً.
• يتضمن الاختبار أنواعاً مختلفة من الأسئلة: اختيار من متعدد، إجابة قصيرة، وحل مسائل.
• تتطلب بعض الأسئلة تحليل رسوم بيانية وأشكال هندسية مرتبطة.
• يختبر الاختبار مهارات متعددة: التحقق من الدوال العكسية، إجراء العمليات على الدوال، حل المعادلات والمتباينات الجذرية، وتبسيط العبارات الجذرية والأسية.

اختبار الفصل

4

في كل زوج مما يأتي، حدد هل كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى أم لا؟

f(x) = 3x + 8, g(x) = (x - 8) / 3

f(x) = (1/3)x + 5, g(x) = 3x - 15

f(x) = x + 7, g(x) = x - 7

f(x) = x/3 - 2, g(x) = 3x - 2

اختيار من متعدد: أي المتباينات الآتية لها التمثيل البياني الظاهر في الشكل أدناه؟

إذا كان f(x) = 3x + 2, g(x) = x² - 2x + 1 فأوجد كل دالة مما يأتي:

(f + g)(x)

(f • g)(x)

(f - g)(x)

(f / g)(x)

حل كل معادلة مما يأتي:

√(a + 12) = √(5a - 4)

√(3x) = √x - 2

4(∛(3x) + 1) - 8 = 0

∛(5m + 6) + 15 = 21

1 + √(x + 11) = √(2x + 15)

√x - 6 - √x = 3

اختيار من متعدد: قيمة العبارة 125^(-1/3) هي:

228 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية الجذرية

بسط كلاً مما يأتي:

(2 + √5)(6 - 3√5)

(3 - 2√2)(-7 + √2)

12 / (2 - √3)

(m^(1/2) - 1) / (2m^(1/2) + 1)

4√3 - 8√48

(2/5) * 5^(1/3) * 5^(5/6)

⁶√(729a⁹b²⁴)

⁵√(32x¹⁵y¹⁰)

w^(-4/5)

(r^(2/3)) / (r^(1/6))

(a^(-1/2)) / (6a^(3/4) * a^(-1/4))

(y^(3/2)) / (y^(1/2) + 2)

اختيار من متعدد: ما مساحة المستطيل في الشكل أدناه؟

حل كل متباينة مما يأتي:

√(4x - 3) < 5

2 + √(4x - 4) ≤ 6

√(2x + 3) - 4 ≤ 5

√b + 12 - √b > 2

√(y - 7) + 5 ≥ 10

قانون هيرو (HERO): يمكن إيجاد مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه c, b, a باستعمال قانون هيرو: s = (1/2)(a + b + c) ، حيث A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) اكتب مساحة المثلث في الشكل أدناه على الصورة الجذرية في أبسط صورة.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

اختبار الفصل 4 في كل زوج مما يأتي، حدد هل كل دالة تمثل دالة عكسية للأخرى أم لا؟ f(x) = 3x + 8, g(x) = (x - 8) / 3 f(x) = (1/3)x + 5, g(x) = 3x - 15 f(x) = x + 7, g(x) = x - 7 f(x) = x/3 - 2, g(x) = 3x - 2 اختيار من متعدد: أي المتباينات الآتية لها التمثيل البياني الظاهر في الشكل أدناه؟ y ≥ √x + 4 y ≤ √x + 4 y ≥ √x - 4 y ≤ √x - 4 إذا كان f(x) = 3x + 2, g(x) = x² - 2x + 1 فأوجد كل دالة مما يأتي: (f + g)(x) (f • g)(x) (f - g)(x) (f / g)(x) حل كل معادلة مما يأتي: √(a + 12) = √(5a - 4) √(3x) = √x - 2 4(∛(3x) + 1) - 8 = 0 ∛(5m + 6) + 15 = 21 1 + √(x + 11) = √(2x + 15) √x - 6 - √x = 3 اختيار من متعدد: قيمة العبارة 125^(-1/3) هي: -5 -1/5 1/5 5 228 الفصل 4 العلاقات والدوال العكسية الجذرية بسط كلاً مما يأتي: (2 + √5)(6 - 3√5) (3 - 2√2)(-7 + √2) 12 / (2 - √3) (m^(1/2) - 1) / (2m^(1/2) + 1) 4√3 - 8√48 (2/5) * 5^(1/3) * 5^(5/6) ⁶√(729a⁹b²⁴) ⁵√(32x¹⁵y¹⁰) w^(-4/5) (r^(2/3)) / (r^(1/6)) (a^(-1/2)) / (6a^(3/4) * a^(-1/4)) (y^(3/2)) / (y^(1/2) + 2) اختيار من متعدد: ما مساحة المستطيل في الشكل أدناه؟ 2√3 + 3√2 وحدة مربعة 2√6 + 2√3 + 2√6 + 2√3 وحدة مربعة 2√3 + √6 وحدة مربعة 3 + 2√3 وحدة مربعة حل كل متباينة مما يأتي: √(4x - 3) < 5 2 + √(4x - 4) ≤ 6 √(2x + 3) - 4 ≤ 5 √b + 12 - √b > 2 √(y - 7) + 5 ≥ 10 قانون هيرو (HERO): يمكن إيجاد مساحة المثلث الذي أطوال أضلاعه c, b, a باستعمال قانون هيرو: s = (1/2)(a + b + c) ، حيث A = √(s(s - a)(s - b)(s - c)) اكتب مساحة المثلث في الشكل أدناه على الصورة الجذرية في أبسط صورة. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows a curve that starts at (-4, 0) and increases, extending towards positive infinity in both x and y directions. It passes through approximately (0, 2) and (2, 2.5). X-axis: x Y-axis: y Data: The curve shows increasing y-values as x-values increase from -4. **FIGURE**: مستطيل Description: A rectangle with its length and width labeled. Key Values: Length: (2 + √6) in, Width: √3 in Context: This figure provides the dimensions of a rectangle for which the area needs to be calculated. **FIGURE**: مثلث Description: A triangle with three side lengths labeled. Key Values: Side a: 5 m, Side b: 7 m, Side c: 10 m Context: This figure provides the side lengths of a triangle for which the area needs to be calculated using Hero's formula.