مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 مراجعة الدروس (ص 225)

المفاهيم الأساسية

دالة الجذر التربيعي: دالة على الصورة f(x) = \sqrt{x - h} + k أو f(x) = a\sqrt{x - h} + k.

مجال دالة الجذر التربيعي: قيم `x` التي تجعل ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر.

مدى دالة الجذر التربيعي: قيم `f(x)` الناتجة، وتعتمد على الإزاحات الرأسية.

الجذر النوني: \sqrt[n]{a} حيث `n` هو دليل الجذر و `a` هو ما تحت الجذر.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال الجذرية والعكسية

العمليات على الدوال

التركيب

#### (f ∘ g)(x) = f(g(x))

#### (g ∘ f)(x) = g(f(x))

العلاقات والدوال العكسية

إيجاد معكوس الدالة

#### 1. استبدل f(x) بـ y

#### 2. بدّل بين x و y

#### 3. حل المعادلة لإيجاد y

#### 4. استبدل y بـ f⁻¹(x)

التحقق من كون دالتين معكوستين

#### تحقق من: f(g(x)) = x و g(f(x)) = x

دوال ومتباينات الجذر التربيعي

دالة الجذر التربيعي

#### المجال: {x | x ≥ h}

#### المدى: {f(x) | f(x) ≥ k} إذا كان a > 0

#### التمثيل البياني: منحنى يبدأ من نقطة (h, k)

متباينة الجذر التربيعي

#### مثل: y \ge \sqrt{x+3}

#### التمثيل: منطقة فوق المنحنى

الجذور النونية

الجذر النوني

رمز الجذر

الدليل

ما تحت الجذر

الجذر الرئيس

#### تبسيط الجذور: \sqrt[n]{a^n} = |a| إذا كان n زوجياً

#### مثال: \sqrt{64x^6} = 8|x^3|

#### مثال: \sqrt[6]{4096x^{12}y^{24}} = 4x^2y^4

العمليات على العبارات الجذرية

إنطاق المقام

الجذور المتشابهة

المرافق

حل المعادلات والمتباينات الجذرية

المعادلة الجذرية

الحل الدخيل

المتباينة الجذرية

```

نقاط مهمة

• لتمثيل دالة جذر تربيعي بيانياً: 1) حدد المجال. 2) أنشئ جدول قيم. 3) ارسم النقاط ووصلها بمنحنى.
• نقطة بداية منحنى f(x) = \sqrt{x - h} + k هي `(h, k)`.
• عند تبسيط الجذور الزوجية (مثل الجذر التربيعي، الجذر الرابع)، استخدم رمز القيمة المطلقة لضمان عدم الحصول على قيم سالبة.
• لتبسيط الجذور النونية: ابحث عن العوامل المرفوعة للقوة `n`.

مراجعة الدروس

4-3 دوال ومتباينات الجذر التربيعي ص 191-195

مثّل بيانيًا الدالة: f(x) = √(x + 1) - 2، وحدّد مجالها ومداها. تحديد المجال: x + 1 ≥ 0 (ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر.) x ≥ -1 (اطرح العدد 1 من الطرفين.) اعمل جدولاً لبعض قيم المتغير x، حيث x ≥ -1، ومثّل الدالة بيانيًا. المجال هو {x | x ≥ -1}، والمدى هو {f(x) | f(x) ≥ -2}.

مثّل بيانيًا كلّ دالة فيما يأتي، وحدد مجالها ومداها:

23) f(x) = √3x

24) f(x) = -√6x

25) f(x) = √(x - 7)

26) f(x) = √(x + 5) - 3

27) f(x) = 3/4√(x - 1) + 5

28) f(x) = -1/3√(x + 4) - 1

29) هندسة: يُعبّر عن مساحة الدائرة بالقانون A = πr²، حيث r نصف قطرها. فما قيمة نصف قطر دائرة مساحتها 300 cm²؟

مثّل بيانيًا كلّ متباينة فيما يأتي:

30) y ≥ √(x + 3)

31) y < 2√(x - 5)

32) y > -√(x - 1) + 2

4-4 الجذر النوني ص 196-200

بسّط كلًّا مما يأتي:

33) ±√121

34) ∛-125

35) √(-6)²

36) ⁶√(x² + 2)¹⁸

37) ∛27(x + 3)³

38) ⁴√a⁸b¹²

39) ⁵√243x¹⁰y²⁵

40) فيزياء: تستعمل الصيغة v = √(2K/m) لحساب سرعة جسم v، حيث v السرعة بالأمتار لكل ثانية، m كتلة الجسم بالجرام، K الطاقة الحركية بالجول. أوجد السرعة بالأمتار لكل ثانية لجسم كتلته 17 جرامًا وطاقته الحركية 850 جولاً.

بسّط العبارة الجذرية: √64x⁶ √64x⁶ = √(8x³)² = |8x³| = 8|x³| استعمل رمز القيمة المطلقة لتجنب القيم السالبة للمتغير x.

بسّط العبارة الجذرية: ⁶√4096x¹²y²⁴ ⁶√4096x¹²y²⁴ = ⁶√(4x²y⁴)⁶ = 4x²y⁴

مراجعة الدروس 4-3 دوال ومتباينات الجذر التربيعي ص 191-195 --- SECTION: مثال 3 --- مثّل بيانيًا الدالة: f(x) = √(x + 1) - 2، وحدّد مجالها ومداها. تحديد المجال: x + 1 ≥ 0 (ما تحت الجذر أكبر من أو يساوي الصفر.) x ≥ -1 (اطرح العدد 1 من الطرفين.) اعمل جدولاً لبعض قيم المتغير x، حيث x ≥ -1، ومثّل الدالة بيانيًا. المجال هو {x | x ≥ -1}، والمدى هو {f(x) | f(x) ≥ -2}. مثّل بيانيًا كلّ دالة فيما يأتي، وحدد مجالها ومداها: --- SECTION: 23 --- 23) f(x) = √3x --- SECTION: 24 --- 24) f(x) = -√6x --- SECTION: 25 --- 25) f(x) = √(x - 7) --- SECTION: 26 --- 26) f(x) = √(x + 5) - 3 --- SECTION: 27 --- 27) f(x) = 3/4√(x - 1) + 5 --- SECTION: 28 --- 28) f(x) = -1/3√(x + 4) - 1 --- SECTION: 29 --- 29) هندسة: يُعبّر عن مساحة الدائرة بالقانون A = πr²، حيث r نصف قطرها. فما قيمة نصف قطر دائرة مساحتها 300 cm²؟ مثّل بيانيًا كلّ متباينة فيما يأتي: --- SECTION: 30 --- 30) y ≥ √(x + 3) --- SECTION: 31 --- 31) y < 2√(x - 5) --- SECTION: 32 --- 32) y > -√(x - 1) + 2 4-4 الجذر النوني ص 196-200 بسّط كلًّا مما يأتي: --- SECTION: 33 --- 33) ±√121 --- SECTION: 34 --- 34) ∛-125 --- SECTION: 35 --- 35) √(-6)² --- SECTION: 36 --- 36) ⁶√(x² + 2)¹⁸ --- SECTION: 37 --- 37) ∛27(x + 3)³ --- SECTION: 38 --- 38) ⁴√a⁸b¹² --- SECTION: 39 --- 39) ⁵√243x¹⁰y²⁵ --- SECTION: 40 --- 40) فيزياء: تستعمل الصيغة v = √(2K/m) لحساب سرعة جسم v، حيث v السرعة بالأمتار لكل ثانية، m كتلة الجسم بالجرام، K الطاقة الحركية بالجول. أوجد السرعة بالأمتار لكل ثانية لجسم كتلته 17 جرامًا وطاقته الحركية 850 جولاً. --- SECTION: مثال 4 --- بسّط العبارة الجذرية: √64x⁶ √64x⁶ = √(8x³)² = |8x³| = 8|x³| استعمل رمز القيمة المطلقة لتجنب القيم السالبة للمتغير x. --- SECTION: مثال 5 --- بسّط العبارة الجذرية: ⁶√4096x¹²y²⁴ ⁶√4096x¹²y²⁴ = ⁶√(4x²y⁴)⁶ = 4x²y⁴ --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: x | f(x) Rows: Row 1: -1 | -2 Row 2: 0 | -1 Row 3: 1 | -0.59 Row 4: 2 | -0.27 Row 5: 3 | 0 Row 6: 4 | 0.24 Row 7: 5 | 0.45 Context: يوفر نقاط إحداثية لتمثيل دالة الجذر التربيعي بيانيًا. **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني لدالة الجذر التربيعي يوضح نقطة البداية والاتجاه العام للمنحنى. Context: يساعد في تحديد المجال والمدى بصريًا.