مثال 10 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 حل المعادلات والمتباينات الجذرية

المفاهيم الأساسية

المعادلة الجذرية: معادلة تحتوي على متغير تحت علامة الجذر.

المتباينة الجذرية: متباينة تحتوي على متغير تحت علامة الجذر.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 4: العلاقات والدوال الجذرية والعكسية

العمليات على الدوال

التركيب

#### (f ∘ g)(x) = f(g(x))

#### (g ∘ f)(x) = g(f(x))

العلاقات والدوال العكسية

إيجاد معكوس الدالة

#### 1. استبدل f(x) بـ y

#### 2. بدّل بين x و y

#### 3. حل المعادلة لإيجاد y

#### 4. استبدل y بـ f⁻¹(x)

التحقق من كون دالتين معكوستين

#### تحقق من: f(g(x)) = x و g(f(x)) = x

دوال ومتباينات الجذر التربيعي

دالة الجذر التربيعي

#### المجال: {x | x ≥ h}

#### المدى: {f(x) | f(x) ≥ k} إذا كان a > 0

#### التمثيل البياني: منحنى يبدأ من نقطة (h, k)

متباينة الجذر التربيعي

#### مثل: y \ge \sqrt{x+3}

#### التمثيل: منطقة فوق المنحنى

الجذور النونية

الجذر النوني

رمز الجذر

الدليل

ما تحت الجذر

الجذر الرئيس

#### تبسيط الجذور: \sqrt[n]{a^n} = |a| إذا كان n زوجياً

#### مثال: \sqrt{64x^6} = 8|x^3|

#### مثال: \sqrt[6]{4096x^{12}y^{24}} = 4x^2y^4

العمليات على العبارات الجذرية

تبسيط الجذور

#### تحليل ما تحت الجذر إلى عوامل

#### إخراج العوامل المربعة أو المكعبة

ضرب الجذور

#### خاصية ضرب الجذور: \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}

#### مثال: 2\sqrt[3]{18a^2b} \cdot 3\sqrt[3]{12ab^5} = 36ab^2

جمع وطرح الجذور

#### الجذور المتشابهة فقط

قسمة الجذور

#### خاصية قسمة الجذور: \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}

#### إنطاق المقام

##### ضرب البسط والمقام في مرافق المقام

##### مثال: \frac{3}{5+\sqrt{2}}

##### مثال: \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}

الأسس النسبية

الصيغة الأسية للجذر

#### a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m

العمليات على الأسس النسبية

#### ضرب القوى: a^{m/n} \cdot a^{p/q} = a^{(m/n)+(p/q)}

#### مثال: a^{2/3} \cdot a^{1/5} = a^{13/15}

#### قسمة القوى: \frac{a^{m/n}}{a^{p/q}} = a^{(m/n)-(p/q)}

#### القوة السالبة: a^{-m/n} = \frac{1}{a^{m/n}}

التحويل بين الصيغ الجذرية والأسية

#### مثال: \frac{2a}{\sqrt{b}} = \frac{2a}{b^{1/2}} = \frac{2a\sqrt{b}}{b}

حل المعادلات والمتباينات الجذرية

خطوات حل المعادلة الجذرية

#### 1. عزل الجذر

#### 2. تربيع الطرفين

#### 3. حل المعادلة الناتجة

#### 4. التحقق من الحلول (استبعاد الحلول الدخيلة)

خطوات حل المتباينة الجذرية

#### 1. إيجاد مجال المتباينة (ما تحت الجذر ≥ 0)

#### 2. عزل الجذر

#### 3. تربيع الطرفين (مع مراعاة إشارة المتباينة)

#### 4. حل المتباينة الناتجة

#### 5. إيجاد تقاطع الحل مع المجال

```

نقاط مهمة

• عند حل معادلة جذرية، يجب التحقق من الحل في المعادلة الأصلية لاستبعاد الحلول الدخيلة.
• عند حل متباينة جذرية، الخطوة الأولى هي إيجاد المجال (شرط أن يكون ما تحت الجذر غير سالب).
• الحل النهائي لأي متباينة جذرية هو تقاطع الحل الناتج من التربيع مع مجال المتباينة.
• يمكن تطبيق هذه الخطوات على الجذور النونية (مثل الجذر التكعيبي أو الجذر من الرتبة الرابعة).

4-7 حل المعادلات والمتباينات الجذرية ص 220-215

حل المعادلة الجذرية 5 = 2 - 9 + 2x√ المعادلة الأصلية √2x + 9 - 2 = 5 أضف 2 للطرفين √2x + 9 = 7 ربع الطرفين (√2x + 9)² = 7² أوجد مربع الطرفين 2x + 9 = 49 اطرح 9 من الطرفين 2x = 40 اقسم الطرفين على 2 x = 20 تحقق: √2x + 9 - 2 = 5 √2 × 20 + 9 - 2 = 5 ✓ 5 = 5

حل المتباينة 5 + 2 > 5 - 2x√ ما تحت الجذر ليس سالباً 2x - 5 ≥ 0 أضف 5 للطرفين 2x ≥ 5 اقسم الطرفين على 2 x ≥ 2.5 يجب أن يكون الحل أكبر من أو يساوي 2.5 لينتمي إلى المجال. المتباينة الأصلية √2x - 5 + 2 > 5 اطرح 2 من الطرفين √2x - 5 > 3 ربع الطرفين (√2x - 5)² > 3² أوجد مربع الطرفين 2x - 5 > 9 أضف 5 للطرفين 2x > 14 اقسم الطرفين على 2 x > 7 بما أن 2.5 ≥ x تحوي 7 < x، فإن حل المتباينة هو 7 < x. تحقق: x = 0, √2 × 0 - 5 + 2 ≥ 5 x √-5 + 2 > 5 وبما أن √-5 ليس عدداً حقيقياً، فإن المتباينة لا تتحقق. x = 8, √2 × 8 - 5 + 2 ≥ 5 ✓ √11 + 2 > 5 وبما أن 5.3 > 5، فإن المتباينة تتحقق.

حل كل معادلة مما يأتي:

√x - 3 + 5 = 15

-√x - 11 = 3 - √x

4 + √3x - 1 = 8

√m + 3 = √2m + 1

√2x + 3 = 3

(x + 1)^(1/4) = -3

a^(1/3) - 4 = 0

3(3x - 1)^(1/3) - 6 = 0

فيزياء: تُعطى المسافة الأفقية d بالكيلومترات التي يمكن أن يراها شخص بالعلاقة d = 3.57 √L ، حيث L تمثل ارتفاع النقطة التي ينظر منها الشخص عن الأرض ويقاس بالأمتار. فإذا كانت المسافة الأفقية التي يراها شخص هي 71.4 كيلومتراً، فكم متراً ترتفع النقطة التي ينظر منها الشخص عن الأرض؟

حل كل متباينة مما يأتي:

2 + √3x - 1 < 5

√3x + 13 - 5 ≥ 5

6 - √3x + 5 ≤ 3

√-3x + 4 - 5 ≥ 3

5 + √2y - 7 < 5

3 + √2x - 3 ≥ 3

√3x + 1 - √6 + x > 0

وزارة التعليم الفصل 4 دليل الدراسة والمراجعة 227

4-7 حل المعادلات والمتباينات الجذرية ص 220-215 --- SECTION: مثال 10 --- حل المعادلة الجذرية 5 = 2 - 9 + 2x√ المعادلة الأصلية √2x + 9 - 2 = 5 أضف 2 للطرفين √2x + 9 = 7 ربع الطرفين (√2x + 9)² = 7² أوجد مربع الطرفين 2x + 9 = 49 اطرح 9 من الطرفين 2x = 40 اقسم الطرفين على 2 x = 20 تحقق: √2x + 9 - 2 = 5 √2 × 20 + 9 - 2 = 5 ✓ 5 = 5 --- SECTION: مثال 11 --- حل المتباينة 5 + 2 > 5 - 2x√ ما تحت الجذر ليس سالباً 2x - 5 ≥ 0 أضف 5 للطرفين 2x ≥ 5 اقسم الطرفين على 2 x ≥ 2.5 يجب أن يكون الحل أكبر من أو يساوي 2.5 لينتمي إلى المجال. المتباينة الأصلية √2x - 5 + 2 > 5 اطرح 2 من الطرفين √2x - 5 > 3 ربع الطرفين (√2x - 5)² > 3² أوجد مربع الطرفين 2x - 5 > 9 أضف 5 للطرفين 2x > 14 اقسم الطرفين على 2 x > 7 بما أن 2.5 ≥ x تحوي 7 < x، فإن حل المتباينة هو 7 < x. تحقق: x = 0, √2 × 0 - 5 + 2 ≥ 5 x √-5 + 2 > 5 وبما أن √-5 ليس عدداً حقيقياً، فإن المتباينة لا تتحقق. x = 8, √2 × 8 - 5 + 2 ≥ 5 ✓ √11 + 2 > 5 وبما أن 5.3 > 5، فإن المتباينة تتحقق. حل كل معادلة مما يأتي: --- SECTION: 57 --- √x - 3 + 5 = 15 --- SECTION: 58 --- -√x - 11 = 3 - √x --- SECTION: 59 --- 4 + √3x - 1 = 8 --- SECTION: 60 --- √m + 3 = √2m + 1 --- SECTION: 61 --- √2x + 3 = 3 --- SECTION: 62 --- (x + 1)^(1/4) = -3 --- SECTION: 63 --- a^(1/3) - 4 = 0 --- SECTION: 64 --- 3(3x - 1)^(1/3) - 6 = 0 --- SECTION: 65 --- فيزياء: تُعطى المسافة الأفقية d بالكيلومترات التي يمكن أن يراها شخص بالعلاقة d = 3.57 √L ، حيث L تمثل ارتفاع النقطة التي ينظر منها الشخص عن الأرض ويقاس بالأمتار. فإذا كانت المسافة الأفقية التي يراها شخص هي 71.4 كيلومتراً، فكم متراً ترتفع النقطة التي ينظر منها الشخص عن الأرض؟ حل كل متباينة مما يأتي: --- SECTION: 66 --- 2 + √3x - 1 < 5 --- SECTION: 67 --- √3x + 13 - 5 ≥ 5 --- SECTION: 68 --- 6 - √3x + 5 ≤ 3 --- SECTION: 69 --- √-3x + 4 - 5 ≥ 3 --- SECTION: 70 --- 5 + √2y - 7 < 5 --- SECTION: 71 --- 3 + √2x - 3 ≥ 3 --- SECTION: 72 --- √3x + 1 - √6 + x > 0 وزارة التعليم الفصل 4 دليل الدراسة والمراجعة 227