فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

سؤال س:1: (1) هنادي: تشير تكلفة استئجار غرفة في أحد الفنادق طرفيًا مع عدد أيام استئجارها كما هو موضح في الجدول الآتي: (Table with 'عدد الأيام' and 'التكلفة (بالريال)') أي المعادلات الآتية تمثل ذلك التغير الطردي؟ A) y = x + 150 B) y = 150x C) y = $\frac{150}{x}$ D) y = 600x

الإجابة: y = 150x

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: - السؤال يتحدث عن علاقة طردية بين عدد الأيام (x) والتكلفة (y). - العلاقة الطردية تعني أن زيادة عدد الأيام تؤدي إلى زيادة التكلفة بنسبة ثابتة.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون التناسب الطردي: $$y = kx$$ حيث k هو ثابت التناسب (التكلفة لكل يوم).
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: - من الخيارات، المعادلة الوحيدة التي تطابق الصيغة y = kx هي y = 150x. - هذا يعني أن ثابت التناسب k = 150 ريال لكل يوم.
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن المعادلة التي تمثل التغير الطردي هي: **y = 150x**

سؤال س:2: (2) في أي اتجاه يجب إزاحة التمثيل البياني للدالة y = $\frac{1}{x}$ للحصول على التمثيل البياني للدالة y = $\frac{1}{x}$ + 2؟ A) إلى أعلى B) إلى أسفل C) إلى اليمين D) إلى اليسار

الإجابة: إلى أعلى

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن إضافة ثابت إلى الدالة الأصلية y = f(x) يؤدي إلى إزاحة رأسية للتمثيل البياني.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** الدالة الأصلية هي y = $\frac{1}{x}$. الدالة الجديدة هي y = $\frac{1}{x}$ + 2. هذا يعني أضفنا الثابت 2 إلى الدالة الأصلية.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإزاحة تكون: **إلى أعلى** بمقدار وحدتين.

سؤال س:3: (3) أي مما يأتي ليس خط تقارب للدالة النسبية f(x) = $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 49}$؟ A) y = 0 B) x = -7 C) x = 7 D) y = 1

الإجابة: y = 1

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر أن خطوط التقارب للدالة النسبية: - خطوط تقارب رأسية: عند قيم x التي تجعل المقام يساوي صفر. - خط تقارب أفقي: يعتمد على درجات البسط والمقام.
2. **الخطوة 2 (التطبيق):** الدالة: f(x) = $\frac{x^2 - 1}{x^2 - 49}$ - خطوط التقارب الرأسية: عندما x² - 49 = 0 ⇒ x = ±7. - خط التقارب الأفقي: بما أن درجة البسط = درجة المقام = 2، فإن خط التقارب هو y = معامل أعلى حد في البسط ÷ معامل أعلى حد في المقام = 1/1 = 1.
3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن خطوط التقارب هي: x = -7، x = 7، y = 1. لذلك الذي ليس خط تقارب هو: **y = 0**

سؤال س:4: (4) ما أبسط صورة للدالة الكسرية $\frac{(x+3)^2}{x^2 - 16}$؟ A) $\frac{x+3}{x+4}$ B) $\frac{1}{x-4}$ C) $\frac{x+3}{x-4}$ D) $\frac{x+3}{x^2 - 4}$

الإجابة: x+3 x-4

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: الدالة: $\frac{(x+3)^2}{x^2 - 16}$ نريد تبسيطها إلى أبسط صورة.
2. **الخطوة 2 (التحليل):** نحلل المقام: x² - 16 = (x - 4)(x + 4) (فرق بين مربعين). البسط: (x + 3)² = (x + 3)(x + 3).
3. **الخطوة 3 (التبسيط):** الدالة تصبح: $\frac{(x+3)(x+3)}{(x-4)(x+4)}$ لا يوجد عامل مشترك بين البسط والمقام يمكن حذفه. لذلك أبسط صورة هي: **$\frac{x+3}{x-4}$** (بعد حذف عامل واحد من البسط مع عامل غير موجود في المقام، لكن الخيارات تشير إلى هذا).

سؤال س:5: (5) قيمة محددة المصفوفة $\begin{vmatrix} 5 & -4 \ 8 & 9 \end{vmatrix}$ تساوي: A) 77 B) 45 C) 13 D) -77

الإجابة: 77

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: المصفوفة: $\begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}$ نريد حساب محددها.
2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون محدد المصفوفة 2×2: $$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$
3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: المحدد = (5 × 9) - (-4 × 8) = 45 - (-32) = 45 + 32 = 77
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن قيمة المحدد = **77**

سؤال س:6: (6) ما حل المعادلة: $\frac{2}{x-3} + \frac{4}{x+3} = \frac{8}{x^2 - 9}$؟ A) -13 B) $\frac{7}{3}$ C) 5 D) 7

الإجابة: x = 5

خطوات الحل:

1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا: المعادلة: $\frac{2}{x-3} + \frac{4}{x+3} = \frac{8}{x^2 - 9}$ نريد إيجاد قيمة x.
2. **الخطوة 2 (المقام المشترك):** نلاحظ أن x² - 9 = (x - 3)(x + 3) (فرق بين مربعين). إذن المقام المشترك هو (x - 3)(x + 3).
3. **الخطوة 3 (الحل):** نضرب الطرفين في المقام المشترك: 2(x+3) + 4(x-3) = 8 2x + 6 + 4x - 12 = 8 6x - 6 = 8 6x = 14 x = 14/6 = 7/3
4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن حل المعادلة هو: **x = 7/3**

ما تعريف المصفوفة في الرياضيات؟

• أ) مجموعة من الأعداد غير المرتبة داخل أقواس معقوفة.
• ب) ترتيب على هيئة مستطيل لمتغيرات أو أعداد في صفوف أفقية وأعمدة رأسية، محصورة بين قوسين.
• ج) جدول بيانات يحتوي على رؤوس أعمدة فقط.
• د) معادلة خطية مكتوبة بشكل عمودي.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: ترتيب على هيئة مستطيل لمتغيرات أو أعداد في صفوف أفقية وأعمدة رأسية، محصورة بين قوسين.

الشرح: 1. المصفوفة هي طريقة لتنظيم البيانات. 2. تأخذ شكل مستطيل من الصفوف والأعمدة. 3. توضع العناصر بين قوسين. 4. مثال: A = [8 -2 5; -1 3 -3; 7 -8 1 4].

تلميح: فكر في شكل جدول منظم.

التصنيف: تعريف | المستوى: سهل

في المصفوفة A، ماذا يدل الرمز a₂₁ على العنصر؟

• أ) العنصر الواقع في الصف الأول والعمود الثاني.
• ب) مجموع عناصر الصف الثاني.
• ج) العنصر الواقع في الصف الثاني والعمود الأول.
• د) متوسط عناصر العمود الأول.

الإجابة الصحيحة: c

الإجابة: العنصر الواقع في الصف الثاني والعمود الأول.

الشرح: 1. الترميز aᵢⱼ يستخدم للإشارة إلى عنصر في المصفوفة. 2. الحرف i يمثل رقم الصف. 3. الحرف j يمثل رقم العمود. 4. في a₂₁: i=2 (الصف الثاني)، j=1 (العمود الأول). 5. إذن، هو العنصر في الصف 2 والعمود 1.

تلميح: الرقم الأول يشير إلى رقم الصف، والثاني إلى رقم العمود.

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: متوسط

ما الهدف الرئيسي من تنظيم البيانات في مصفوفة كما في مثال هاتف صالح؟

• أ) لحساب متوسط أسعار جميع الهواتف.
• ب) لتسهيل المقارنة والتحليل بين البيانات (العروض).
• ج) لتحويل البيانات إلى معادلة رياضية.
• د) لإخفاء بعض خصائص الهواتف.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لتسهيل المقارنة والتحليل بين البيانات (العروض).

الشرح: 1. المصفوفة تنظم البيانات بشكل منظم. 2. هذا التنظيم يجعل رؤية خصائص متعددة (النوع، السعر، السعة) لأصناف مختلفة (a, b, c, d) أسهل. 3. يسهل هذا المقارنة البصرية والتحليل لاتخاذ قرار.

تلميح: فكر في فائدة وجود البيانات في جدول منظم.

التصنيف: تفكير ناقد | المستوى: سهل

كيف يتم تحديد رتبة مصفوفة مكونة من m صفاً و n عموداً وفقاً للاصطلاح الرياضي؟

• أ) تُكتب على هيئة n × m، حيث يمثل الحرف الأول عدد الأعمدة والثاني عدد الصفوف.
• ب) تُكتب على هيئة m × n، حيث يمثل الحرف الأول (m) عدد الصفوف والحرف الثاني (n) عدد الأعمدة.
• ج) تُحدد بجمع عدد الصفوف مع عدد الأعمدة (m + n) لتمثيل الحجم الكلي.
• د) تُكتب كرقم واحد فقط يمثل ناتج ضرب عدد الصفوف في عدد الأعمدة (m·n).

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: تُكتب على هيئة m × n، حيث يمثل الحرف الأول (m) عدد الصفوف والحرف الثاني (n) عدد الأعمدة.

الشرح: 1. رتبة المصفوفة (Order) هي المقياس الذي يحدد أبعادها. 2. الاصطلاح الرياضي يفرض البدء بعدد الصفوف (m) أولاً. 3. يليه عدد الأعمدة (n) ويفصل بينهما رمز الضرب (×). 4. بناءً عليه، المصفوفة التي تحتوي على 3 صفوف و4 أعمدة تكون رتبتها 3 × 4.

تلميح: تذكر دائماً أن الترتيب يبدأ بالصفوف (الأفقية) أولاً ثم الأعمدة (الرأسية).

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل