صفحة 66 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 الفصل 2: المصفوفات (ص 66)

المفاهيم الأساسية

المصفوفة: ترتيب مستطيل لمتغيرات أو أعداد في صفوف وأعمدة (استكمال للتعريف السابق).

الرتبة: نوع المصفوفة (عدد الصفوف × عدد الأعمدة).

العنصر: قيمة في المصفوفة يُرمز لها بـ a_{ij} (الصف i، العمود j).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

فيما سبق

حل المسائل باستعمال تنظيم البيانات في جداول

والآن (أهداف الدرس)

أنظم بيانات في مصفوفة

أستعمل العمليات على عناصر صفوف أو أعمدة مصفوفة لتحليل البيانات

تنظيم البيانات

المصفوفة

#### تعريف: ترتيب مستطيل لمتغيرات أو أعداد في صفوف وأعمدة

#### الرمز: حرف كبير تحته خط كبير مثل A

#### العنصر: كل قيمة في المصفوفة

##### الترميز: aij (العنصر في الصف i والعمود j)

الرتبة

#### النوع: m × n (m صفًا، n عمودًا)

#### مثال: المصفوفة A من النوع 3 × 4

مثال 1

استعمال المصفوفة A

#### A = [-18 6 38; 9 -9 22]

##### رتبتها: 2 × 3

##### العنصر a21 = 9

تحقق من فهمك

المصفوفة B = [10 -8; -2 19; 6 -1]

#### رتبة B: 3 × 2

#### قيمة b32: -1

المفردات

المصفوفة (Matrix)

العنصر (element)

الرتبة (order)

مصفوفة الصف (row matrix)

مصفوفة العمود (column matrix)

المصفوفة المربعة (square matrix)

المصفوفة الصفرية (zero matrix)

المصفوفات المتساوية (equal matrices)

مثال 2 (من واقع الحياة)

كرة قدم: تنظيم إحصائيات اللاعبين في مصفوفة

#### معاذ: 12 مباراة، 24 تسديدة، 113 تمريرة، 15 قطع تمريرات، 4 أهداف

#### ماجد: 18 مباراة، 43 تسديدة، 170 تمريرة، 40 قطع تمريرات، 11 هدفاً

#### ياسر: 20 مباراة، 31 تسديدة، 20 تمريرة، 30 قطع تمريرات، 4 أهداف

أسئلة المثال

#### (a) نظم البيانات في مصفوفة A

#### (b) حدد رتبة المصفوفة. وما قيمة العنصر a23؟

تحقق من فهمك (بيتزا)

تنظيم أسعار البيتزا في مصفوفة

#### (A) نظم البيانات في مصفوفة A، على أن تكون الأسعار مرتبة تصاعديًا

#### (B) حدد رتبة المصفوفة

#### (C) ما قيمة العنصر a21؟

تحليل البيانات

إرشادات للدراسة

#### يمكن تبديل عناصر الصفوف والأعمدة في مصفوفات تمثل معلومات من واقع الحياة

تحليل البيانات

#### تعطي مجاميع عناصر الصفوف أو الأعمدة أحيانًا معلومات ذات معنى

#### وأحيانًا أخرى لا تعطي أي معلومات ذات معنى

مثال 3: كرة قدم

#### تحليل إحصائيات اللاعبين من مثال (2)

##### جمع عناصر العمود 2 (التسديدات): 98 (إجمالي التسديدات)

##### جمع عناصر العمود 3 (التمريرات): 303 (إجمالي التمريرات)

##### حساب معدل التسديد: قسمة مجموع العمود 2 على مجموع العمود 1 (المباريات)

##### جمع عناصر الصفوف لا يعطي بيانات ذات معنى لأنها أنواع مختلفة من البيانات

تمرين 3: محافظات

#### بيانات عدد المحافظات من فئتي (أ، ب) في 4 مناطق

##### الرياض: 12 (أ)، 8 (ب)

##### مكة المكرمة: 9 (أ)، 7 (ب)

##### المدينة المنورة: 4 (أ)، 4 (ب)

##### القصيم: 5 (أ)، 7 (ب)

#### الأسئلة

##### (A) نظم البيانات في مصفوفة

##### (B) اجمع عناصر كل عمود، وفسر النتائج

##### (C) اجمع عناصر كل صف، وفسر النتائج

##### (D) هل إيجاد معدل عناصر كل صف يعطي بيانات ذات معنى؟

تدرب وحل المسائل (ص 65)

تحديد رتبة مصفوفة

#### مثال: [-9 \ 6] رتبتها 1 × 2

#### مثال: [15 \ y; \ 8 \ -9] رتبتها 2 × 2

#### مثال: [6 \ 11 \ -4 \ -2; \ -8 \ 5 \ -1 \ 0] رتبتها 2 × 4

إيجاد قيمة عنصر محدد

#### باستخدام الترميز a_{ij}

#### مثال: إذا كانت A = [1 \ -6 \ x \ -4; \ -2 \ 3 \ -1 \ 9; \ 5 \ -8 \ 2 \ 12]

##### a_{32} = -8

##### a_{11} = 1

##### a_{33} = 2

##### a_{24} = 9

تطبيقات واقعية (تنظيم بيانات في مصفوفة)

#### زراعة: جدول إنتاج الخضراوات في مزرعتين

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة، تحديد النوع الأقل إنتاجًا، جمع عناصر الصفوف والأعمدة وتفسير النتائج.

#### مسابقة علمية: جدول نقاط ثلاثة طلاب في 3 جولات

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة.

#### تخزين التمور: بيانات كميات التمور في ثلاثة مخازن

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة (المخازن أعمدة)، جمع عناصر كل عمود وصف وتفسير ما يمثله المجموع.

تدرب وحل المسائل (ص 66)

تمارين على إيجاد عناصر مصفوفة

#### إذا كانت A = [23 \ 11 \ 7; \ x \ -5 \ 9 \ -3; \ -12 \ 15 \ 4x \ 18] و B = [-6]

##### (21) a_{32}

##### (22) b_{21}

##### (23) b_{12}

##### (24) A_{21}

تطبيقات واقعية

#### (25) حديد التسليح

##### البيانات: أسعار حديد التسليح (بالريال) في الرياض وجدة

###### 8mm: الرياض 2410، جدة 2455

###### 14mm: الرياض 2210، جدة 2255

###### 16mm: الرياض 2200، جدة 2245

##### الأسئلة:

###### (a) اكتب مصفوفة تمثل البيانات.

###### (b) ما رتبة المصفوفة الناتجة؟

#### (26-29) إيجاد عناصر مصفوفات بمتغيرات

##### إذا كانت A = [x²+4 \ y+6; \ x-y \ 2-y] و B = [0 \ x \ -2y; \ 5x \ 3y \ 0; \ -4x \ -y \ 0 \ 0]

###### (26) A_{11}

###### (27) A_{22}

###### (28) b_{31}

###### (29) b_{23}

#### (30) فلك

##### البيانات: بعد بعض الكواكب عن الشمس والأرض (مليون ميل)

###### عطارد: الشمس 36.00، الأرض 57

###### الزهرة: الشمس 67.24، الأرض 26

###### المريخ: الشمس 141.71، الأرض 35

###### المشتري: الشمس 483.88، الأرض 370

###### زحل: الشمس 887.14، الأرض 744

###### أورانس: الشمس 1783.98، الأرض 1607

###### نبتون: الشمس 2796.46، الأرض 2680

##### الأسئلة:

###### (a) نظم المسافات في مصفوفة A.

###### (b) ما رتبة المصفوفة الناتجة؟

###### (c) ما قيمة العنصر a_{42}؟

#### (31) تمثيلات متعددة (كرة يد)

##### البيانات: عدد التمريرات الحاسمة والأهداف لأربعة لاعبين

###### محمود: 8 تمريرات، 3 أهداف

###### معاذ: 6 تمريرات، 5 أهداف

###### صالح: 1 تمريرة، 8 أهداف

###### عبدالله: 4 تمريرات، 2 أهداف

##### الأسئلة:

###### (a) نظم البيانات في مصفوفة (الأهداف والتمريرات عمودان).

###### (b) أوجد مجاميع عناصر كل عمود.

###### (c) بدل البيانات بحيث تصبح عناصر الأعمدة هي عناصر الصفوف.

###### (d) أوجد مجاميع عناصر كل صف.

###### (e) هل هناك أي تأثير في البيانات عند تبديل عناصر الصفوف والأعمدة؟

مسائل مهارات التفكير العليا

#### (32) تبرير

##### الجملة: "المصفوفة C مربعة ولها أربعة أعمدة، وتحوي العنصر C53."

##### حدد إذا كانت الجملة صحيحة أم خاطئة، وفسر إجابتك.

```

نقاط مهمة

• الصفحة تحتوي على تمارين تطبيقية لإيجاد عناصر محددة في مصفوفات باستخدام الترميز a_{ij}.
• ثلاثة تطبيقات واقعية (حديد التسليح، الكواكب، كرة اليد) تهدف إلى تدريب الطالب على:

1. تنظيم البيانات من جدول في مصفوفة.

2. تحديد رتبة المصفوفة.

3. إيجاد عناصر محددة.

4. تحليل تأثير تبديل الصفوف والأعمدة على البيانات ومجاميعها.

• مسألة التفكير العليا (32) تختبر فهم خصائص المصفوفة المربعة وترميز العناصر.

إذا كانت A = 23 11 7 x -5 9 -3 -12 15 4x 18 B = -6 فحدد كل عنصر مما يأتي:

a32

b21

b12

A21

حديد التسليح : يبين الجدول المجاور أسعار حديد التسليح حسب تقرير وزارة التجارة والاستثمار في مدينتي الرياض وجدة لأحد الأيام.

a) اكتب مصفوفة تمثل البيانات المعطاة.

b) ما رتبة المصفوفة الناتجة في الفرع a؟

إذا كانت A = x²+4 y+6 x-y 2-y B = 0 x -2y 5x 3y 0 -4x -y 0 0 فحدد كل عنصر مما يأتي:

A11

A22

b31

b23

فلك : استعمل الجدول المجاور الذي يبين بعد بعض الكواكب عن الأرض والشمس.

a) نظم المسافات في مصفوفة A .

b) ما رتبة المصفوفة الناتجة ؟

c) ما قيمة العنصر a42؟

تمثيلات متعددة : ستكتشف في هذا السؤال تأثير قلب الصفوف والأعمدة في المصفوفة. يبين الجدول المجاور عدد كل من التمريرات الحاسمة وعدد الأهداف لأربعة لاعبين في مباراة لكرة اليد.

a) جدوليا : نظم البيانات في مصفوفة على أن يمثل عدد الأهداف وعدد التمريرات عموداها.

b) جبريًا أوجد مجاميع عناصر كل عمود.

c) جدوليا : بدل البيانات في المصفوفة على أن تصبح عناصر الأعمدة هي عناصر الصفوف.

d) جبريًا أوجد مجاميع عناصر كل صف.

e) تحليليا : هل هناك أي تأثير في البيانات عند تبديل عناصر الصفوف والأعمدة؟

مسائل مهارات التفكير العليا تبرير: حدد إذا كانت الجملة الآتية صحيحة أم خاطئة. وفسر إجابتك: (32) المصفوفة C مربعة ولها أربعة أعمدة، وتحوي العنصر C53.

إذا كانت A = 23 11 7 x -5 9 -3 -12 15 4x 18 B = -6 فحدد كل عنصر مما يأتي: --- SECTION: 21 --- a32 --- SECTION: 22 --- b21 --- SECTION: 23 --- b12 --- SECTION: 24 --- A21 --- SECTION: 25 --- حديد التسليح : يبين الجدول المجاور أسعار حديد التسليح حسب تقرير وزارة التجارة والاستثمار في مدينتي الرياض وجدة لأحد الأيام. a) اكتب مصفوفة تمثل البيانات المعطاة. b) ما رتبة المصفوفة الناتجة في الفرع a؟ إذا كانت A = x²+4 y+6 x-y 2-y B = 0 x -2y 5x 3y 0 -4x -y 0 0 فحدد كل عنصر مما يأتي: --- SECTION: 26 --- A11 --- SECTION: 27 --- A22 --- SECTION: 28 --- b31 --- SECTION: 29 --- b23 --- SECTION: 30 --- فلك : استعمل الجدول المجاور الذي يبين بعد بعض الكواكب عن الأرض والشمس. a) نظم المسافات في مصفوفة A . b) ما رتبة المصفوفة الناتجة ؟ c) ما قيمة العنصر a42؟ --- SECTION: 31 --- تمثيلات متعددة : ستكتشف في هذا السؤال تأثير قلب الصفوف والأعمدة في المصفوفة. يبين الجدول المجاور عدد كل من التمريرات الحاسمة وعدد الأهداف لأربعة لاعبين في مباراة لكرة اليد. a) جدوليا : نظم البيانات في مصفوفة على أن يمثل عدد الأهداف وعدد التمريرات عموداها. b) جبريًا أوجد مجاميع عناصر كل عمود. c) جدوليا : بدل البيانات في المصفوفة على أن تصبح عناصر الأعمدة هي عناصر الصفوف. d) جبريًا أوجد مجاميع عناصر كل صف. e) تحليليا : هل هناك أي تأثير في البيانات عند تبديل عناصر الصفوف والأعمدة؟ --- SECTION: 32 --- مسائل مهارات التفكير العليا تبرير: حدد إذا كانت الجملة الآتية صحيحة أم خاطئة. وفسر إجابتك: (32) المصفوفة C مربعة ولها أربعة أعمدة، وتحوي العنصر C53. --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: أسعار حديد التسليح (بالريال) Description: Table showing prices of rebar in Riyadh and Jeddah Table Structure: Headers: المقاس | الرياض | جدة Rows: Row 1: 8mm | 2410 | 2455 Row 2: 14mm | 2210 | 2255 Row 3: 16mm | 2200 | 2245 Context: Relates to question 25 about representing data in a matrix **TABLE**: Untitled Description: Table showing distances of planets from Earth and Sun Table Structure: Headers: الكوكب | البعد عن الشمس (مليون ميل) | البعد عن الأرض (مليون ميل) Rows: Row 1: عطارد | 36.00 | 57 Row 2: الزهرة | 67.24 | 26 Row 3: المريخ | 141.71 | 35 Row 4: المشتري | 483.88 | 370 Row 5: زحل | 887.14 | 744 Row 6: أورانس | 1783.98 | 1607 Row 7: نبتون | 2796.46 | 2680 Context: Relates to question 30 about representing planetary distances in a matrix **TABLE**: Untitled Description: Table showing number of assists and goals for four players Table Structure: Headers: الاسم | عدد التمريرات الحاسمة | عدد الأهداف Rows: Row 1: محمود | 8 | 3 Row 2: معاذ | 6 | 5 Row 3: صالح | 1 | 8 Row 4: عبدالله | 4 | 2 Context: Relates to question 31 about representing player statistics in a matrix