ياسمين - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تمارين وتدريبات على المصفوفات (ص 67)

المفاهيم الأساسية

* تحليل البيانات باستخدام المصفوفات: جمع عناصر الصفوف أو الأعمدة قد يعطي معلومات ذات معنى أو لا يعطي، حسب سياق البيانات.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

فيما سبق

حل المسائل باستعمال تنظيم البيانات في جداول

والآن (أهداف الدرس)

أنظم بيانات في مصفوفة

أستعمل العمليات على عناصر صفوف أو أعمدة مصفوفة لتحليل البيانات

تنظيم البيانات

المصفوفة

#### تعريف: ترتيب مستطيل لمتغيرات أو أعداد في صفوف وأعمدة

#### الرمز: حرف كبير تحته خط كبير مثل A

#### العنصر: كل قيمة في المصفوفة

##### الترميز: aij (العنصر في الصف i والعمود j)

الرتبة

#### النوع: m × n (m صفًا، n عمودًا)

#### مثال: المصفوفة A من النوع 3 × 4

مثال 1

استعمال المصفوفة A

#### A = [-18 6 38; 9 -9 22]

##### رتبتها: 2 × 3

##### العنصر a21 = 9

تحقق من فهمك

المصفوفة B = [10 -8; -2 19; 6 -1]

#### رتبة B: 3 × 2

#### قيمة b32: -1

المفردات

المصفوفة (Matrix)

العنصر (element)

الرتبة (order)

مصفوفة الصف (row matrix)

مصفوفة العمود (column matrix)

المصفوفة المربعة (square matrix)

المصفوفة الصفرية (zero matrix)

المصفوفات المتساوية (equal matrices)

مثال 2 (من واقع الحياة)

كرة قدم: تنظيم إحصائيات اللاعبين في مصفوفة

#### معاذ: 12 مباراة، 24 تسديدة، 113 تمريرة، 15 قطع تمريرات، 4 أهداف

#### ماجد: 18 مباراة، 43 تسديدة، 170 تمريرة، 40 قطع تمريرات، 11 هدفاً

#### ياسر: 20 مباراة، 31 تسديدة، 20 تمريرة، 30 قطع تمريرات، 4 أهداف

أسئلة المثال

#### (a) نظم البيانات في مصفوفة A

#### (b) حدد رتبة المصفوفة. وما قيمة العنصر a23؟

تحقق من فهمك (بيتزا)

تنظيم أسعار البيتزا في مصفوفة

#### (A) نظم البيانات في مصفوفة A، على أن تكون الأسعار مرتبة تصاعديًا

#### (B) حدد رتبة المصفوفة

#### (C) ما قيمة العنصر a21؟

تحليل البيانات

إرشادات للدراسة

#### يمكن تبديل عناصر الصفوف والأعمدة في مصفوفات تمثل معلومات من واقع الحياة

تحليل البيانات

#### تعطي مجاميع عناصر الصفوف أو الأعمدة أحيانًا معلومات ذات معنى

#### وأحيانًا أخرى لا تعطي أي معلومات ذات معنى

مثال 3: كرة قدم

#### تحليل إحصائيات اللاعبين من مثال (2)

##### جمع عناصر العمود 2 (التسديدات): 98 (إجمالي التسديدات)

##### جمع عناصر العمود 3 (التمريرات): 303 (إجمالي التمريرات)

##### حساب معدل التسديد: قسمة مجموع العمود 2 على مجموع العمود 1 (المباريات)

##### جمع عناصر الصفوف لا يعطي بيانات ذات معنى لأنها أنواع مختلفة من البيانات

تمرين 3: محافظات

#### بيانات عدد المحافظات من فئتي (أ، ب) في 4 مناطق

##### الرياض: 12 (أ)، 8 (ب)

##### مكة المكرمة: 9 (أ)، 7 (ب)

##### المدينة المنورة: 4 (أ)، 4 (ب)

##### القصيم: 5 (أ)، 7 (ب)

#### الأسئلة

##### (A) نظم البيانات في مصفوفة

##### (B) اجمع عناصر كل عمود، وفسر النتائج

##### (C) اجمع عناصر كل صف، وفسر النتائج

##### (D) هل إيجاد معدل عناصر كل صف يعطي بيانات ذات معنى؟

تدرب وحل المسائل (ص 65)

تحديد رتبة مصفوفة

#### مثال: [-9 \ 6] رتبتها 1 × 2

#### مثال: [15 \ y; \ 8 \ -9] رتبتها 2 × 2

#### مثال: [6 \ 11 \ -4 \ -2; \ -8 \ 5 \ -1 \ 0] رتبتها 2 × 4

إيجاد قيمة عنصر محدد

#### باستخدام الترميز a_{ij}

#### مثال: إذا كانت A = [1 \ -6 \ x \ -4; \ -2 \ 3 \ -1 \ 9; \ 5 \ -8 \ 2 \ 12]

##### a_{32} = -8

##### a_{11} = 1

##### a_{33} = 2

##### a_{24} = 9

تطبيقات واقعية (تنظيم بيانات في مصفوفة)

#### زراعة: جدول إنتاج الخضراوات في مزرعتين

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة، تحديد النوع الأقل إنتاجًا، جمع عناصر الصفوف والأعمدة وتفسير النتائج.

#### مسابقة علمية: جدول نقاط ثلاثة طلاب في 3 جولات

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة.

#### تخزين التمور: بيانات كميات التمور في ثلاثة مخازن

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة (المخازن أعمدة)، جمع عناصر كل عمود وصف وتفسير ما يمثله المجموع.

تدرب وحل المسائل (ص 66)

تمارين على إيجاد عناصر مصفوفة

#### إذا كانت A = [23 \ 11 \ 7; \ x \ -5 \ 9 \ -3; \ -12 \ 15 \ 4x \ 18] و B = [-6]

##### (21) a_{32}

##### (22) b_{21}

##### (23) b_{12}

##### (24) A_{21}

تطبيقات واقعية

#### (25) حديد التسليح

##### البيانات: أسعار حديد التسليح (بالريال) في الرياض وجدة

###### 8mm: الرياض 2410، جدة 2455

###### 14mm: الرياض 2210، جدة 2255

###### 16mm: الرياض 2200، جدة 2245

##### الأسئلة:

###### (a) اكتب مصفوفة تمثل البيانات.

###### (b) ما رتبة المصفوفة الناتجة؟

#### (26-29) إيجاد عناصر مصفوفات بمتغيرات

##### إذا كانت A = [x²+4 \ y+6; \ x-y \ 2-y] و B = [0 \ x \ -2y; \ 5x \ 3y \ 0; \ -4x \ -y \ 0 \ 0]

###### (26) A_{11}

###### (27) A_{22}

###### (28) b_{31}

###### (29) b_{23}

#### (30) فلك

##### البيانات: بعد بعض الكواكب عن الشمس والأرض (مليون ميل)

###### عطارد: الشمس 36.00، الأرض 57

###### الزهرة: الشمس 67.24، الأرض 26

###### المريخ: الشمس 141.71، الأرض 35

###### المشتري: الشمس 483.88، الأرض 370

###### زحل: الشمس 887.14، الأرض 744

###### أورانس: الشمس 1783.98، الأرض 1607

###### نبتون: الشمس 2796.46، الأرض 2680

##### الأسئلة:

###### (a) نظم المسافات في مصفوفة A.

###### (b) ما رتبة المصفوفة الناتجة؟

###### (c) ما قيمة العنصر a_{42}؟

#### (31) تمثيلات متعددة (كرة يد)

##### البيانات: عدد التمريرات الحاسمة والأهداف لأربعة لاعبين

###### محمود: 8 تمريرات، 3 أهداف

###### معاذ: 6 تمريرات، 5 أهداف

###### صالح: 1 تمريرة، 8 أهداف

###### عبدالله: 4 تمريرات، 2 أهداف

##### الأسئلة:

###### (a) نظم البيانات في مصفوفة (الأهداف والتمريرات عمودان).

###### (b) أوجد مجاميع عناصر كل عمود.

###### (c) بدل البيانات بحيث تصبح عناصر الأعمدة هي عناصر الصفوف.

###### (d) أوجد مجاميع عناصر كل صف.

###### (e) هل هناك أي تأثير في البيانات عند تبديل عناصر الصفوف والأعمدة؟

مسائل مهارات التفكير العليا

#### (32) تبرير

##### الجملة: "المصفوفة C مربعة ولها أربعة أعمدة، وتحوي العنصر C53."

##### حدد إذا كانت الجملة صحيحة أم خاطئة، وفسر إجابتك.

تدرب وحل المسائل (ص 67)

اكتشف الخطأ (33)

#### ياسمين: قيمة العنصر b32 هي 5.

#### سارة: العنصر b32 غير موجود لأن المصفوفة B من النوع 3 × 2.

تحدٍ (34)

#### إيجاد قيم المتغيرات x, y, z التي تحقق معادلة المصفوفات:

##### [\begin{matrix} 2x-y & 3x+4z \\ 7x8z & 5y+12z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9z & 5x+1 & 5y-2x \\ 3y- & -4z & 12x+2y \end{matrix}]

مسألة مفتوحة (35)

#### إنشاء مصفوفة من واقع الحياة بحيث:

##### - مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى.

##### - مجاميع عناصر صفوفها ليست ذات معنى.

اكتب (36)

#### شرح كيف يمكن أن تساعد المصفوفات في اختيار الجامعة.

تدريب على اختبار (37)

#### تحليل مصفوفة نتائج استطلاع رأي:

##### ضد: [771, 1633, 229]

##### مؤيد: [1553, 689, 2088]

##### المرشح: [الأول, الثاني, الثالث]

#### تحديد الاستنتاج غير الصحيح من الخيارات المعطاة.

مراجعة تراكمية

#### (38) مجلس الإدارة: حل مسألة باستخدام نظام معادلات (مهارة سابقة).

#### (39) ثقافة مالية: حساب عدد الكعكات من كل نوع لتعظيم الربح.

##### جدول التكلفة وسعر البيع:

###### | النوع | كعكة الشوكولاتة | كعكة الفواكه |

###### |-------|------------------|--------------|

###### | التكلفة | 19 | 13 |

###### | سعر البيع | 44 | 39 |

#### (40-42) حساب قيم عبارات جبرية (مهارة سابقة).

##### (40) 4x6y+2z

##### (41) 5w + 2(x - 2) + 2y

##### (42) 4[3(2z + y) – 2(w + x)]

```

نقاط مهمة

* عند تحديد عنصر في مصفوفة (مثل b32)، يجب أولاً التحقق من رتبة المصفوفة (عدد الصفوف والأعمدة) لمعرفة إذا كان هذا العنصر موجودًا.

* يمكن استخدام المصفوفات لتنظيم البيانات في مواقف الحياة الواقعية، مثل نتائج الاستطلاعات أو حسابات الربح والخسارة.

* عند تحليل مصفوفة، يجب التفكير فيما إذا كان جمع عناصر صف أو عمود معين يعطي معلومة مفيدة (ذات معنى) أم لا.

اكتشف الخطأ : حددت كل من ياسمين وسارة العنصر b32 في المصفوفة فهل توصلت إحداهما للحل الصحيح ؟ فسر إجابتك.

قيمة العنصر b32 هي 5.

العنصر b32 غير موجود في المصفوفة B ، لأن B مصفوفة من النوع 3 × 2.

تحد : جد قيمة كل من المتغيرات x,y,z التي تحقق المعادلة:

[ 2x - y 3x + 4z 7x8z 5y + 12z ]=[ 9z5x + 1 5y - 2x 3y- - 4z 12x + 2y ]

مسألة مفتوحة : أنشئ مصفوفة باستعمال بيانات من واقع الحياة تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى، ومجاميع عناصر صفوفها ليست ذات معنى.

اكتب: اشرح كيف يمكن أن تساعدك المصفوفات عندما تقرر اختيار الجامعة التي ترغب في الالتحاق بها.

تدريب على اختبار

مسح: نُظمت نتائج استطلاع للرأي في المصفوفة المجاورة: بالاعتماد على هذه النتائج، أي استنتاج مما يأتي ليس صحيحًا؟

ضد 771 1633 229

مؤيد 1553 689 2088

المرشح الأول المرشح الثاني المرشح الثالث

مراجعة تراكمية

مجلس الإدارة: ترشح مسفر لمنصب رئيس مجلس الإدارة في إحدى الشركات الكبرى، وكان المقترع يكتب ثلاثة أسماء بالترتيب على ورقة الاقتراع ، فيحصل المتنافس على 3 نقاط لكل مركز أول، ونقطتين لكل مركز ثان، ونقطة واحدة لكل مركز ثالث. وقد ورد اسم مسفر في 490 ورقة اقتراع للمراكز الثلاثة، وكان مجموع نقاطه 878 نقطة. فإذا علمت أن عدد الأصوات التي حصل عليها من المركز الثاني أكثر بأربع أصوات من ضعف عدد الأصوات التي حصل عليها من المركز الثالث، فكم عدد الأصوات التي حصل عليها من كل مركز ؟ (مهارة سابقة)

ثقافة مالية : يبين الجدول المجاور تكلفة إنتاج كل من الشوكولاتة وكعكة الفواكه وسعر بيعها لدى مخبز. إذا علمت أن المخبز يبيع . كعكة الشوكولاتة وكعكة الفواكه معا في صناديق تحوي من 6 إلى 12 كعكة من كلا النوعين، بحيث يحوي كل صندوق ثلاث كعكات على الأقل من كل نوع . فما عدد كعكات كل صندوق من كلا النوعين ليكون الربح أكبر ما يمكن؟ الدرس (15)

احسب قيمة كل عبارة مما يأتي إذا كان 0.5 = 2, 14 = 2 = x 3 = 0 : (مهارة سابقة)

4x6y+2z

احسب قيمة كل عبارة مما يأتي إذا كان 0.5 = 2, 14 = 2 = x 3 = 0 : (مهارة سابقة)

5w + 2(x - 2) + 2y

احسب قيمة كل عبارة مما يأتي إذا كان 0.5 = 2, 14 = 2 = x 3 = 0 : (مهارة سابقة)

4[3(2z + y) – 2(w + x)]

--- SECTION: 33 --- اكتشف الخطأ : حددت كل من ياسمين وسارة العنصر b32 في المصفوفة فهل توصلت إحداهما للحل الصحيح ؟ فسر إجابتك. --- SECTION: ياسمين --- قيمة العنصر b32 هي 5. --- SECTION: سارة --- العنصر b32 غير موجود في المصفوفة B ، لأن B مصفوفة من النوع 3 × 2. --- SECTION: 34 --- تحد : جد قيمة كل من المتغيرات x,y,z التي تحقق المعادلة: [ 2x - y 3x + 4z 7x8z 5y + 12z ]=[ 9z5x + 1 5y - 2x 3y- - 4z 12x + 2y ] --- SECTION: 35 --- مسألة مفتوحة : أنشئ مصفوفة باستعمال بيانات من واقع الحياة تكون مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى، ومجاميع عناصر صفوفها ليست ذات معنى. --- SECTION: 36 --- اكتب: اشرح كيف يمكن أن تساعدك المصفوفات عندما تقرر اختيار الجامعة التي ترغب في الالتحاق بها. --- SECTION: تدريب على اختبار --- تدريب على اختبار --- SECTION: 37 --- مسح: نُظمت نتائج استطلاع للرأي في المصفوفة المجاورة: بالاعتماد على هذه النتائج، أي استنتاج مما يأتي ليس صحيحًا؟ هناك 771 صوتًا ضد المرشح الأول. عدد الأصوات المعارضة للمرشح الأول أكبر من تلك المؤيدة للمرشح الثاني. فرصة المرشح الثاني للفوز ضئيلة. عدد الأصوات المؤيدة للمرشح الأول أكبر من عدد الأصوات المؤيدة للمرشح الثالث. ضد 771 1633 229 مؤيد 1553 689 2088 المرشح الأول المرشح الثاني المرشح الثالث --- SECTION: مراجعة تراكمية --- مراجعة تراكمية --- SECTION: 38 --- مجلس الإدارة: ترشح مسفر لمنصب رئيس مجلس الإدارة في إحدى الشركات الكبرى، وكان المقترع يكتب ثلاثة أسماء بالترتيب على ورقة الاقتراع ، فيحصل المتنافس على 3 نقاط لكل مركز أول، ونقطتين لكل مركز ثان، ونقطة واحدة لكل مركز ثالث. وقد ورد اسم مسفر في 490 ورقة اقتراع للمراكز الثلاثة، وكان مجموع نقاطه 878 نقطة. فإذا علمت أن عدد الأصوات التي حصل عليها من المركز الثاني أكثر بأربع أصوات من ضعف عدد الأصوات التي حصل عليها من المركز الثالث، فكم عدد الأصوات التي حصل عليها من كل مركز ؟ (مهارة سابقة) --- SECTION: 39 --- ثقافة مالية : يبين الجدول المجاور تكلفة إنتاج كل من الشوكولاتة وكعكة الفواكه وسعر بيعها لدى مخبز. إذا علمت أن المخبز يبيع . كعكة الشوكولاتة وكعكة الفواكه معا في صناديق تحوي من 6 إلى 12 كعكة من كلا النوعين، بحيث يحوي كل صندوق ثلاث كعكات على الأقل من كل نوع . فما عدد كعكات كل صندوق من كلا النوعين ليكون الربح أكبر ما يمكن؟ الدرس (15) --- SECTION: 40 --- احسب قيمة كل عبارة مما يأتي إذا كان 0.5 = 2, 14 = 2 = x 3 = 0 : (مهارة سابقة) 4x6y+2z --- SECTION: 41 --- احسب قيمة كل عبارة مما يأتي إذا كان 0.5 = 2, 14 = 2 = x 3 = 0 : (مهارة سابقة) 5w + 2(x - 2) + 2y --- SECTION: 42 --- احسب قيمة كل عبارة مما يأتي إذا كان 0.5 = 2, 14 = 2 = x 3 = 0 : (مهارة سابقة) 4[3(2z + y) – 2(w + x)] --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: Untitled Description: Table showing the cost and selling price of chocolate cake and fruit cake. Table Structure: Headers: النوع | كعكة الشوكولاتة | كعكة الفواكه Rows: Row 1: التكلفة | 19 | 13 Row 2: سعر البيع | 44 | 39 Calculation needed: Calculate the number of cakes of each type to maximize profit. Context: Relates to financial literacy and calculating profit.