مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 العمليات على المصفوفات (2-2)

المفاهيم الأساسية

جمع مصفوفتين: يمكن جمع مصفوفتين فقط إذا كانت لهما الرتبة نفسها، حيث يتم جمع العناصر المتناظرة.

طرح مصفوفتين: يمكن طرح مصفوفتين فقط إذا كانت لهما الرتبة نفسها، حيث يتم طرح العناصر المتناظرة.

ضرب المصفوفة في عدد ثابت: ضرب كل عنصر في المصفوفة في ذلك العدد الثابت.

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

فيما سبق

حل المسائل باستعمال تنظيم البيانات في جداول

والآن (أهداف الدرس)

أنظم بيانات في مصفوفة

أستعمل العمليات على عناصر صفوف أو أعمدة مصفوفة لتحليل البيانات

تنظيم البيانات

المصفوفة

#### تعريف: ترتيب مستطيل لمتغيرات أو أعداد في صفوف وأعمدة

#### الرمز: حرف كبير تحته خط كبير مثل A

#### العنصر: كل قيمة في المصفوفة

##### الترميز: aij (العنصر في الصف i والعمود j)

الرتبة

#### النوع: m × n (m صفًا، n عمودًا)

#### مثال: المصفوفة A من النوع 3 × 4

مثال 1

استعمال المصفوفة A

#### A = [-18 6 38; 9 -9 22]

##### رتبتها: 2 × 3

##### العنصر a21 = 9

تحقق من فهمك

المصفوفة B = [10 -8; -2 19; 6 -1]

#### رتبة B: 3 × 2

#### قيمة b32: -1

المفردات

المصفوفة (Matrix)

العنصر (element)

الرتبة (order)

مصفوفة الصف (row matrix)

مصفوفة العمود (column matrix)

المصفوفة المربعة (square matrix)

المصفوفة الصفرية (zero matrix)

المصفوفات المتساوية (equal matrices)

مثال 2 (من واقع الحياة)

كرة قدم: تنظيم إحصائيات اللاعبين في مصفوفة

#### معاذ: 12 مباراة، 24 تسديدة، 113 تمريرة، 15 قطع تمريرات، 4 أهداف

#### ماجد: 18 مباراة، 43 تسديدة، 170 تمريرة، 40 قطع تمريرات، 11 هدفاً

#### ياسر: 20 مباراة، 31 تسديدة، 20 تمريرة، 30 قطع تمريرات، 4 أهداف

أسئلة المثال

#### (a) نظم البيانات في مصفوفة A

#### (b) حدد رتبة المصفوفة. وما قيمة العنصر a23؟

تحقق من فهمك (بيتزا)

تنظيم أسعار البيتزا في مصفوفة

#### (A) نظم البيانات في مصفوفة A، على أن تكون الأسعار مرتبة تصاعديًا

#### (B) حدد رتبة المصفوفة

#### (C) ما قيمة العنصر a21؟

تحليل البيانات

إرشادات للدراسة

#### يمكن تبديل عناصر الصفوف والأعمدة في مصفوفات تمثل معلومات من واقع الحياة

تحليل البيانات

#### تعطي مجاميع عناصر الصفوف أو الأعمدة أحيانًا معلومات ذات معنى

#### وأحيانًا أخرى لا تعطي أي معلومات ذات معنى

مثال 3: كرة قدم

#### تحليل إحصائيات اللاعبين من مثال (2)

##### جمع عناصر العمود 2 (التسديدات): 98 (إجمالي التسديدات)

##### جمع عناصر العمود 3 (التمريرات): 303 (إجمالي التمريرات)

##### حساب معدل التسديد: قسمة مجموع العمود 2 على مجموع العمود 1 (المباريات)

##### جمع عناصر الصفوف لا يعطي بيانات ذات معنى لأنها أنواع مختلفة من البيانات

تمرين 3: محافظات

#### بيانات عدد المحافظات من فئتي (أ، ب) في 4 مناطق

##### الرياض: 12 (أ)، 8 (ب)

##### مكة المكرمة: 9 (أ)، 7 (ب)

##### المدينة المنورة: 4 (أ)، 4 (ب)

##### القصيم: 5 (أ)، 7 (ب)

#### الأسئلة

##### (A) نظم البيانات في مصفوفة

##### (B) اجمع عناصر كل عمود، وفسر النتائج

##### (C) اجمع عناصر كل صف، وفسر النتائج

##### (D) هل إيجاد معدل عناصر كل صف يعطي بيانات ذات معنى؟

تدرب وحل المسائل (ص 65)

تحديد رتبة مصفوفة

#### مثال: [-9 \ 6] رتبتها 1 × 2

#### مثال: [15 \ y; \ 8 \ -9] رتبتها 2 × 2

#### مثال: [6 \ 11 \ -4 \ -2; \ -8 \ 5 \ -1 \ 0] رتبتها 2 × 4

إيجاد قيمة عنصر محدد

#### باستخدام الترميز a_{ij}

#### مثال: إذا كانت A = [1 \ -6 \ x \ -4; \ -2 \ 3 \ -1 \ 9; \ 5 \ -8 \ 2 \ 12]

##### a_{32} = -8

##### a_{11} = 1

##### a_{33} = 2

##### a_{24} = 9

تطبيقات واقعية (تنظيم بيانات في مصفوفة)

#### زراعة: جدول إنتاج الخضراوات في مزرعتين

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة، تحديد النوع الأقل إنتاجًا، جمع عناصر الصفوف والأعمدة وتفسير النتائج.

#### مسابقة علمية: جدول نقاط ثلاثة طلاب في 3 جولات

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة.

#### تخزين التمور: بيانات كميات التمور في ثلاثة مخازن

##### المهمة: تنظيم البيانات في مصفوفة (المخازن أعمدة)، جمع عناصر كل عمود وصف وتفسير ما يمثله المجموع.

تدرب وحل المسائل (ص 66)

تمارين على إيجاد عناصر مصفوفة

#### إذا كانت A = [23 \ 11 \ 7; \ x \ -5 \ 9 \ -3; \ -12 \ 15 \ 4x \ 18] و B = [-6]

##### (21) a_{32}

##### (22) b_{21}

##### (23) b_{12}

##### (24) A_{21}

تطبيقات واقعية

#### (25) حديد التسليح

##### البيانات: أسعار حديد التسليح (بالريال) في الرياض وجدة

###### 8mm: الرياض 2410، جدة 2455

###### 14mm: الرياض 2210، جدة 2255

###### 16mm: الرياض 2200، جدة 2245

##### الأسئلة:

###### (a) اكتب مصفوفة تمثل البيانات.

###### (b) ما رتبة المصفوفة الناتجة؟

#### (26-29) إيجاد عناصر مصفوفات بمتغيرات

##### إذا كانت A = [x²+4 \ y+6; \ x-y \ 2-y] و B = [0 \ x \ -2y; \ 5x \ 3y \ 0; \ -4x \ -y \ 0 \ 0]

###### (26) A_{11}

###### (27) A_{22}

###### (28) b_{31}

###### (29) b_{23}

#### (30) فلك

##### البيانات: بعد بعض الكواكب عن الشمس والأرض (مليون ميل)

###### عطارد: الشمس 36.00، الأرض 57

###### الزهرة: الشمس 67.24، الأرض 26

###### المريخ: الشمس 141.71، الأرض 35

###### المشتري: الشمس 483.88، الأرض 370

###### زحل: الشمس 887.14، الأرض 744

###### أورانس: الشمس 1783.98، الأرض 1607

###### نبتون: الشمس 2796.46، الأرض 2680

##### الأسئلة:

###### (a) نظم المسافات في مصفوفة A.

###### (b) ما رتبة المصفوفة الناتجة؟

###### (c) ما قيمة العنصر a_{42}؟

#### (31) تمثيلات متعددة (كرة يد)

##### البيانات: عدد التمريرات الحاسمة والأهداف لأربعة لاعبين

###### محمود: 8 تمريرات، 3 أهداف

###### معاذ: 6 تمريرات، 5 أهداف

###### صالح: 1 تمريرة، 8 أهداف

###### عبدالله: 4 تمريرات، 2 أهداف

##### الأسئلة:

###### (a) نظم البيانات في مصفوفة (الأهداف والتمريرات عمودان).

###### (b) أوجد مجاميع عناصر كل عمود.

###### (c) بدل البيانات بحيث تصبح عناصر الأعمدة هي عناصر الصفوف.

###### (d) أوجد مجاميع عناصر كل صف.

###### (e) هل هناك أي تأثير في البيانات عند تبديل عناصر الصفوف والأعمدة؟

مسائل مهارات التفكير العليا

#### (32) تبرير

##### الجملة: "المصفوفة C مربعة ولها أربعة أعمدة، وتحوي العنصر C53."

##### حدد إذا كانت الجملة صحيحة أم خاطئة، وفسر إجابتك.

تدرب وحل المسائل (ص 67)

اكتشف الخطأ (33)

#### ياسمين: قيمة العنصر b32 هي 5.

#### سارة: العنصر b32 غير موجود لأن المصفوفة B من النوع 3 × 2.

تحدٍ (34)

#### إيجاد قيم المتغيرات x, y, z التي تحقق معادلة المصفوفات:

##### [\begin{matrix} 2x-y & 3x+4z \\ 7x8z & 5y+12z \end{matrix}] = [\begin{matrix} 9z & 5x+1 & 5y-2x \\ 3y- & -4z & 12x+2y \end{matrix}]

مسألة مفتوحة (35)

#### إنشاء مصفوفة من واقع الحياة بحيث:

##### - مجاميع عناصر أعمدتها ذات معنى.

##### - مجاميع عناصر صفوفها ليست ذات معنى.

اكتب (36)

#### شرح كيف يمكن أن تساعد المصفوفات في اختيار الجامعة.

تدريب على اختبار (37)

#### تحليل مصفوفة نتائج استطلاع رأي:

##### ضد: [771, 1633, 229]

##### مؤيد: [1553, 689, 2088]

##### المرشح: [الأول, الثاني, الثالث]

#### تحديد الاستنتاج غير الصحيح من الخيارات المعطاة.

مراجعة تراكمية

#### (38) مجلس الإدارة: حل مسألة باستخدام نظام معادلات (مهارة سابقة).

#### (39) ثقافة مالية: حساب عدد الكعكات من كل نوع لتعظيم الربح.

##### جدول التكلفة وسعر البيع:

###### | النوع | كعكة الشوكولاتة | كعكة الفواكه |

###### |-------|------------------|--------------|

###### | التكلفة | 19 | 13 |

###### | سعر البيع | 44 | 39 |

#### (40-42) حساب قيم عبارات جبرية (مهارة سابقة).

##### (40) 4x6y+2z

##### (41) 5w + 2(x - 2) + 2y

##### (42) 4[3(2z + y) – 2(w + x)]

توسع: الجداول الإلكترونية

الهدف

#### أستعمل الجداول الإلكترونية لتنظيم البيانات وعرضها.

طريقة التنظيم

#### إدخال البيانات في صفوف وأعمدة كما في المصفوفة.

#### مثال: مبيعات محل تمور

##### العمود A: النوع

##### العمود B: مبيعات الأسبوع الأول

##### العمود C: مبيعات الأسبوع الثاني

##### العمود D: مبيعات الأسبوع الثالث

##### العمود E: مبيعات الأسبوع الرابع

##### الصف 2: مبيعات التمر المكتومي

##### الخلية D7: القيمة 30 (تمثل 30 كجم من تمر منيفي في الأسبوع الثالث)

العمليات على البيانات

#### إيجاد المجاميع باستخدام الأمر SUM

##### مجموع مدخلات العمود B: =SUM(B1:B8)

##### مجموع مدخلات الصفوف (الخلايا F1 إلى F8): صيغ مشابهة

العمليات على المصفوفات (2-2)

فيما سبق

#### تنظيم البيانات في مصفوفات (الدرس 1-2)

والآن

#### أجمع المصفوفات وأطرحها

#### أضرب مصفوفة في عدد ثابت

المفردات

#### جمع مصفوفتين

#### طرح مصفوفتين

#### ضرب المصفوفة في عدد ثابت

إرشادات للدراسة

#### إذا كان A + B = C فإن a_{ij} + b_{ij} = c_{ij}

جمع وطرح المصفوفات

#### الشرط: يجب أن يكون للمصفوفتين الرتبة نفسها (m × n)

#### الطريقة: جمع أو طرح العناصر المتناظرة

##### A + B = [[a+e, b+f], [c+g, d+h]]

##### A - B = [[a-e, b-f], [c-g, d-h]]

#### مثال: [[3, -5], [1, 7]] + [[2, 0], [-9, 10]] = [[5, -5], [-8, 17]]

مثال 1

#### إذا كانت A = [[16, 2], [-9, 8]], B = [[-4, -1], [-3, -7]], C = [[8], [6]]

##### (a) A + B = [[12, 1], [-12, 1]]

##### (b) B - C: لا يمكن لأن الرتبتين مختلفتين

تحقق من فهمك

#### 1A: [[ -3, 4], [-9, -5]] - [[-4, 12], [8, -7]]

#### 1B: [[ -9, 8, 3], [-2, -7, 6]] + [[-4, -3, 6], [-9, -5, 18]]

```

نقاط مهمة

• شرط الجمع والطرح: يجب أن تكون للمصفوفتين نفس الرتبة (m × n).
• عملية الجمع والطرح تتم عنصراً بعنصر على العناصر المتناظرة.
• إذا كانت الرتبتان مختلفتين، لا يمكن إجراء الجمع أو الطرح.
• مثال واقعي: يمكن جمع مصفوفات نفقات ومبيعات فروع متعددة لمؤسسة لتحليل البيانات.

فيما سبق؟ درست تنظيم البيانات في مصفوفات. (الدرس 1-2)

والآن؟ أجمع المصفوفات وأطرحها. أضرب مصفوفة في عدد ثابت.

المفردات: جمع مصفوفتين adding matrices طرح مصفوفتين subtracting matrices ضرب المصفوفة في عدد ثابت scalar multiplication

إرشادات للدراسة إذا كان A + B = C فإن aᵢⱼ + bᵢⱼ = cᵢⱼ.

العمليات على المصفوفات Operations with Matrices 2-2

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

لماذا؟ لدى مؤسسة تجارية للمعدات الثقيلة فروع في كل من: الرياض، والشرقية، وجدة، يتبع كلاً منها ثلاثة معارض. وتبين المصفوفات الآتية معدل النفقات والمبيعات الأسبوعية في معارض المناطق الثلاث:

جمع المصفوفات أو طرحها: يمكن جمع مصفوفتين أو طرحهما إذا وفقط إذا كان لهما الرتبة نفسها، حيث تجمع العناصر المتناظرة في حالة الجمع، وتطرح في حالة الطرح.

مفهوم أساسي

جمع المصفوفات وطرحها التعبير اللفظي: إذا كانت A, B مصفوفتين من الرتبة m × n فإن A + B هي مصفوفة أيضاً من الرتبة m × n ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في A و B، وكذلك A - B هي مصفوفة من الرتبة m × n أيضاً، وتحصل عليها بطرح العناصر المتناظرة.

مثال 1

إذا كانت A = [[16, 2], [-9, 8]], B = [[-4, -1], [-3, -7]], C = [[8], [6]] فأوجد كلاً مما يأتي إن أمكن:

تحقق من فهمك

1A

1B

أضف إلى مطويتك

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 69 الدرس 2-2 العمليات على المصفوفات

فيما سبق؟ درست تنظيم البيانات في مصفوفات. (الدرس 1-2) والآن؟ أجمع المصفوفات وأطرحها. أضرب مصفوفة في عدد ثابت. المفردات: جمع مصفوفتين adding matrices طرح مصفوفتين subtracting matrices ضرب المصفوفة في عدد ثابت scalar multiplication إرشادات للدراسة إذا كان A + B = C فإن aᵢⱼ + bᵢⱼ = cᵢⱼ. العمليات على المصفوفات Operations with Matrices 2-2 رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa لماذا؟ لدى مؤسسة تجارية للمعدات الثقيلة فروع في كل من: الرياض، والشرقية، وجدة، يتبع كلاً منها ثلاثة معارض. وتبين المصفوفات الآتية معدل النفقات والمبيعات الأسبوعية في معارض المناطق الثلاث: جمع المصفوفات أو طرحها: يمكن جمع مصفوفتين أو طرحهما إذا وفقط إذا كان لهما الرتبة نفسها، حيث تجمع العناصر المتناظرة في حالة الجمع، وتطرح في حالة الطرح. --- SECTION: مفهوم أساسي --- مفهوم أساسي --- SECTION: جمع المصفوفات وطرحها --- جمع المصفوفات وطرحها التعبير اللفظي: إذا كانت A, B مصفوفتين من الرتبة m × n فإن A + B هي مصفوفة أيضاً من الرتبة m × n ويكون كل عنصر فيها هو مجموع العنصرين المتناظرين في A و B، وكذلك A - B هي مصفوفة من الرتبة m × n أيضاً، وتحصل عليها بطرح العناصر المتناظرة. --- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 --- SECTION: 1 --- إذا كانت A = [[16, 2], [-9, 8]], B = [[-4, -1], [-3, -7]], C = [[8], [6]] فأوجد كلاً مما يأتي إن أمكن: a. A + B b. B - C --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك --- SECTION: 1A --- 1A --- SECTION: 1B --- 1B أضف إلى مطويتك وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447 69 الدرس 2-2 العمليات على المصفوفات --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: Untitled Description: QR code linking to the digital lesson on www.ien.edu.sa. **FIGURE**: Untitled Description: Matrix showing sales and expenses for Riyadh showrooms. **FIGURE**: Untitled Description: Matrix showing sales and expenses for Eastern Province showrooms. **FIGURE**: Untitled Description: Matrix showing sales and expenses for Jeddah showrooms. **FIGURE**: Untitled Description: General definitions of matrices A and B, and their sum A+B and difference A-B, showing element-wise operations. **FIGURE**: Untitled Description: Example of matrix addition showing the step-by-step element-wise summation. **FIGURE**: Untitled Description: Step-by-step calculation of matrix A + B. **FIGURE**: Untitled Description: Attempted calculation of matrix B - C, showing that subtraction is not possible due to different matrix orders. **FIGURE**: Untitled Description: Matrix subtraction problem for Check Your Understanding 1A. **FIGURE**: Untitled Description: Matrix addition problem for Check Your Understanding 1B.