فيما سبق؟ - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 المحددات وقاعدة كرامر (2-4)

المفاهيم الأساسية

المحددة (determinant): قيمة عددية مرتبطة بمصفوفة مربعة.

محددة الدرجة الثانية (second-order determinant): محدد مصفوفة من النوع 2×2.

القطر الرئيسي: جميع عناصر المصفوفة المربعة التي تمتد من الزاوية اليسرى العلوية إلى اليمنى السفلى (العناصر aij حيث i=j).

قاعدة الأقطار (diagonal rule): قاعدة حساب محدد الدرجة الثانية.

مصفوفة المعاملات (coefficient matrix): (مذكورة فقط كمصطلح).

قاعدة كرامر (Cramer's Rule): (مذكورة فقط كمصطلح).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

ضرب المصفوفات (3-2)

تدريب على اختبار (أسئلة 35-42)

#### تطبيق مباشر على ضرب المصفوفات

##### المصفوفات المعطاة: X = [2 -6], Y = [-5 -1.5], Z = [-3]

##### إيجاد نواتج: XY, YX, ZY, YZ, (YX)Z, (XZ)X, X(ZZ), (XX)Z

مسائل مهارات التفكير العليا

#### استنتاج الرتبة (سؤال 43)

##### إذا كانت رتبة AB = 5×8، ورتبة A = 6×5، فما رتبة B؟

#### برهان الخصائص (سؤال 44)

##### برهان الخصائص للمصفوفات 2×2:

###### أ) خاصية التوزيع للضرب في عدد.

###### ب) خاصية التوزيع للضرب على الجمع.

###### ج) الخاصية التجميعية للضرب.

###### د) الخاصية التجميعية للضرب في عدد.

#### مصفوفات قابلة للإبدال (سؤال 45)

##### كتابة مصفوفتين A و B بحيث يكون AB = BA.

#### إيجاد قيم مجهولة (سؤال 46)

##### إيجاد قيم a, b, c, d في معادلة مصفوفية.

#### تطبيق عملي (سؤال 47)

##### شرح كيفية استعمال المصفوفات في إحصاءات مبيعات المكتبة.

#### حساب الإيرادات من جدول (سؤال 48)

##### استخدام جدول إنتاج 3 آلات حياكة في 3 أشهر وأسعار البيع لحساب المبلغ الكلي.

#### تحديد رتبة ناتج الضرب (سؤال 49)

##### تحديد رتبة المصفوفة الناتجة عن ضرب مصفوفة 4×3 في مصفوفة 3×1.

مراجعة تراكمية (أسئلة 50-52)

#### جمع وطرح المصفوفات مع الضرب في عدد ثابت

##### 4[8 9] - 2[-6 -1] - 5[-2 4]

##### [-3 -5] [6 3]

##### 4[8 -1] - 3[-1 -2]

##### [-3 -4] [6 4]

##### 5 2[-2 -5] - 3[-1 -2]

##### [-1 3] [6 4]

اختبار منتصف الفصل

أوجد الناتج (أسئلة 6-12)

#### ضرب مصفوفات

##### \begin{bmatrix} -2 & 3 \\\\ 1 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1 & 4 \\\\ 0 & 5 & -6 \end{bmatrix}

##### \begin{bmatrix} -4 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 0 & 4 \\\\ 8 & 0 & 4 \end{bmatrix}

##### \begin{bmatrix} 4 & -2 \\\\ 6 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2 & 5 \\\\ 3 & 3 \end{bmatrix}

#### جمع وطرح مصفوفات

##### \begin{bmatrix} 0 & 15 \\\\ -6 & -10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\\\ -3 & 5 \end{bmatrix}

##### 2 \begin{bmatrix} -1 & -3x \\\\ 5 & 2 \\\\ -6 & x \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} x-2 & 3 \\\\ 1 & -3 \end{bmatrix}

حدد رتبة المصفوفة (أسئلة 1-2)

#### [ 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 ]

#### \begin{bmatrix} 10 & -6 & 18 & 0 \\\\ -7 & 5 & 2 & 4 \\\\ 3 & 11 & 9 & 7 \end{bmatrix}

تحديد عناصر مصفوفة (أسئلة a21, b22)

#### إذا كانت A = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\\\ -5 & 1 \\\\ -3 & 7 \end{bmatrix} ، B = \begin{bmatrix} 1 & -9 & 2 \\\\ 0 & 10 & 4 \end{bmatrix}

تطبيقات عملية

#### مبيعات محل ألبسة أطفال

##### جدول مبيعات أسبوعين

##### مجموع مبيعات كل أسبوع

##### كتابة مصفوفة تمثل المبيعات باستعمال الجمع

#### مضاعفة موجودات محل ألبسة رياضية

##### جدول موجودات المحل (قمصان وبنطال)

##### كتابة مصفوفة A قبل المضاعفة

##### إيجاد العدد الذي نضرب فيه A للحصول على M بعد المضاعفة

##### تمثيل المصفوفة A - M

اختيار من متعدد

#### استنتاج رتبة مصفوفة (سؤال 13)

##### إذا كانت XY من النوع 2×3، و X من النوع 4×3، فما رتبة Y؟

#### إيجاد ناتج عملية (سؤال 9)

##### \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 3 & 5 \\\\ -6 & 0 \end{bmatrix} + 4 \begin{bmatrix} 9 & -1 \\\\ 2 & 3 \end{bmatrix}

#### ناتج ضرب مصفوفات (سؤال 15)

##### ضرب مصفوفة 2×1 في مصفوفة أخرى

المحددات وقاعدة كرامر (2-4)

المحددات

#### محدد الدرجة الثانية

##### الصيغة: \begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \end{vmatrix} = ad - cb

##### مثال: \begin{vmatrix} 4 & 5 \\\\ -3 & 6 \end{vmatrix} = 4(6) - (-3)(5) = 39

#### القطر الرئيسي

##### عناصر المصفوفة من الزاوية اليسرى العلوية إلى اليمنى السفلى (aij حيث i=j).

قاعدة كرامر

#### (مذكورة كهدف للدرس)

```

نقاط مهمة

• الهدف من الدرس: حساب المحددات، وحل أنظمة المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر.
• التطبيق العملي: يمكن استخدام المصفوفات والمحددات لحساب مساحة منطقة مثلثة الشكل إذا عُرفت إحداثيات رؤوسها.
• قاعدة حساب محدد الدرجة الثانية: هي حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي مطروحًا منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر.
• الرمز: يرمز لمحددة المصفوفة A بالرمز |A|.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

المحددات وقاعدة كرامر

2-4

درست حل أنظمة من المعادلات جبريًا. (مهارة سابقة)

- أحسب المحددات. - أحل أنظمة معادلات خطية باستعمال قاعدة كرامر.

المحددة determinant محددة الدرجة الثانية second-order determinant محددة الدرجة الثالثة third-order determinant قاعدة الأقطار diagonal rule مصفوفة المعاملات coefficient matrix قاعدة كرامر Cramer's Rule

لتحديد الإقليم الذي يعيش فيه أحد النمور، قام عالم حيوانات بتتبعه بواسطة جهاز GPS، وبعد عدة أيام، تأكد العالم أن الإقليم مثلث الشكل. وأنه من الممكن بعد تحديد إحداثيات رؤوس المنطقة استعمال المصفوفات والمحددات لحساب مساحتها.

كل مصفوفة مربعة لها محددة، وتسمى محددة المصفوفة من النوع 2×2 محددة الدرجة الثانية. القطر الرئيسي لمصفوفة مربعة هو: جميع عناصر المصفوفة التي تمتد من الزاوية اليسرى العلوية للزاوية اليمنى السفلى. أو جميع العناصر aij بحيث i=j.

التعبير اللفظي: يرمز لمحددة المصفوفة [a b / c d] بالرمز |a b / c d| وقيمتها تساوي حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي مطروحًا منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر. بالرموز: |a b / c d| = ad - cb مثال: |4 5 / -3 6| = 4(6) - (-3)(5) = 39

أوجد قيمة كل محددة فيما يأتي:

تحقق من فهمك

|-6 -7 / 10 8|

|7 5 / 9 -4|

المحددات: يرمز لمحددة المصفوفة A بالرمز |A|

الدرس 4-2 المحددات وقاعدة كرامر 83

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa المحددات وقاعدة كرامر 2-4 --- SECTION: فيما سبق؟ --- درست حل أنظمة من المعادلات جبريًا. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن؟ --- - أحسب المحددات. - أحل أنظمة معادلات خطية باستعمال قاعدة كرامر. --- SECTION: المفردات: --- المحددة determinant محددة الدرجة الثانية second-order determinant محددة الدرجة الثالثة third-order determinant قاعدة الأقطار diagonal rule مصفوفة المعاملات coefficient matrix قاعدة كرامر Cramer's Rule --- SECTION: لماذا؟ --- لتحديد الإقليم الذي يعيش فيه أحد النمور، قام عالم حيوانات بتتبعه بواسطة جهاز GPS، وبعد عدة أيام، تأكد العالم أن الإقليم مثلث الشكل. وأنه من الممكن بعد تحديد إحداثيات رؤوس المنطقة استعمال المصفوفات والمحددات لحساب مساحتها. --- SECTION: المحددات: --- كل مصفوفة مربعة لها محددة، وتسمى محددة المصفوفة من النوع 2×2 محددة الدرجة الثانية. القطر الرئيسي لمصفوفة مربعة هو: جميع عناصر المصفوفة التي تمتد من الزاوية اليسرى العلوية للزاوية اليمنى السفلى. أو جميع العناصر aij بحيث i=j. --- SECTION: مفهوم أساسي: محددة الدرجة الثانية --- التعبير اللفظي: يرمز لمحددة المصفوفة [a b / c d] بالرمز |a b / c d| وقيمتها تساوي حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي مطروحًا منه حاصل ضرب عنصري القطر الآخر. بالرموز: |a b / c d| = ad - cb مثال: |4 5 / -3 6| = 4(6) - (-3)(5) = 39 --- SECTION: أضف إلى مطويتك --- --- SECTION: مثال 1: محددة الدرجة الثانية --- أوجد قيمة كل محددة فيما يأتي: a. |5 -4 / 8 9| = 5(9) - 8(-4) = 45 + 32 = 77 b. |0 6 / 4 -11| = 0(-11) - 4(6) = 0 - 24 = -24 تحقق من فهمك |-6 -7 / 10 8| |7 5 / 9 -4| --- SECTION: قراءة الرياضيات --- المحددات: يرمز لمحددة المصفوفة A بالرمز |A| الدرس 4-2 المحددات وقاعدة كرامر 83 --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: Untitled Description: A QR code linking to the digital lesson at www.ien.edu.sa. **FIGURE**: Untitled Description: An image of a tiger walking, used to illustrate the real-world application of determinants in tracking animals and calculating areas.