مثال 1 - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

📚 تدرب وحل المسائل (ضرب المصفوفات)

المفاهيم الأساسية

ضرب المصفوفات: عملية معرفة فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة الأولى يساوي عدد صفوف المصفوفة الثانية. رتبة المصفوفة الناتجة تكون (صفوف الأولى × أعمدة الثانية).

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

ضرب المصفوفات (3-2)

خصائص ضرب المصفوفات

#### خاصية غير صحيحة: الإبدالية

##### مثال مضاد: GH ≠ HG

##### الاستنتاج: الترتيب في غاية الأهمية

#### خاصية صحيحة: التوزيع

##### J(K+L) = JK + JL

##### شرط: أن تكون عمليتا الضرب والجمع معرفتين

#### خصائص صحيحة (شرط تعريف العمليات)

##### التجميعية لضرب المصفوفات: (AB)C = A(BC)

##### التجميعية لضرب المصفوفات في عدد: k(AB) = (kA)B = A(kB)

##### التوزيع من اليسار: C(A + B) = CA + CB

##### التوزيع من اليمين: (A+B)C = AC + BC

#### إرشادات للدراسة

##### البرهان العام: لإثبات صحة خاصية في جميع الحالات

##### المثال المضاد: لإثبات خطأ خاصية

تطبيقات عملية لضرب المصفوفات

#### حساب الدخل اليومي (مثال 3)

##### بناء مصفوفة تمثل عدد الغرف

##### بناء مصفوفة تمثل أسعار الغرف

##### استخدام الضرب لإيجاد الدخل الكلي

#### حساب التكلفة والربح (تنسيق زهور)

##### استخدام الضرب لإيجاد المبلغ الكلي للشراء

##### استخدام الضرب لإيجاد المبلغ الكلي للبيع

##### إيجاد مقدار الربح

```

نقاط مهمة

• شرط تعريف عملية ضرب المصفوفات: عدد أعمدة الأولى = عدد صفوف الثانية.
• يمكن استخدام ضرب المصفوفات لحل مسائل حياتية مثل حساب الدخل والتكاليف والأرباح.
• للتحقق من صحة خصائص المصفوفات (مثل: k(PQ) = P(kQ) أو PR + QR = (P + Q)R)، يجب التأكد من تعريف العمليات أولاً.

حدد إذا كانت عملية الضرب معرفة في كل مما يأتي، وإن كانت معرفة فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة:

M₃ × N₂ × N₃

A₅ × B₅

P₂ ×₃ Q₃ × 4

S₅ × 2 T₂ × 4

J₂ × 1 K₁ × 5

X₂ × 6 Y₆ × 3

أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً:

[1 6] [ -10 / 6 ]

[ 6 -3 ] [ 2 -7 ]

[ -3 -7 ] [ 4 -7 ]

[ -1 0 ] [ 6 -3 ]

[ -1 0 6 ] [ 5 -7 ]

[ -6 4 -9 ] [ 7 2 ]

[ 2 9 -3 ] [ 4 2 ]

[ -4 ] [ -3 -1 ]

أجنحة فندقية: لدى مؤسسة للأجنحة الفندقية 3 مبان للإيجار، ويبين الجدول المجاور عدد الغرف في كل مبنى. فإذا كانت الأجرة اليومية للغرفة التي تحتوي سريراً واحداً 220 ريالاً، وللغرفة التي تحتوي سريرين 250 ريالاً، وللغرفة التي تحوي ثلاثة أسرة 360 ريالاً.

اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف.

اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي للمؤسسة، على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها.

ما مقدار الدخل اليومي الكلي، على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها.

إذا كانت 2 = k ، P = [ 4 -1 ] ، Q = [ 6 -5 ] ، R = [ 4 6 ] ، فحدد ما إذا كانت المعادلات الآتية صحيحة للمصفوفات المعطاة أم لا:

k(PQ) = P(kQ)

PQR = RQP

PR + QR = (P + Q)R

R(P + Q) = PR + QR

الزنبق يضم حوالي 110 أنواع أهمها الزنبق الأبيض، وتنمو الأزهار من بصيلات محرشفة، وتأخذ شكل الأبواق ولها ست بتلات.

اشترى محل تنسيق زهور 200 زهرة جوري، و 150 زهرة نرجس، و 100 زهرة زنبق، وسعر شراء الزهرة من كل نوع مبين في الجدول المجاور، وكذلك سعر بيع الزهرة بعد تغليفها وتنسيقها في باقة.

استعمل ضرب المصفوفات؛ لإيجاد المبلغ الكلي لشراء الزهور.

استعمل ضرب المصفوفات؛ لإيجاد المبلغ الكلي لحصـل عليه صاحب المحل من بيع الزهور.

أوجد مقدار ربح المحل من بيع الزهور.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الفصل 2 المصفوفات

--- SECTION: مثال 1 --- حدد إذا كانت عملية الضرب معرفة في كل مما يأتي، وإن كانت معرفة فأوجد رتبة المصفوفة الناتجة: M₃ × N₂ × N₃ A₅ × B₅ P₂ ×₃ Q₃ × 4 S₅ × 2 T₂ × 4 J₂ × 1 K₁ × 5 X₂ × 6 Y₆ × 3 --- SECTION: مثال 2 --- أوجد الناتج في كل مما يأتي إذا كان ذلك ممكناً: [1 6] [ -10 / 6 ] [ 6 -3 ] [ 2 -7 ] [ -3 -7 ] [ 4 -7 ] [ -1 0 ] [ 6 -3 ] [ -1 0 6 ] [ 5 -7 ] [ -6 4 -9 ] [ 7 2 ] [ 2 9 -3 ] [ 4 2 ] [ -4 ] [ -3 -1 ] --- SECTION: مثال 3 --- أجنحة فندقية: لدى مؤسسة للأجنحة الفندقية 3 مبان للإيجار، ويبين الجدول المجاور عدد الغرف في كل مبنى. فإذا كانت الأجرة اليومية للغرفة التي تحتوي سريراً واحداً 220 ريالاً، وللغرفة التي تحتوي سريرين 250 ريالاً، وللغرفة التي تحوي ثلاثة أسرة 360 ريالاً. --- SECTION: أ --- اكتب مصفوفة تمثل عدد الغرف. --- SECTION: ب --- اكتب مصفوفة تمثل الدخل اليومي للمؤسسة، على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها. --- SECTION: ج --- ما مقدار الدخل اليومي الكلي، على فرض أن جميع الغرف تم تأجيرها. --- SECTION: المثال 4, 5 --- إذا كانت 2 = k ، P = [ 4 -1 ] ، Q = [ 6 -5 ] ، R = [ 4 6 ] ، فحدد ما إذا كانت المعادلات الآتية صحيحة للمصفوفات المعطاة أم لا: k(PQ) = P(kQ) PQR = RQP PR + QR = (P + Q)R R(P + Q) = PR + QR --- SECTION: الربط مع الحياة --- الزنبق يضم حوالي 110 أنواع أهمها الزنبق الأبيض، وتنمو الأزهار من بصيلات محرشفة، وتأخذ شكل الأبواق ولها ست بتلات. --- SECTION: تنسيق زهور --- اشترى محل تنسيق زهور 200 زهرة جوري، و 150 زهرة نرجس، و 100 زهرة زنبق، وسعر شراء الزهرة من كل نوع مبين في الجدول المجاور، وكذلك سعر بيع الزهرة بعد تغليفها وتنسيقها في باقة. --- SECTION: أ --- استعمل ضرب المصفوفات؛ لإيجاد المبلغ الكلي لشراء الزهور. --- SECTION: ب --- استعمل ضرب المصفوفات؛ لإيجاد المبلغ الكلي لحصـل عليه صاحب المحل من بيع الزهور. --- SECTION: ج --- أوجد مقدار ربح المحل من بيع الزهور. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 الفصل 2 المصفوفات --- VISUAL CONTEXT --- **TABLE**: عدد الغرف Description: Table showing the number of rooms in three buildings, categorized by the number of beds per room (one, two, or three beds). Table Structure: Headers: المبنى | غرفة بسرير واحد | غرفة بسريرين | غرفة بثلاثة أسرة Rows: Row 1: 1 | 3 | 2 | 2 Row 2: 2 | 2 | 3 | 1 Row 3: 3 | 1 | 3 | 0 Calculation needed: The table provides raw data for room counts per building and bed configuration, which can be used to construct matrices for further calculations. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: The table has three rows representing buildings (1, 2, 3) and four columns: المبنى (Building), غرفة بسرير واحد (Room with one bed), غرفة بسريرين (Room with two beds), and غرفة بثلاثة أسرة (Room with three beds). Key Values: Building 1: 3 rooms (1 bed), 2 rooms (2 beds), 2 rooms (3 beds), Building 2: 2 rooms (1 bed), 3 rooms (2 beds), 1 room (3 beds), Building 3: 1 room (1 bed), 3 rooms (2 beds), 0 rooms (3 beds) Context: This table provides the data needed to construct matrices representing room distribution, which is then used in subsequent matrix multiplication problems to calculate rental income. **IMAGE**: تنسيق زهور Description: A vibrant image of a bouquet of red and white tulips, suggesting a floral arrangement theme. X-axis: N/A Y-axis: N/A Data: The image depicts a floral arrangement, likely intended to visually connect the mathematical problem about flower sales to a real-world context. Context: This image serves as a visual aid for question 34, which involves calculating costs and profits related to selling flowers, linking the mathematical concepts to a practical scenario.