مفهوم أساسي: مساحة المثلث - كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مفهوم أساسي: مساحة المثلث

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 11 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 11 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

نوع المحتوى: درس تعليمي

📝 ملخص الصفحة

📚 المحددات وقاعدة كرامر (صفحة 85)

المفاهيم الأساسية

مساحة المثلث باستعمال المحددات: إذا كانت إحداثيات رؤوس المثلث هي (a, b), (c, d), (e, f)، فإن مساحته هي القيمة المطلقة للمقدار A، حيث:

A = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} a & b & 1 \\ c & d & 1 \\ e & f & 1 \end{vmatrix}

خريطة المفاهيم

```markmap

الفصل 2: المصفوفات

المحددات وقاعدة كرامر (2-4)

المحددات

#### محدد الدرجة الثانية

##### الصيغة: \begin{vmatrix} a & b \\\\ c & d \end{vmatrix} = ad - cb

##### مثال: \begin{vmatrix} 4 & 5 \\\\ -3 & 6 \end{vmatrix} = 4(6) - (-3)(5) = 39

#### القطر الرئيسي

##### عناصر المصفوفة من الزاوية اليسرى العلوية إلى اليمنى السفلى (aij حيث i=j).

#### محددات الدرجة الثالثة

##### طرق الحساب

###### الطريقة الأولى: قاعدة الأقطار

####### خطوات الحساب

######## الخطوة 1: إعادة كتابة العمود الأول والثاني عن يمين المحددة.

######## الخطوة 2: إيجاد مجموع حاصل ضرب عناصر القطر الرئيس وموازياته.

######## الخطوة 3: إيجاد مجموع حاصل ضرب عناصر القطر الآخر وموازياته.

######## الخطوة 4: طرح ناتج الخطوة 3 من ناتج الخطوة 2.

###### الطريقة الثانية: باستعمال محددة المصفوفة 2×2

####### الصيغة: a \begin{vmatrix} e & f \\\\ h & i \end{vmatrix} - b \begin{vmatrix} d & f \\\\ g & i \end{vmatrix} + c \begin{vmatrix} d & e \\\\ g & h \end{vmatrix}

##### مثال توضيحي

###### المصفوفة: \begin{bmatrix} 4 & -8 & 3 \\\\ -3 & 2 & 6 \\\\ -4 & 5 & 9 \end{bmatrix}

###### الحل باستخدام قاعدة الأقطار: -93

#### تطبيقات المحددات

##### إيجاد مساحة المثلث

###### الصيغة: A = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} a & b & 1 \\\\ c & d & 1 \\\\ e & f & 1 \end{vmatrix}

###### مثال: مساحة مثلث رؤوسه (-4, 3), (3, 1), (-2, -2)

###### مثال واقعي: إيجاد مساحة إقليم نمر إحداثيات رؤوسه (0, 0), (4, 12), (-2, 8)

```

نقاط مهمة

* يمكن حساب محدد مصفوفة 3×3 باستخدام طريقة التوسع باستعمال محددات المصفوفات 2×2.

* عند استخدام محددات لحساب مساحة المثلث، يجب أخذ القيمة المطلقة للنتيجة لضمان أن المساحة غير سالبة.

* التطبيق الواقعي: تُستخدم هذه الطريقة لحساب مساحة إقليم جغرافي (مثل إقليم حيوان) إذا كانت إحداثيات رؤوسه معروفة.

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

ثانيًا: باستعمال محدّدة المصفوفة 2 × 2 :

نوع: محتوى تعليمي

| 4 -8 3 | | -3 2 6 | | -4 5 9 | = 4 | 2 6 | | 5 9 | - (-8) | -3 6 | | -4 9 | + 3 | -3 2 | | -4 5 | = 4 × (-12) + 8 × (-3) + 3 × (-7) = -93

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد قيمة كل محددة مما يأتي:

نوع: محتوى تعليمي

تستعمل المحددات أيضًا لإيجاد مساحة المثلث. فإذا كانت إحداثيات رؤوس المثلث معلومة، فيمكنك استعمال الصيغة أدناه لإيجاد مساحة المثلث.

مفهوم أساسي: مساحة المثلث

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: مساحة المثلث الذي إحداثيات رؤوسه (a, b), (c, d), (e, f) هي القيمة المطلقة للمقدار A، حيث: A = 1/2 | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | مثال: مساحة المثلث في الشكل المجاور هي: A = 1/2 | -4 3 1 | | 3 1 1 | | -2 -2 1 |

إرشادات للدراسة: صيغة المساحة

نوع: محتوى تعليمي

لاحظ أنه يجب أن تستعمل القيمة المطلقة للمقدار A حتى تضمن أن المساحة غير سالبة.

مثال 3 من واقع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

حساب مساحة المثلث باستعمال المحددات عالم الحيوان: عُد إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس. إذا كانت إحداثيات رؤوس الإقليم الذي يعيش فيه النمر موضحة في الشكل المجاور بالكيلومترات، فاستعمل المحددات لإيجاد مساحة الإقليم.

نوع: محتوى تعليمي

A = 1/2 | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | (a, b) = (0, 0) (c, d) = (4, 12) (e, f) = (-2, 8) = 1/2 | 0 0 1 | | 4 12 1 | | -2 8 1 | | 0 0 1 | 0 0 | 4 12 1 | 4 12 | -2 8 1 | -2 8 قاعدة الأقطار: 0 + 0 + 32 = 32 -24 + 0 + 0 = -24 اجمع نواتج ضرب عناصر الأقطار A = 1/2 | 0 0 1 | | 4 12 1 | | -2 8 1 | قيمة A

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

يعيش النمر في أقاليم قد تصل مساحتها إلى 100km²، ويحرس النمر إقليمه الذي يعيش فيه ويعرفه بتتبع أثره وأماكن روثه.

نوع: METADATA

الدرس 4-2 المحددات وقاعدة كرامر 85

🔍 عناصر مرئية

A triangle plotted on a Cartesian coordinate system with vertices labeled.

A triangle representing a tiger's territory plotted on a Cartesian grid.

A photograph of a tiger running through water.

📄 النص الكامل للصفحة

ثانيًا: باستعمال محدّدة المصفوفة 2 × 2 : | 4 -8 3 | | -3 2 6 | | -4 5 9 | = 4 | 2 6 | | 5 9 | - (-8) | -3 6 | | -4 9 | + 3 | -3 2 | | -4 5 | = 4 × (-12) + 8 × (-3) + 3 × (-7) = -93 تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- أوجد قيمة كل محددة مما يأتي: 2A. | -5 9 4 | | -2 -1 5 | | -4 6 2 | 2B. | -8 -4 4 | | 0 -5 -8 | | 3 4 1 | تستعمل المحددات أيضًا لإيجاد مساحة المثلث. فإذا كانت إحداثيات رؤوس المثلث معلومة، فيمكنك استعمال الصيغة أدناه لإيجاد مساحة المثلث. --- SECTION: مفهوم أساسي: مساحة المثلث --- التعبير اللفظي: مساحة المثلث الذي إحداثيات رؤوسه (a, b), (c, d), (e, f) هي القيمة المطلقة للمقدار A، حيث: A = 1/2 | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | مثال: مساحة المثلث في الشكل المجاور هي: A = 1/2 | -4 3 1 | | 3 1 1 | | -2 -2 1 | --- SECTION: إرشادات للدراسة: صيغة المساحة --- لاحظ أنه يجب أن تستعمل القيمة المطلقة للمقدار A حتى تضمن أن المساحة غير سالبة. --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة --- حساب مساحة المثلث باستعمال المحددات عالم الحيوان: عُد إلى فقرة "لماذا؟" بداية الدرس. إذا كانت إحداثيات رؤوس الإقليم الذي يعيش فيه النمر موضحة في الشكل المجاور بالكيلومترات، فاستعمل المحددات لإيجاد مساحة الإقليم. A = 1/2 | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | (a, b) = (0, 0) (c, d) = (4, 12) (e, f) = (-2, 8) = 1/2 | 0 0 1 | | 4 12 1 | | -2 8 1 | | 0 0 1 | 0 0 | 4 12 1 | 4 12 | -2 8 1 | -2 8 قاعدة الأقطار: 0 + 0 + 32 = 32 -24 + 0 + 0 = -24 اجمع نواتج ضرب عناصر الأقطار A = 1/2 | 0 0 1 | | 4 12 1 | | -2 8 1 | قيمة A --- SECTION: الربط مع الحياة --- يعيش النمر في أقاليم قد تصل مساحتها إلى 100km²، ويحرس النمر إقليمه الذي يعيش فيه ويعرفه بتتبع أثره وأماكن روثه. الدرس 4-2 المحددات وقاعدة كرامر 85 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A triangle plotted on a Cartesian coordinate system with vertices labeled. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of the triangle used in the area calculation example within the basic concept box. **GRAPH**: Untitled Description: A triangle representing a tiger's territory plotted on a Cartesian grid. X-axis: x Y-axis: y Context: Graph showing the vertices of the tiger's territory for area calculation in Example 3. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a tiger running through water. Context: Visual aid for the real-life application example about a tiger's territory.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 18

سؤال 2A: أوجد قيمة كل محددة مما يأتي: | -5 9 4 | | -2 -1 5 | | -4 6 2 |

الإجابة: 10

سؤال 2B: أوجد قيمة كل محددة مما يأتي: | -8 -4 4 | | 0 -5 -8 | | 3 4 1 |

الإجابة: 12

سؤال 34: هندسة: في الشكل المجاور، طول ضلع المثلث الخارجي المتطابق الأضلاع يساوي ضعف طول ضلع المثلث الداخلي الذي تتصف رؤوسه أضلاع المثلث الخارجي. إذا استمر هذا النمط نحو الداخل، فما مجموع أطوال محيطات المثلثات الثمانية الأولى في النمط؟

الإجابة: 1275/32 = 39.84

سؤال 35: معالجة المياه: يقوم نظام معين بمعالجة 900mg من الملوثات في 1000L من الماء. إذا كانت كمية الملوثات المتبقية في الماء بعد n دورة معالجة هي $A_n = 900(0.9)^n$ ، فما كمية الملوثات المتبقية في الماء بعد 3 دورات معالجة؟

الإجابة: 3825/32 = 119.53

سؤال 36: برهان: اشتق الصيغة البديلة للمجموع الجزئي في متسلسلة هندسية $S_n = a_1(r^n - 1)/(r - 1)$ عندما $r \ne 1$.

الإجابة: mg 7.29 = 4 × (0.3)³ × 900

سؤال 37: برهان: اشتق الصيغة البديلة للمجموع الجزئي في متسلسلة هندسية $S_n = a_1(r^n - 1)/(r - 1)$ عندما $r \ne 1$.

الإجابة: $S_n = a_1(1 - r^n)/(1 - r)$

سؤال 38: تغيير: وضح التغيير الذي يجب أن تجريه على $S_n = a_1(1 - r^n)/(1 - r)$ إذا عرفت أن $k = 0$ و $r = 1$.

الإجابة: $k = 1$

سؤال 39: صيغ: اشتق صيغة الحد النوني للمتتالية الهندسية في $3^k$ من $k = 0$ إلى $n - 1$.

الإجابة: $3^k$

سؤال 40: هندسة: في الشكل المجاور، إذا كانت $h$ هي القيمة المطلقة للمتوسط الهندسي بين $x$ و $y$ ، فما العلاقة بين $h, x, y$؟

الإجابة: $h^2 = x y$

سؤال 41, 42: هندسة: إذا كانت المتسلسلة $8, 16, 32, 64, ...$ فما مجموع 5 حدود؟ هندسة: إذا كانت المتسلسلة $8, 16, 32, 64, ...$ فما مجموع 5 حدود؟

الإجابة: 252

سؤال 43: إجابة قصيرة: إذا كان الحد الأول في متسلسلة هندسية 5 وأساسها 2، فما عدد حدودها؟

الإجابة: D

سؤال 44: إجابة قصيرة: وهكذا. إذا كان المبلغ الباقي بعد 4 أشهر هو 2000 ريال، فما المبلغ الأصلي؟

الإجابة: 32000 ريال

سؤال 45: تقود: اشترى عبدالرحمن جهاز تلفاز ودفع 400 ريال مقدمًا، على أن يدفع الباقي على أقساط شهرية مدة سنة ونصف. فإذا كانت قيمة القسط الواحد 200 ريال، فما المبلغ الذي سيدفعه ثمنًا للجهاز؟

الإجابة: 4000 ريال

سؤال 46: حدد ما إذا كانت كل من المتتاليات الآتية حسابية أو هندسية أو غير ذلك. ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية في كل متتالية حسابية أو هندسية. $3, 7, 11, 15, ...$

الإجابة: حسابية، أساسها 4، 19، 23، 27

سؤال 47: حدد ما إذا كانت كل من المتتاليات الآتية حسابية أو هندسية أو غير ذلك. ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية في كل متتالية حسابية أو هندسية. $12.5, 25, 50, ...$

الإجابة: هندسية، أساسها 2، 100، 200، 400

سؤال 48: حدد ما إذا كانت كل من المتتاليات الآتية حسابية أو هندسية أو غير ذلك. ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية في كل متتالية حسابية أو هندسية. $2, 8, 32, ...$

الإجابة: هندسية، أساسها 4، 128، 512، 2048

سؤال 49: حدد ما إذا كانت كل من المتتاليات الآتية حسابية أو هندسية أو غير ذلك. ثم أوجد الحدود الثلاثة التالية في كل متتالية حسابية أو هندسية. $4, 12, 36, ...$

الإجابة: هندسية، أساسها 3، 108، 324، 972

سؤال 50: أوجد قيمة المقدار $c - 2$ إذا علمت أن $c = -2$.

الإجابة: 5/7

🎴 بطاقات تعليمية للمراجعة

عدد البطاقات: 4 بطاقة لهذه الصفحة

ما الصيغة العامة لحساب محدد مصفوفة 3×3 باستخدام طريقة الأقطار (قاعدة ساروس)؟

  • أ) | a b c | | d e f | | g h i | = aei + bfg + cdh + ceg + afh + bdi
  • ب) | a b c | | d e f | | g h i | = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
  • ج) | a b c | | d e f | | g h i | = a + e + i - c - f - g
  • د) | a b c | | d e f | | g h i | = (a+d+g)(b+e+h)(c+f+i)

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: | a b c | | d e f | | g h i | = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi

الشرح: 1. اكتب المصفوفة 3×3. 2. أعد كتابة العمودين الأولين بجانب المصفوفة. 3. مجموع حاصل ضرب العناصر على الأقطار الثلاثة الرئيسية (من اليسار إلى اليمين) هو: (a×e×i) + (b×f×g) + (c×d×h). 4. مجموع حاصل ضرب العناصر على الأقطار الثلاثة الثانوية (من اليمين إلى اليسار) هو: (c×e×g) + (a×f×h) + (b×d×i). 5. قيمة المحدد = (مجموع الأقطار الرئيسية) - (مجموع الأقطار الثانوية).

تلميح: فكر في مجموع حاصل ضرب العناصر على الأقطار الرئيسية ناقص مجموع حاصل ضرب العناصر على الأقطار الثانوية.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

ما الصيغة المستخدمة لإيجاد مساحة مثلث إذا علمت إحداثيات رؤوسه الثلاثة (a,b)، (c,d)، (e,f) باستخدام المحددات؟

  • أ) المساحة = ½ × (a×d + c×f + e×b - b×c - d×e - f×a)
  • ب) المساحة = ½ × | القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | |
  • ج) المساحة = ½ × محيط المثلث × نصف القطر
  • د) المساحة = ½ × | (a-c)(d-f) - (b-d)(e-c) |

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: المساحة = ½ × | القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة | a b 1 | | c d 1 | | e f 1 | |

الشرح: 1. ضع إحداثيات الرؤوس في صفوف مصفوفة 3×3. 2. العمود الأول: قيم x (a, c, e). 3. العمود الثاني: قيم y (b, d, f). 4. العمود الثالث: الرقم 1 لكل صف. 5. احسب محدد هذه المصفوفة. 6. خذ القيمة المطلقة للناتج. 7. اضرب الناتج في ½ للحصول على المساحة.

تلميح: تتكون المصفوفة من إحداثيات x و y لكل رأس، مع إضافة عمود ثالث قيمته 1 للجميع.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط

لماذا نستخدم القيمة المطلقة عند حساب مساحة مثلث باستخدام صيغة المحددات؟

  • أ) لأن القيمة المطلقة تجعل الحساب أسهل.
  • ب) لضمان أن تكون قيمة المساحة موجبة (غير سالبة)، لأن المساحة كمية قياسية موجبة.
  • ج) لأن المحددات تعطي دائماً قيماً سالبة للمساحات.
  • د) لتحويل الوحدات من وحدات مربعة إلى وحدات خطية.

الإجابة الصحيحة: b

الإجابة: لضمان أن تكون قيمة المساحة موجبة (غير سالبة)، لأن المساحة كمية قياسية موجبة.

الشرح: 1. عند حساب محدد المصفوفة المكونة من الإحداثيات، قد تكون النتيجة موجبة أو سالبة اعتماداً على ترتيب الرؤوس (باتجاه أو عكس اتجاه عقارب الساعة). 2. المساحة الفعلية للمثلث هي كمية فيزيائية قياسية موجبة دائماً. 3. أخذ القيمة المطلقة يزيل إشارة السالب ويضمن الحصول على قيمة المساحة الصحيحة الموجبة.

تلميح: المساحة لا يمكن أن تكون قيمة سالبة. ماذا يحدث إذا كان ناتج المحدد سالباً؟

التصنيف: مفهوم جوهري | المستوى: سهل

ما هي الصيغة الرياضية الصحيحة المستخدمة لإيجاد مساحة مثلث إحداثيات رؤوسه هي $(a, b), (c, d), (e, f)$ باستخدام المحددات؟

  • أ) A = 1/2 | det | حيث المحددة تحتوي على الرؤوس وعمود ثالث من الأرقام 1
  • ب) A = | det | حيث المحددة تحتوي على الرؤوس وعمود ثالث من الأرقام 1
  • ج) A = 1/2 | det | حيث المحددة تحتوي على الرؤوس وعمود ثالث من الأصفار
  • د) A = 2 | det | حيث المحددة من الرتبة 2x2 تحتوي على الرؤوس فقط

الإجابة الصحيحة: a

الإجابة: A = 1/2 | det | حيث المحددة تحتوي على الرؤوس وعمود ثالث من الأرقام 1

الشرح: لحساب مساحة مثلث باستخدام المحددات، نتبع الخطوات التالية: 1. نكون محددة من الرتبة 3x3. 2. نضع إحداثيات x في العمود الأول، وإحداثيات y في العمود الثاني. 3. نضع الرقم 1 في جميع صفوف العمود الثالث. 4. نضرب القيمة المطلقة للمحددة في 1/2 لضمان الحصول على مساحة موجبة. النتيجة النهائية هي: A = 1/2 | [a b 1; c d 1; e f 1] |.

تلميح: تذكر أن مساحة المثلث مرتبطة بنصف مساحة متوازي الأضلاع، وتتطلب مصفوفة مربعة من الرتبة 3x3.

التصنيف: صيغة/خطوات | المستوى: متوسط